改進模態選擇的快速貝葉斯FFT

曹 璐， 周筱航

(西南交通大學土木工程學院，四川成都 610031)

模態參數識別是橋梁健康監測研究的核心之一，模態參數的準確識別，是進行有限元模型修正、結構損傷識別以及性能評定的前提[1]。環境激勵下的橋梁動力測試具有操作方便和成本低等優勢，其已成為橋梁模態參數識別、有限元模型修正和運營狀態評估的常用方法[2]。但是，由于測試環境擾動、試驗設備電子噪聲、操作誤差以及模態分析簡化等因素，使識別的模態參數值與真實值之間不可避免地存在隨機偏差，這給環境激勵下的橋梁模態參數識別結果引入了不確定性[3]。雖然橋梁模態參數識別理論發展快速，但是已有的理論只給出了模態參數的最佳估計值，并沒有在理論上給出模態參數的不確定性。對橋梁模態參數識別結果的不確定性進行研究，對提高橋梁動力分析結果的準確性和魯棒性有很大的幫助，也可以為橋梁動力災變分析和健康監測提供更為可靠的依據[4]。

針對模態參數的不確定性，當下有兩種較為主流的觀點，頻數派和貝葉斯派[4]。頻數派將模態參數認為是確定量，只是在測試過程中受到擾動，若假定受到的擾動是隨機變量，模態參數的不確定性可以用測試數據的均值和方差表示，其是通過重復試驗得到測試參數的統計特性[5]；而貝葉斯派則把模態參數認為是隨機變量，它是結構自身隨機性的體現，其是在已知測試數據的條件下，利用先驗概率密度和似然函數得到模態參數的最優估計及其不確定性[6]。

基于貝葉斯理論的相關方法近年來在結構模態參數識別、有限元模型修正及狀態評估等方面有迅猛的發展，在模態參數不確定性識別方面更是受到了極大的關注，并取得了卓有成效的進展[4]。

Katafygiotis和Yuen較先將貝葉斯理論引入到結構模態參數不確定性識別中，建立了貝葉斯模態參數識別框架，提出了一系列的模態參數識別的基本理論，如貝葉斯FFT法[7]、貝葉斯功率譜法[8-9]、貝葉斯時域法[10-11]。這些方法由于計算效率和不收斂等問題在實際應用中受阻，但Katafygiotis和Yuen的這些研究為后來奠定了扎實的理論基礎。隨后，Au針對Katafygiotis和Yuen提出的貝葉斯FFT法[7]存在的問題，提出了快速貝葉斯FFT(Fast Bayesian FFT, FB-FFT)方法[12-14]，該方法極大的改善了貝葉斯FFT法在應用中出現的問題，使得尋優和計算協方差變得快速容易。

FB-FFT法只對所選頻帶進行分析，具有快速、高效的優點，其識別結果隨所選頻帶的變化而變化。在分離模態情況下，FB-FFT法容易被虛假模態干擾。因此，所選頻帶中是否包含結構真實模態至關重要，Au指出快速貝葉斯FFT法的頻帶選擇部分仍需改進[12]。

針對分離模態的情況，為了準確選取結構的真實模態，本文對結構真實模態的選取展開研究。首先，針對FB-FFT模態選擇部分存在的問題提出了聚合傅里葉譜分析方法(Ensemble Fourier Spectrum Analysis, EFSA)。然后，將其與奇異譜分析(Singular Spectrum Analysis, SSA)方法應用大跨斜拉橋實橋進行模態選擇，并將選擇結果進行對比。最后，針對選擇的模態進行FB-FFT模態參數識別。結果表明，將EFSA引入FB-FFT方法中，能準確選擇結構的真實模態，為FB-FFT模態參數識別提供前提保證，且FB-FFT模態參數識別結果與有限元計算結果吻合。

