三角函數(shù)與平面向量經(jīng)典題突破

■河南省平輿縣第一高級(jí)中學(xué) 張靈敏

三角函數(shù)和平面向量都是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是歷年高考考查的重點(diǎn)。三角函數(shù)與解三角形結(jié)合是高考考查的熱點(diǎn)問(wèn)題，基本每年必考。一般考查三角函數(shù)定義、誘導(dǎo)公式、正弦定理、余弦定理及三角恒等變形能力；平面向量主要考查平面向量加減法、平面向量共線定理、平面向量基本定理、平面向量數(shù)量積。

典例1(2019年高考全國(guó)Ⅰ卷理)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC。

(1)求A；

分析：(1)利用正弦定理化簡(jiǎn)已知邊角關(guān)系式可得b2+c2-a2=b c，從而可整理出cosA，根據(jù)A∈(0，π)可求得結(jié)果；(2)由正弦定理可得，然后利用sinB=sin(A+C)、兩角和差正弦公式可得關(guān)于sinC和cosC的方程，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系解方程即可求得結(jié)果。

解：(1)因?yàn)?sinB-sinC)2=sin2B-2 sinBsinC+sin2C=sin2A-sinBsinC，所以sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC，由正弦定理可得b2+c2-a2=b c。

(2)方法一：因?yàn)?a+b=2c，由正弦定理得

方法二：因?yàn)?2a+b=2c，由正弦定理得2 sinA+sinB=2 sinC。

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的問(wèn)題，涉及兩角和差正弦公式、同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能夠利用正弦定理對(duì)邊角關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到余弦定理的形式或角之間的關(guān)系。

典例2(2019年高考全國(guó)Ⅲ卷理)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知

(1)求B；

(2)若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍。

解析：(1)由題設(shè)及正弦定理得sinA·

(2)由題設(shè)及(1)知△ABC的面積S△A B C由正弦定理得由于△ABC為銳角三角形，故0°＜A＜90°，0°＜C＜90°，由(1)知A+C=120°，所以30°＜C＜90°，故，從而

因此，△ABC面積的取值范圍是

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，以及正弦定理的使用(此題也可以用余弦定理求解)，最后考查△ABC是銳角三角形這個(gè)條件的利用，考查得很全面，是一道很好的考題。

典例3(2019年高考江蘇卷)如圖1，一個(gè)湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l，湖上有橋A B(A B是圓O的直徑)。規(guī)劃在公路l上選兩個(gè)點(diǎn)P、Q，并修建兩段直線型道路PB、Q A。規(guī)劃要求：線段PB、Q A上的所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑。已知點(diǎn)A、B到直線l的距離分別為A C和BD(C、D為垂足)，測(cè)得A B=10，A C=6，BD=12(單位：百米)。

(1)若道路PB與橋A B垂直，求道路PB的長(zhǎng)。

(2)在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處?并說(shuō)明理由。

圖1

(3)在規(guī)劃要求下，若道路PB和Q A的長(zhǎng)度均為d(單位：百米)。求：當(dāng)d最小時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離。

解析：(1)如圖2，過(guò)A作A E⊥BD，垂足為E。

圖2

由已知條件得，四邊形A C D E為矩形，D E=B E=A C=6，A E=C D=8。

因?yàn)镻B⊥A B，所以cos∠PBD=，所以，所以∠B A D為銳角。所以線段A D上存在到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑的點(diǎn)。因此，Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求。

綜上，P和Q均不能選在D處。

(3)先討論點(diǎn)P的位置。

當(dāng)∠O B P＜90°時(shí)，線段PB上存在到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑的點(diǎn)，點(diǎn)P不符合規(guī)劃要求；

當(dāng)∠O B P≥90°時(shí)，對(duì)線段PB上任意一點(diǎn)F，O F≥O B，即線段PB上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑，點(diǎn)P符合規(guī)劃要求。

設(shè)P1為l上一點(diǎn)，且P1B⊥A B，由(1)知，P1B=15，此時(shí)P1D=P1Bsin∠P1BD=

因此道路PB的長(zhǎng)為15(百米)。

(2)①若P在D處，由(1)可得E在圓上，則線段B E上的點(diǎn)(除B，E)到點(diǎn)O的距離均小于圓O的半徑，所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求。

②若Q在D處，連接A D，由(1)知A D，從而 cos∠B A D=；當(dāng)∠O B P＞90°時(shí)，在△P P1B中，PB＞P1B=15。由上可知，d≥15。

再討論點(diǎn)Q的位置。由(2)知，要使得Q A≥15，點(diǎn)Q只有位于點(diǎn)C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求。當(dāng)Q A=15時(shí)，C Q=此時(shí)，線段Q A上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑。

綜上，當(dāng)PB⊥A B，點(diǎn)Q位于點(diǎn)C右側(cè)，且時(shí)，d最小，此時(shí)P，Q兩點(diǎn)間的距離

因此，d最小時(shí)，P，Q兩點(diǎn)間的距離為(百米)。

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用、解方程、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查同學(xué)們的直觀想象和數(shù)學(xué)建模能力，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

圖3

典例4(2019年高考江蘇卷12)如圖3，在△ABC中，D是B C的中點(diǎn)，E在邊A B上，B E=2E A，A D與C E交于點(diǎn)O。若的值是

分析：由題意將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基底的數(shù)量積，然后利用幾何性質(zhì)可得比值。

圖4

解：如圖4，過(guò)點(diǎn)D作D F∥C E，交A B于點(diǎn)F，由B E=2E A，D為B C的中點(diǎn)，知B F=F E=E A，A O=O D。

點(diǎn)評(píng)：本題考查在三角形中平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。采取幾何法，利用數(shù)形結(jié)合和方程思想解題。

歸納總結(jié)：解三角形和平面向量是近些年高考的熱點(diǎn)，各省市的命題人在命題方向上標(biāo)新立異，我們從不同的數(shù)學(xué)思想角度對(duì)解三角形和平面向量問(wèn)題進(jìn)行剖析。

角度一：轉(zhuǎn)化與化歸思想

轉(zhuǎn)化與化歸思想在研究、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中，當(dāng)思維受阻時(shí)考慮尋求簡(jiǎn)單方法或從一種情形轉(zhuǎn)化到另一種情形，也就是轉(zhuǎn)化到另一種情境使問(wèn)題得到解決，這種轉(zhuǎn)化是解決問(wèn)題的有效策略，同時(shí)也是成功的思維方式。利用正、余弦定理，通過(guò)“邊化角、角化邊、切化弦”等角度對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為熟悉的三角恒等變換、三角函數(shù)、平面向量等問(wèn)題，再進(jìn)行求解。

角度二：函數(shù)與方程思想

函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題和解決問(wèn)題。方程思想，是從問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(方程、不等式或方程與不等式的混合組)，然后通過(guò)解方程(組)或不等式(組)來(lái)使問(wèn)題獲解。有時(shí)，還可通過(guò)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達(dá)到解決問(wèn)題的目的。

角度三：數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，將反映問(wèn)題的抽象數(shù)量關(guān)系與直觀圖形結(jié)合起來(lái)，也是將抽象思維與形象思維有機(jī)地結(jié)合起來(lái)的一種解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法。數(shù)形結(jié)合思想通過(guò)“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題形象化，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)。它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合。