“概念圖”在初中數學解題教學中的應用*

☉江蘇省運河中學 袁 健

“概念圖”是一種知識及知識之間關系的網絡圖形化表征，也是思維可視化的表征.一幅概念圖一般由“節點”“鏈接”“有關文字標注”組成.概念圖是一種學習策略，可以使用它來輔助解題.

數學題的標準形式包括兩個最基本的要素：條件（已知、前提），結論（未知、求解、求證、求作等）.條件是問題解決的起點，結論是問題解決的目標，問題的關鍵在于，達到目標相對于問題解決者來說存在一定的障礙.

解題就是“解決問題”，即求出數學題的答案.這個答案在數學上也叫作“解”，所以，解題就是找出題的解的活動.解答習題時弄清題目中的已知條件、未知條件，使用運算、推理等方式用已知求出未知.解題過程中，使用概念圖作為分析答題的工具，讓思路更加有條理、清晰.

一、“概念圖”培養解題習慣，堅持四步

為了讓學生能通過做一題會一類題，積累經驗，以一應萬，可以讓學生做一道題分四步走（如圖1）：理解題意、思路探求、書寫表達、回顧反思.這與羅增儒教授總結解題的四步：看題、想題、答題、回題，不謀而合.科學把握好解題的四個步驟是一種良好的解題習慣.下面用連接線將節點“鏈接”起來，并且在每一步的“節點”標注文字，用“概念圖”引導學生掌握解題的四個步驟.

圖1

案例1：在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，對角線AC⊥BD，垂足為點F，過點F作EF∥AB，交AD于點E，求證：四邊形ABFE是等腰梯形.（如圖2）

理解題意：

（1）弄清題目的條件是什么，一共有幾個，其數學含義如何.

條件說得很長，其實獨立的有四個：

條件1：四邊形ABCD是直角梯形.“直角梯形”的數學含義有三個意思：AB∥DC，直線AD、BC不平行（相交），∠ABC=∠DCB=90°.

條件2：兩底邊滿足AB=2DC.

條件3：對角線AC⊥BD（垂足為點F）.對角線的數學含義是梯形相對頂點的連線.

條件4：EF∥AB.

（2）弄清題目的結論是什么，一共有幾個，其數學含義如何.

字面上結論為：求證四邊形ABFE是等腰梯形.而文字語言“等腰梯形”無法運算、不能推理，其數學含義有三個意思：EF∥AB（條件4，已知），直線AE、BF不平行（條件3，對角線BD與一腰AD相交于點D），EA=FB（或∠EAB=∠FBA）.由于前兩條是已知的，所以，本題的關鍵是證EA=FB（或∠EAB=∠FBA）.

（3）弄清題目的條件和結論有哪些數學聯系，是一種什么樣的結構.（我們通過此例來體現分析法，也就是由結論到條件的溝通）

思路探求：分析法——發現多余條件.

圖2

圖3

如圖3，由于EF∥AB，而AE、BF相交于點D，所以四邊形ABFE是梯形.要證梯形ABFE是等腰梯形，只需證AE=BF（或∠EAB=∠FBA）.

要證∠EAB=∠FBA，只需證△DAB是等腰三角形.

為此，過點D作DG⊥AB，垂足為點G.由四邊形ABCD為直角梯形，且∠ABC=90°，得GD∥BC，且CD∥BG，則四邊形BCDG為平行四邊形，有，從而BG=AG.可見，△DAB中，DG既是AB邊上的高，又是AB邊上的中線，則△DAB是等腰三角形.

這個思路沒有用到對角線AC⊥BD，說明這是一個多余的條件.

書寫表達：規范表達解題過程.

證明：如圖3，過點D作DG⊥AB，垂足為點G.在梯形ABCD中，∠ABC=90°，則GD∥BC，且CD∥BG，則四邊形BCDG為平行四邊形，則BG=CD=，從而BG=AG，則，從而∠EAB=∠FBA.又因為EF∥AB，AE、BF相交于點D，所以四邊形ABFE是等腰梯形.

回顧反思：解答本題的過程中，分兩步：先證明四邊形ABFE是梯形，再證明梯形ABFE是等腰梯形.使用了看題、想題、答題、回題的過程，讓思考有了方向，思維可視化，解題有了模式.在證明過程中，主要使用了數形結合和轉化的數學思想，積累了解題經驗，強化了解題能力.

二、“概念圖”拓寬解題思路，一題多思

初一學生以形象思維為主，對剛接觸邏輯推理的初一學生來說，如何將思維可視化、網絡化是解題教學的重點和難點.解題過程中的“思路探求”環節，可以有多種思考路徑.概念圖輔助學生推理，完成由已知到未知的過程，在這個思維過程中，筆者嘗試從三條路徑引導學生進行分析.第一種是由已知條件逐步推理，最后求出問題，可謂綜合法.第二種是由結論入手，不斷向前追溯條件，最后推出要使結論成立，已知或題目中的隱含條件必須成立，可謂分析法.第三種是由已知和結論兩條線推理，推出中間的共同條件成立.

