初中數學函數與幾何綜合題解題策略研究

☉山東省濟南市萊蕪區雪野鎮中心中學 朱 剛

初中數學幾何與函數綜合問題涵蓋的知識點較多，在解題時需要綜合運用數學思想方法.解決這類綜合題的常見思路就是數形結合，化動為靜，通過圖形特征結合函數表達式，構建代數模型，采用函數方法解決.

一、“函數—幾何”綜合問題解題策略分析

1.問題剖析

函數與幾何綜合問題的題干信息較多，所設置的問題通常有2～4個，難度層層遞進，前后問題聯系緊密.對大多數學生來說，在有限的答題時間內掌握問題大意并建立前后問題之間的聯系具有較大難度，很多學生審題之后得不出有用的信息，錯誤地將圖中的信息當成已知條件，或者無法讀懂圖示信息.在這樣的學情背景下，剖析題干信息具有重要的現實作用.在實際教學中，教師并不注重審題引導，往往要求學生自行讀題，然后直接解決問題，這就導致了部分學生在不理解題目信息的前提下跟著教師的解題思路進行實踐，在獨立解題時仍然找不到解題思路.因此，在講授函數與幾何綜合問題時，教師需要細致分析題干信息中的已知條件，通過簡單的數學符號將己知條件直觀地展示出來，輔助解題.在涉及動態問題時，需要將動點、動直線標注出來.教師的合理引導會讓學生養成科學審題的習慣，這對于學生讀題、審題、簡化問題、分析問題、解決問題具有重要的意義.

2.強化數學語言轉換能力

函數與幾何問題涉及諸多數學語言，如代數符號、幾何圖形等，只有準確理解數學語言的表達方式，熟練轉化各種數學語言，才能準確地提出解題信息，進而采取合適的方法進行解決.在授課過程中，教師需要系統地進行數學語言轉換訓練，實現幾何與代數之間的科學轉化.

3.提升問題轉化能力

函數與幾何綜合問題的形式不一，靈活多變，因此單純采用某一方法無法解決所有問題.在教學過程中，教師要強化學生的問題轉化能力，引導學生將未接觸過的問題轉化成熟悉的、方法明確的問題，在解決問題之后進行系統總結，形成完整的知識網絡與方法體系.經過一段時間的訓練，學生的知識結構得以豐富，不僅僅是知識點的羅列，還有通過簡單問題及思路方法的鏈接形成完備的方法體系.通過問題轉化，學生對問題的解析不再單一，解題時思路更加多樣，可供選擇的方法也更多.

4.注重隱含條件挖掘

在函數與幾何綜合問題中，有些條件不會直接給出，需要學生經過觀察或分析得出，如幾何圖像附帶的解題信息.在解題過程中，部分學生無法得出這些隱含的條件，錯誤地認為條件不足.隱含條件是解決這類綜合問題的關鍵，因此教師在解題教學中需要引導學生仔細讀題，對比已知的題干信息和解決問題所需條件，得出尚未明確的條件信息，然后繼續審題，尤其是幾何圖形特征、函數自變量的取值范圍、函數的性質等，明確隱含條件.

二、函數圖像與幾何綜合問題

圖1

案例1：如圖1所示，二次函數y=ax2+bx+c（a＜0）的圖像過坐標原點，與x軸交于點A，一直線過點A，和y軸交于點B，和二次函數的圖像交于點C，已知點C的橫坐標是-1，AC與BC的長度比為3∶1.

（1）試求解點A的坐標；

（2）已知二次函數圖像的頂點為F，對稱軸和x軸交于點E，和直線AB交于點D，若△FCD和△AED相似，試求解該二次函數的解析式.

解析：第（1）問求解較為容易，過點C作x軸或y軸的垂線段，根據平行線分線段成比例的原則即可求出OA的長度為4，進而求出點A的坐標為（-4，0）.利用點A的坐標，可以通過待定系數法確定函數表達式為y=ax2+4ax，分別表示出點C、F、D的坐標，過點C作CH⊥EF于點H，可證明點H為點F和點D的中點，利用直角三角形斜邊中線定理構造方程，求解出參數a的值，進而確定二次函數的解析式，解題過程如下：

函數圖像過原點，可知參數c的值為0.將點A（-4，0）代入解析式，可得y=ax2+4ax，確定點F的坐標為（-2，-4a），點C的坐標為（-1，-3a）.可知，解得DE=-2a，可知點D的坐標為（-2，-2a）.過點C作CH⊥EF于點H，CH=1，HE=CG=-3a，HF=-4a-（-3a）=-a，DH=-3a-（-2a）=-a，因此可證H為DF的中點.∠DCF=90°，可得，即1=，則a=-1，因此函數的解析式為y=-x2-4x.

總結：在解決本題的過程中，應用到了平行線分線段成比例定理，借助了相似三角形的判定與性質、直角三角形斜邊上中線的性質及二次函數的圖像與性質，綜合考查了幾何與函數內容，是對數形結合思想、方程思想、待定系數法等數學思想和方法的綜合應用，對學生思維能力的要求較高.

三、函數描述幾何面積問題

案例2：如圖2所示，在△ABC中，∠B=45°，BC的長度為5，AD的長度為4，QP在BC上，點E在AB上，點F在AC上，AD和EF相交于點H.EF的長度為多少時，矩形EFPQ的面積最大？試求解出最大的面積.

圖2

解析：這是典型的幾何與函數相結合的問題，可以先用函數表達矩形EFPQ的面積，然后借助二次函數極值問題進行求解，得到矩形的最大面積及滿足要求的長度.已知∠B=45°，可得BD和AD的長度均為4，CD=BCBD=1.因為EF和BC平行，可證明△AEH和△ABD相似，即同理，因為EF和BC平行，可證明△AFH和△ACD相似，即綜上，可得，因此，即EH=4HF.設EF的長度為x，計算得因為∠B=45°，計算可得，因此矩形EFPQ的面積易知當EF的長度為時，矩形EFPQ的面積取到最大值，面積的最大值為5.

總結：本題是對相似三角形的判定與性質、二次函數最值求解、矩形、三角形等的綜合考查，涉及的知識內容較多.解決本題的關鍵就是根據幾何圖形的動態變化情況構建函數解析式，將幾何問題利用函數問題，轉化成函數的圖像、性質進行求解，得出最終結果.

四、結語

綜上所述，初中函數與幾何綜合問題所涵蓋的知識點較多，方程、函數、幾何圖形、坐標系等，問題設計具有較強的綜合性、層次性及創新性.在解決這類問題時，要求學生具備扎實的知識基礎和解決問題的技能.同時，教師需要培養學生的數形結合、函數與方程、化歸與轉化等數學思維能力.這類問題沒有固定的解決辦法，相比于特定的解決方法，解決問題的思路才是教學的重點.