1 理論

1.1 FB-FFT算法框架

Au提出的FB-FFT有效地避免了貝葉斯FFT計算上的難點，使得FB-FFT可以應用到實際情況中[15]。Au將關注點集中在某一事先選定的共振頻帶，若該頻帶內只有單個模態，則無論測試自由度是多少，模態參數的最佳估計(Most Probable Value, MPV)都可以通過一個四維的數值優化得到。其中除了頻率、阻尼比外，還能得到模態激勵和預測誤差；在得到模態參數的MPV后可以通過奇異值分解得到陣型的MPV。后驗協方差則是通過似然函數的Hessian矩陣求得，這樣不需要有限差分就能快速計算出協方差矩陣。除此之外，在小阻尼和長數據的情況下，Au推導了各模態參數的變異系數漸進表達式[16-17]。

1.2 FB-FFT法模態選擇的問題

FB-FFT在確定頻帶時，首先需要利用SSA法進行結構模態的定位，再由帶寬因子k確定頻帶寬度，進而在原數據上對這部分頻帶的數據點進行后續的識別，且頻率的初值也是從奇異譜上拾取。FB-FFT的分析結果會隨著帶寬的大小而變，一般取k=5～10比較合適[2]。然而，除了頻帶寬度影響結果，頻帶的定位也很重要，若模態頻率定位不準，FB-FFT識別結果也會受影響。針對選擇(定位)結構真實模態，FB-FFT所采用的SSA法并不是全能的，在針對大型實橋實測數據的模態選擇時，由于信噪比低，模態密集，SV譜法會出現漏階的情況。

1.3 EFSA法

1.3.1 算法理論

基于上述問題，本文提出一種模態頻率定位方法，即EFSA。該方法將所采集時域信號在時間維度上加矩形窗，針對每個窗口內的信號進行傅里葉譜分析，最后將每個窗口的頻譜進行聚合，得到結構頻譜。在聚合過程中，窗口的信號可以來自不同的測試時段或不同的測試通道。每個窗口的頻譜結果包含了大量隨機干擾，經過大量不同測試通道和不同測試時段窗口的聚合，隨機干擾將會互相抵消，而結構真實的模態特性將得到凸顯，進而克服了大型橋梁結構運營模態分析中模態頻率難以定位的問題。EFSA法的技術路線如圖1所示。

圖1 EFSA法的技術路線

EFSA方法的具體步驟如下：

(2)對每個窗口內的數據進行傅里葉譜分析，得到M個譜函數。

(3)使用步驟(1)和步驟(2)處理結構n個通道的時程信號，得到n×M個譜函數。

(4) 將n×M個譜函數在頻域上進行聚合，得到結構的頻譜圖。

1.3.2 模擬信號分析

為了驗證EFSA對模態頻率的定位的效果，利用模擬信號來試驗。模擬信號由頻率為5 Hz的正弦信號(功率譜為0.000 6)和高斯白噪聲(功率譜為0.2)構成，采樣頻率fs=128Hz，時長T=50000s，其FFT譜如圖2所示。

圖2 模擬信號FFT譜

利用EFSA法進行頻譜后處理，將整段數據分為1 000個窗口，每個窗口點個數N=6400，EFSA譜如圖3所示。

圖3 模擬信號EFSA譜

由圖2和圖3可以看出，模擬信號的FFT頻譜毛刺很多，已經嚴重影響真實模態的判斷，而EFSA利用分段累和求平均，使得而真實模態凸顯，易于選擇真實模態。

2 雙塔雙索面斜拉橋應用

為了進一步驗證EFSA法和FB-FFT法在大型橋梁結構中的實用性，將EFSA與FB-FFT結合起來應用到一斜拉橋，進行模態參數及其不確定性識別。首先，同時利用EFSA法與SSA法進行模態頻率定位，對比模態選擇結果；然后，針對所選擇模態，利用帶寬因子k確定帶寬，隨后利用FB-FFT進行模態參數及其不確定性識別，并與有限元結果和相關文獻識別結果進行結果對比。