案例2：如圖4，點C為線段AB的中點，點D在線段BC上，AD=6，DB=4，求線段CD的長度.

圖4

案例2可用概念圖（如圖5）分析思考過程.

圖5

結合本題用三種思路進行具體分析.第一種是由已知到問題的過程，可謂綜合法.先由線段AD、DB的長求出AB的長，再添加中點的條件求出AC的長，最后由AD的長求出CD.第二種是由問題追溯已知，可謂分析法.要求CD，用AD-AC或CB-DB即可，要求AC或BC，求出AB即可，而AB=AD+DB，AD、DB是已知條件.第三種方法是由已知、結論兩條線雙管齊下分析，由線段AD、DB的長求出AB的長，進而利用中點的定義求出AC、BC的長.要求線段CD的長，求AD-AC或BC-DB即可.而AC、BC、AD、DB均已求出.三種思路均能分析本題.下面用規范的表達方式解答.

解：因為AD=6，DB=4，所以AB=AD+DB=6+4=10.

所以CD=AD-AC=6-5=1，即線段CD的長度是1.

為了讓學生的思維得到更好的訓練，筆者將本題變式為下面的習題，要求學生使用概念圖分析解答.

變式1：如圖4，點C為線段AB的中點，點D在線段BC上，AD=6，CD=1，求線段BD的長度.

變式2：如圖4，點C為線段AB的中點，點D在線段BC上，BD=4，CD=1，求線段AD的長度.

上面的變式題不僅訓練了學生用概念圖分析問題，而且在解題過程中感受了互逆命題，提升了學生的解題能力，發展了學生的思維能力.

三、“概念圖”引導分析過程，滲透數學思想

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中課程總目標指出：通過義務教育階段的數學學習，學生能獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗［1］.對于數學思想，課標要求讓學生在積極參與教學活動的過程中，通過獨立思考、合作交流，逐步感悟數學思想.在探求解題思路的過程中，引導學生用概念圖分析問題，體會、轉化、使用數學思想，規范書寫表達過程.

案例3：（初一期末考試卷壓軸題）點A、B、C、D在數軸上的位置如圖6所示，已知AB=3，BC=2，CD=4.

（1）若點C為原點，則點A表示的數是______.

（2）若點A、B、C、D分別表示有理數a、b、c、d，則│a-c│+│d-b│-│a-d│=______.

（3）如圖6，點P、Q分別從A、D兩點同時出發，點P沿線段AB以每秒1個單位長度的速度向右運動，到達點B后立即按原速折返；點Q沿線段CD以每秒2個單位長度的速度向左運動，到達點C后立即按原速折返.當P、Q中的某點回到出發點時，兩點同時停止運動.

①當兩點停止運動時，求點P、Q之間的距離；

②設運動時間為t（單位：秒），則t為何值時，PQ=5？

圖6

圖7

本題的第（3）問是難點，為了更好地思考、解答本題，筆者用概念圖（如圖7）分析.

將第（3）問的解答過程規范表達如下：

解：（3）①由題意知，點P從點A到點B再返回到點A需要6秒，點Q從點D到點C再返回到點D需要4秒.因此當兩點停止運動時，點Q與點D重合，點P運動到點B的左邊1個單位長度，如圖8，PQ=BP+CB+CD=1+2+4=7.

圖8

圖9

②當點P、Q相向而行，即0≤t≤2時，如圖9.

由AP=t，AB=3，得BP=3-t.

由DQ=2t，CD=4，得CQ=4-2t.

所以PQ=BP+BC+CQ=3-t+2+4-2t=9-3t.

當點P、Q同向而行，即2＜t≤3時，如圖10.

由AP=t，AB=3，得BP=3-t.

由CD=4，CD+CQ=2t，得CQ=2t-4.

所以PQ=BP+BC+CQ=3-t+2+2t-4=t+1.

因為PQ=5，所以t+1=5.解得t=4.由于時間不符合題意，所以舍去.

圖10

圖11

當點P、Q反向而行，即3＜t≤4時，如圖11

由AB+BP=t，AB=3，得BP=t-3.

由DC+CQ=2t，DC=4，得CQ=2t-4.

所以PQ=BP+BC+CQ=t-3+2+2t-4=3t-5.

四、關于概念圖解題教學的感悟

概念圖能將各種概念及其關系進行加工、概括，以形象化的方式反映知識之間的邏輯關系與組織結構，幫助學生對知識有效構建，增強對知識的理解、記憶和保持.概念圖的解題教學方式能把各個“節點”聯系在一起，形成脈絡體系，從而幫助學生“圖腦思維”，從整體上促進學生認知能力和思維綜合能力的發展.

概念圖作為一種解題的策略，可促進學生有意義的學習和創造性的學習.在教學過程中，教師引導學生靈活使用概念圖解題（如圖12），以“節點”為載體，以概念圖構建為平臺，提升學生解題能力，使學生的學與教師的教和諧統一，提高課堂教學效率.

圖12