重關(guān)聯(lián)，明變化，找分別
——淺析二次函數(shù)不同解析式的聯(lián)系與區(qū)別

☉江蘇省無錫市第一女子中學(xué)初中部 項 菲

二次函數(shù)的解析式是研究二次函數(shù)問題的基礎(chǔ)，在教學(xué)過程中，學(xué)生往往對三種不同形式的解析式的表示方法應(yīng)用自如，而對它們之間的聯(lián)系與區(qū)別不能做到十分明晰，尤其是如何進行推演的過程更是一知半解，從而出現(xiàn)孤立記憶的情形.因此，教師有必要讓學(xué)生從本源上來認(rèn)識和理解三者之間的區(qū)別與聯(lián)系，真正做到對二次函數(shù)知識的全面掌握.為了清楚地說明這些問題，不妨先借助函數(shù)圖像，從最基本的問題談起：

問題1：函數(shù)y=ax2與y=x2的圖像之間存在怎樣的關(guān)系？

為了研究這一問題，我們可以先畫出y=2x2、y=、y=-2x2的圖像，通過這些函數(shù)圖像與函數(shù)y=x2的圖像之間的關(guān)系，推導(dǎo)出函數(shù)y=ax2與y=x2的圖像之間所存在的關(guān)系.先畫出函數(shù)y=x2、y=2x2的圖像.列表：

表1

從表1中不難看出，要得到2x2的值，只要把相應(yīng)的x2的值擴大兩倍就可以了.

再描點、連線，就分別得到了函數(shù)y=x2、y=2x2的圖像（如圖1所示），我們可以得到這兩個函數(shù)圖像之間的關(guān)系：函數(shù)y=2x2的圖像可以由函數(shù)y=x2的圖像各點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膬杀兜玫?

圖1

通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：

二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖像可以由y=x2的圖像各點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腶倍得到.在二次函數(shù)y=ax2（a≠0）中，二次項系數(shù)a決定了圖像的開口方向和在同一個坐標(biāo)系中的開口的大小.

問題2：函數(shù)y=a（x+h）2+k與y=ax2的圖像之間存在怎樣的關(guān)系？

同樣地，利用幾個特殊的函數(shù)圖像之間的關(guān)系來研究它們之間的關(guān)系.可以作出函數(shù)y=2（x+1）2+1與y=2x2的圖像（如圖2所示），從函數(shù)的圖像不難發(fā)現(xiàn)，只要把函數(shù)y=2x2的圖像向左平移1個單位，再向上平移1個單位，就可以得到函數(shù)y=2（x+1）2+1的圖像.這兩個函數(shù)圖像之間具有“形狀相同，位置不同”的特點.類似地，還可以通過畫函數(shù)y=-3x2、y=-3（x-1）2+1的圖像，研究它們圖像之間的相互關(guān)系.

圖2

通過上面的研究，可以得到以下結(jié)論：

二次函數(shù)y=a（x+h）2+k（a≠0）中，a決定了二次函數(shù)圖像的開口大小及方向；h決定了二次函數(shù)圖像的左右平移，而且“h正左移，h負(fù)右移”；k決定了二次函數(shù)圖像的上下平移，而且“k正上移，k負(fù)下移”.

利用上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像的方法：

所以，y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像可以看作將函數(shù)y=ax2的圖像作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）具有下列性質(zhì)：

（1）當(dāng)a＞0時，函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像開口向上；頂點坐標(biāo)為，對稱軸為直線；當(dāng)時，y隨著x的增大而減小；當(dāng)時，y隨著x的增大而增大；當(dāng)時，函數(shù)取最小值

（2）當(dāng)a＜0時，函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像開口向下；頂點坐標(biāo)為，對稱軸為直線；當(dāng)時，y隨著x的增大而增大；當(dāng)時，y隨著x的增大而減小；當(dāng)時，函數(shù)取最大值

圖3

圖4

上述二次函數(shù)的性質(zhì)可以分別通過圖3和圖4直觀地表示出來.

有了以上的演變過程，二次函數(shù)的兩種基本解析式形式之間的關(guān)聯(lián)和演變已經(jīng)非常明晰了，下面先寫出這兩種二次函數(shù)解析式的形式：

（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；

（2）頂點式：y=a（x+h）2+k（a≠0），其中頂點坐標(biāo)是（-h，k）.