該斜拉橋梁是主跨1 088 m的雙塔雙索面斜拉橋，橋兩側邊跨跨中截面和主跨六分點截面布置有豎向加速度傳感器，主梁上下游兩側各布置一排測點，共計14個測點，測試方向為豎向，采樣頻率為20 Hz。橋梁下游傳感器測試信號質量整體不如上游傳感器測試信號質量，故本文僅選取上游7個傳感器的測試信號進行模態分析。

分別使用SSA法與EFSA法對測試數據進行處理，其中EFSA法在處理長時間測試信號時效果較好，因此，EFSA選擇兩種時間長度的數據進行處理。

2.1 結構模態選擇

本文將針對前6階模態頻率進行選擇。為了便于對比，查閱相關文獻，總結采用有限元對該斜拉橋主梁動力特性的分析結果，包括Midas Civil軟件、SDCA分析程序和ANSYS軟件，匯總見表1。從表1可知該斜拉橋前6階模態集中在0～0.5 Hz。因此將兩種方法0～0.5 Hz的頻譜細部進行展示(圖4～圖6)。

表1 某雙塔斜拉橋成橋狀態主梁豎向自振頻率 Hz

圖4 奇異譜 (10mins)

圖5 EFSA譜 (10mins)

圖6 EFSA譜 (1d)

從圖4～圖6可以看出，前兩階模態峰值最明顯，說明在運營條件下該橋相應模態被激起，而其余頻率處幅值較小，則說明對應階次沒有被激起或振動較弱。從圖4中只能提取結構的前兩階模態，其余4階模態被遺漏；從圖5能比較準確地提取出前6階，但在0.05～0.12 Hz、0.25～0.30 Hz和0.34～0.38 Hz出現“小毛刺”曲線不夠平滑；從圖6可以看出前6階模態頻率峰值明顯，頻譜光滑，沒有漏階和虛假模態干擾問題，易于選擇出結構的真實模態。

經過上述對比分析，EFSA在運營模態參數識別的模態頻率定位選擇中具有模態峰值明顯，不易漏階，且曲線平滑，虛假模態干擾小的特點。

2.2 FB-FFT模態參數及其不確定性識別

針對圖6選出來的前6階模態，取帶寬因子k=6，應用FB-FFT法進行模態參數識別，其識別結果如表2和表3所示。

表2 斜拉橋FB-FFT模態頻率、阻尼比和陣型識別結果

表3 斜拉橋FB-FFT模態模態激勵、預測誤差識別結果

從表2和表3可以看出，識別的頻率MPV與有限元模型計算的頻率基本吻合，各階頻率的c.o.v.與信噪比有關，信噪比越大則c.o.v.越小，反之亦然；阻尼比和模態激勵的變異系數在50 %左右；預測誤差MPV及c.o.v.隨著模態階次的增加而減小，這是由于高階頻率的周期更短，當數據長度一定時其周期樣本數量更多，預測誤差不確定性越小；第4階、5階信噪比較低，頻率、振型、模態激勵的c.o.v.都比其他階次的大，這是由于第4階、5階為密集模態，應參考Au關于密集模態的貝葉斯識別方法[13-14]。

前3階振型如圖7～圖9所示，從陣型圖可以看出，前3階振型與文獻基本吻合。

圖7 斜拉橋第1階振型

圖8 斜拉橋第2階振型

圖9 斜拉橋第3階振型

3 結論

針對FB-FFT方法在大跨復雜橋梁運營模態分析中難以選擇模態頻率的問題，本文提出了EFSA方法。將EFSA方法與SSA法同時應用到大跨斜拉橋實橋的模態頻率選擇，對比兩種方法，并基于EFSA方法的模態選擇結果進行FB-FFT模態參數識別。結果表明，將EFSA引入FB-FFT方法中，能夠較為準確地選擇出結構的真實模態，為FB-FFT模態參數的精確識別提供保障；FB-FFT模態參數識別結果與有限元計算結果吻合較好，驗證了FB-FFT方法在實際工程應用中的可行性與有效性。