淺談如何通過解題來培養學生的數學思維

李燦

摘 要 數學的學習不僅要掌握知識，更重要的是要獲得數學思維。學生形成了數學思維，在分析問題和解決問題中就會主動觀察，發表見解，精力集中。本文主要探究了通過解題來培養學生數學思維的策略。

關鍵詞 高中數學;解題;數學思維;能力

中圖分類號：Q611 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2019）21-0084-01

數學解題應該關注思維對學生思想和能力的影響，使學生在思考中逐步地形成對數學知識的理性認識，提高能力。解題中教師要讓學生集思廣益，通過思維互補的方式來拓展思路，透徹分析數學問題，理清概念，學會歸納概括，在思維活動中總結規律，能夠做到舉一反三。

一、通過易錯題分析，培養邏輯推理思維

學生數學思維的形成是一個經歷由錯誤到改正、由改正到完善的過程。教師要通過學生的易錯題來培養學生的邏輯推理思維。如教師提供試題：若正數x，y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是多少？很多學生在解答試題時會考慮因為x+3y=5xy≥2 ，所以xy≥ ，有3x+4y≥ = 。這樣的解題過程可以明顯看出學生忽視了不等式符號的一致性。通過細致分析和思考，學生會看到第一個等式成立的條件是“x=3y”，而后者是“3x=4y”，這樣是明顯不對的。通過對這些錯誤之處進行邏輯思考和推理，學生會推理出正確的解題方法，認識到解題過程中因為x+3y=5xy，所以 =5，所以3x+4y= （ ）（3x+4y）= （ ）+ ≥ ?2 ?+ =5，當且僅當 ，即x=1，y= 時，等號成立。解題過程中，學生思維的邏輯思考會讓學生學會嚴密。

二、通過數形結合法，培養具體形象思維

通過圖形的幫助，學生會建立形象思維，客觀真實地看到數學知識，理解數學規律。在對圖形的觀察和分析中，學生看到的更形象、更直觀、更細致，有利于學生對知識形成形象認識。例如教師為學生提供立體幾何試題：如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面四邊形ABCD是正方形，側面PDC是邊長為a的正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E為PC的中點。求異面直線PA與DE所成的角的余弦值。解題過程中，學生需要通過對圖形的觀察和分析來理解各種數量關系，并且探究可能的解題方法和思路，將抽象的數據通過形象的圖形來建立聯系。思考中，學生會取DC的中點O，連接PO，因為ΔPDC為正三角形，所以得到PO⊥DC。又因為平面PDC⊥平面ABCD，所以P0⊥平面ABCD。在學生對平面之間的關系進行梳理后，學生會形成客觀的認識，了解了他們彼此之間的關系。在解答第一問的時候，學生在推理判斷中會看到E為PC的中點，所以E（0， ， ）所以 =（0， ， ）， =（a，- ，- ）所以 * = ?（- ）+ ?（- ）=- ，∣ ∣= a，∣ ∣= ，cos< ， >=- ，因為異面直線PA、DE所成的角是銳角或直角，所以異面直線PA、DE所成的角的余弦值為 。圖形的幫助促進學生形成形象思維。

三、通過學解題規律，培養歸納總結思維

當學生掌握了解題規律和解題方法，面對任何問題都會輕松應對。學生要對同一類試題進行總結，明確解題的具體步驟。例如面對函數導數與不等式問題時，教師可以為學生提供試題：已知函數f（x）=lnx-ax2+（2-a）x

（1）討論f（x）的單調性

（2）設a>0，證明當af（ -x）

（3）若函數y=f（x）的圖象與x軸交于點A、B兩點，線段AB中點的橫坐標為x0，證明f（x0）<0。

學生通過思維活動會認識到首先應該求導數，確定函數定義域;之后討論參數a，判斷f（x）的單調性;再構建g（x）=f（ +x）-f（ -x），將問題（2）轉化為判斷g（x）>0，接下來判定隱含條件a>0，f（ ）>0;最后確定x0> ，結合第一問，證明f（x0）<0。學生大腦中有了這樣的思路，就會輕松解決問題，形成系統性思維。

總之，教師要鼓勵學生主動解題，在分析中學會邏輯思考;在圖形的幫助下形成形象思維;在總結中學會系統性思維，在動手和動腦中獲得知識，提高解題能力。

參考文獻：

[1]董鵬.淺談如何培養小學生的數學思維能力[J].數理化解題研究，2016（12）.