除了上述兩種表示方法，還可以用交點式的形式來表示.為了研究交點式的表示方式，我們先來研究二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像與x軸的交點個數(shù).

當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交時，其函數(shù)值為0，于是有ax2+bx+c=0 ①.

并且方程①的解就是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸的交點的橫坐標(biāo)（縱坐標(biāo)為0），于是，不難發(fā)現(xiàn)，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸的交點個數(shù)與方程①的解的個數(shù)有關(guān)，而方程①的解的個數(shù)又與方程①的根的判別式Δ=b2-4ac有關(guān)，由此可知，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸的交點個數(shù)與根的判別式Δ=b2-4ac存在下列關(guān)系：

（1）當(dāng)Δ＞0時，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸有兩個交點；反過來，若拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸有兩個交點，則Δ＞0也成立.

（2）當(dāng)Δ=0時，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸有一個交點（拋物線的頂點）；反過來，若拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸有一個交點，則Δ=0也成立.

（3）當(dāng)Δ＜0時，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸沒有交點；反過來，若拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸沒有交點，則Δ＜0也成立.

于是，若拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸有兩個交點A（x1，0）、B（x2，0），則x1、x2是方程ax2+bx+c=0的兩根，所以

由上面的推導(dǎo)過程可以得到下面的結(jié)論：

若拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0）兩點，則其函數(shù)關(guān)系式可以表示為y=a（x-x1）（xx2）（a≠0）.

這樣，也就得到了表示二次函數(shù)的第三種表示方法：

（3）交點式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0），x1、x2是二次函數(shù)的圖像與x軸的交點的橫坐標(biāo).

今后，在求二次函數(shù)的表達式時，我們可以根據(jù)題目所提供的條件，選用一般式、頂點式、交點式這三種表達形式中的某一形式來解題.下面不妨看兩道例題：

例1已知二次函數(shù)的圖像過點（-3，0）、（1，0），且頂點到x軸的距離等于2，求此二次函數(shù)的表達式.

解法1：由二次函數(shù)的圖像過點（-3，0）、（1，0），可設(shè)二次函數(shù)為y=a（x+3）（x-1）（a≠0）.

展開得y=ax2+2ax-3a.

由于二次函數(shù)圖像的頂點到x軸的距離為2，則|-4a|=2，即

解法2：由二次函數(shù)的圖像過點（-3，0）、（1，0），得其對稱軸為直線x=-1.

由頂點到x軸的距離為2，得頂點的縱坐標(biāo)為2或-2.

于是可設(shè)二次函數(shù)為y=a（x+1）2+2，或y=a（x+1）2-2.

由于函數(shù)圖像過點（1，0），則0=a（1+1）2+2，或0=a（1+1）2-2.

說明：上述兩種解法分別從與x軸的交點坐標(biāo)及頂點的坐標(biāo)這兩個不同角度，利用交點式和頂點式來解題，在今后的解題過程中，要善于利用條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▉斫鉀Q問題.

例2二次函數(shù)的圖像過點（-1，-22）、（0，-8）、（2，8），求此二次函數(shù)的表達式.

解：設(shè)該二次函數(shù)為y=ax2+bx+c（a≠0）.

由函數(shù)圖像過點（-1，-22）、（0，-8）、（2，8），可得：

解得a=-2，b=12，c=-8.

則所求的二次函數(shù)為y=-2x2+12x-8.

通過上面兩個例題，不妨歸納一下：在什么情況下，分別利用函數(shù)的一般式、頂點式、交點式來求二次函數(shù)的表達式？

在解題時，根據(jù)題目的已知條件，求解二次函數(shù)的解析式，需要遵循簡便、易行的方式，靈活地選取方法，一般遵循以下原則：

（1）不知道特殊點的坐標(biāo)時，常用一般式來表示；

（2）知道頂點的坐標(biāo)時，常用頂點式來表示；

（3）如果知道圖像與x軸的交點坐標(biāo)，常用交點式來表示.

綜上所述，上述三種情況要靈活運用才能更全面也更好地理解二次函數(shù)的解析式.W