初中“最值”全知曉

李雯

本文以題型的形式，將初中階段的求最值問題作了匯總。

初中階段最值問題包括：

1.一次函數類最值

解決原則：根據題意，列出相應的一次函數，將一次函數與一次不等式聯合，求出自變量的取值范圍。當函數值大于或等于a時，有最小值a，當函數值小于或等于a時，有最大值a;或者根據自變量的取值范圍，結合一次函數的增減性確定最值。

2.二次函數類最值

解決原則：根據題意，列出相應的二次函數，將二次函數轉化成頂點坐標式，再判斷最值。

3.幾何類最值

解決原則：利用①兩點之間線段最短②垂線段最短③絕對值是非負數④三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊等性質，畫出符合最值的有關圖形，再利用代數知識求解。

一、一次函數類最值

例1.為了鼓勵居民節約用水，我市某地水費按下表規定收取：

1. 若某戶用水量為x噸，需付水費為y元，則水費y（元）與用水量x （噸）之間的函數關系式為：y=??

1. 已知某住宅小區100戶居民五月份交水費共1682元，且該月每戶用水量不超過15噸（含15噸）求該月用水量不超過10噸的居民最多可能有多少戶？

分析：（1）由表知水費與用水量成一次函數關系，且水費

y=1.3x（x≤10）

y=1.3× 10+2（x-10）（x>10）

（2） 有m戶用水量不超過10噸，則有（100-m）戶用水超過10噸，

13m+（100-m） [1.3× 10+2（15-10） ]≥1682

m≤61.8

最多61戶。

如圖，在一面靠墻的空地上用長為24米的籬笆，圍成中間隔有二道籬笆的長方形花圃，設花圃的寬AB為x米，面積為S平方米。

（1）求S與x的函數關系式及自變量的取值范圍;

（2）當x取何值時所圍成的花圃面積最大，最大值是多少？

（3）若墻的最大可用長度為8米，則求圍成花圃的最大面積。

二、次函數類最值

例2.

分析：

（1） ∵ AB為x米、籬笆長為24米

∴ 花圃寬為（24-4x）米

∴ S=x（24-4x）

（2）當x=3時，S_最大值=36（平方米）

（3） ∵墻的可用長度為8米

∴ 0<24-4x ≤8?????? 4≤x<6

∴當x=4m時，S_最大值=32 平方米

三、幾何類最值

類型一：“線段之和最小”問題

作圖原理：兩點之間線段最短

如圖在直線m上找一點P，使得“PA+PB最小”

類型二：“線段之差絕對值最大”問題

作圖原理：三角形兩邊之差小于第三邊

如圖在直線m上找一點P，使得|PA—PB|最大

例3.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y= - x²+2x+3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點。

1. 求A、B、C、D的坐標。
2. 在x軸上是否存在一點P，使得P到C、D兩點的距離之和最小。若有，求出點P的坐標，若沒有，說明理由。

（3）在x軸上是否存在一點Q，使得|QD-QC|最大。若有，求出點Q的坐標，若沒有，說明理由。

類型二“線段之差絕對值最小”問題

作圖原理：絕對值是非負數。

如圖在直線m上找一點P，使得|PA—PB|最小

直線m垂直平分AB，則PA=PB， |PA—PB|min=0

例4.如圖拋物線y=-4/9x²+8/3x+2與y軸交于點A，頂點 為B，點P是x軸上的一個動點，當點P的坐標是（??? ）時，|PA—PB|最小。

類型三“線段最短”問題

作圖原理：垂線段最短。

例5.已知拋物線y=x²+1具有如下性質：該拋物線上任意一點到定點F（0，2）的距離與到x軸的距離始終相等，如圖，點M的坐標為（，3），P是拋物線y=x²+1上一個動點，則△PMF周長的最小值是（C）