解壓縮：將“學術數學”轉化為“教育數學”

佟茂峰

【摘要】數學知識在教材中是以“壓縮形態”存在的，這種形態遮蔽了知識誕生時的鮮活樣態，遮蔽了人類探索知識時的關鍵步子。數學教學就是對數學知識進行“解壓縮”，將“學術形態”的數學轉化為“教育形態”的數學。教學中，教師要恢復數學知識的原始形態、史學形態和思考形態。只有將“學術形態”的數學轉化為“教育形態”的數學，才能有效地發展學生的數學學習力，培育學生的數學核心素養。

【關鍵詞】學術數學 教育數學 解壓縮

從某種意義上說，數學教學就是對數學知識進行“解壓縮”，將“學術形態”的數學轉化為“教育形態”的數學。只有將“學術形態”的數學轉化為“教育形態”的數學，學生才能真正理解知識、掌握知識、運用知識。解壓縮，是將“學術形態”的數學轉化為“教育形態”的數學的一個有效路徑。

一、道而弗牽：恢復數學知識的“原始形態”

在數學教材中，數學知識是以一種簡約化、壓縮化的學術形態出現的。作為教師，要引導學生去認識數學知識誕生時的原始歷程，去揭示數學知識背后的誕生背景，去領悟數學知識蘊含的思想方法，去觸摸人類探索數學知識的關鍵步子，等等。這些最為原始的過程性、歷史性、思想性的數學知識所包含的人文、思想、文化等元素，對學生的數學精神來說更具有教育意義，這就是數學知識的教育形態。

北師大版數學二年級上冊《課桌有多長》一課，直接出示測量物體長度的工具——直尺，盡管學生習得了技能，如將物體的一端直接對準直尺的零刻度，讀出另一端的讀數等，但在這樣的學術形態的數學面前，學生沒有理解測量的本質。教學中，教師有必要引導學生恢復測量物體長度的原始形態，讓學生經歷“厘米尺”的發明、誕生過程。遠古時代，人類沒有任何測量工具，他們是怎樣測量的呢？（出示一搾、一庹）引導學生進入活動一。活動中，不同的學生用自身的身體尺來進行測量，由于每個學生一搾、一庹的長度不一，因此導致同一件物體長度的測量結果不同。據此，學生就想到要統一測量單位。人類首先想到了用小棒來進行測量。在測量較短長度的物體時，人們用這樣一根小棒（出示一厘米小棒，幫助學生建立厘米的表象）。引導學生進入活動二，學生在用一厘米小棒測量物體長度時發現，用一根一根小棒去測量物體長度比較麻煩，有學生想到應當用長一些的小棒來測量，有學生想到可以將這些小棒一根根串聯起來，于是建構了這樣的測量工具（厘米尺的雛形）。這樣的活動，教師道而弗牽，學生卻經歷了數學知識創生時的原始形態，感悟到測量一個物體的長度，就是看這個物體長度里有多少個測量單位。當學生形成這樣的學習感悟后，為學生學習面積測量、體積測量奠定了堅實的基礎。

如何恢復數學知識誕生時鮮活的“原始形態”，一個重要的方法就是引導學生重走人類探索數學知識的關鍵步伐。只有經歷了數學知識的誕生過程，才能真切地感受、體驗到數學知識的本質。這個過程可能是緩慢的，但卻是必需的。要知道，學生的數學學習是一種慢速度的精彩，在數學教學中欲速則不達。

二、精心設問：恢復數學知識的“歷史形態”

著名數學史家克萊因深刻地指出：“歷史是教學的指南。”將數學史融入數學教學中，變數學知識的學術形態為歷史形態，有助于學生的數學理解。一般來說，數學教學對接數學史，有兩種基本形態：其一為顯性形態，即直接對接，比如：直接鏈接人類探索某一數學知識的數學史過程;其二為隱性形態，即間接對接，將人類探索知識的歷史過程融入數學教學中。這樣一種潤物無聲的教學，能讓學生在不知不覺中感受、領略到數學知識的本質。

如教學《用字母表示數》（北師大版數學四年級下冊）時，教師要幫助學生實現從具體、真實的數字向抽象的字母的認知轉變。為此，教師要認真研讀數學史，把握人類“代數思想”的發展歷程，從而進行用字母表示數的設計，發展學生的符號化思想。我們知道，人類代數知識的發展大致經歷了三個具體階段，即文辭代數、縮寫代數和符號代數。在學生身上，也會出現歷史上人類認知提升曾經遭遇的障礙。首先，筆者出示“一只青蛙一張嘴，兩只眼睛四條腿，乒乒乓乓跳下水”，學生紛紛仿說。說不完，能不能用一句話概括地說呢？于是，有學生就是簡單地用字母代替文字，比如a只青蛙b張嘴，c只眼睛d條腿，乒乒乓乓跳下水。顯然，這樣簡單地用字母代替文字的過程，就是人類代數發展史上的“文辭階段”“縮寫階段”。為此，筆者這樣啟發學生：如何看出青蛙的只數與嘴的張數、眼睛的只數、腿的條數之間的關系呢？在學生思維出現障礙時，筆者這樣啟發學生：青蛙的眼睛的只數與青蛙的個數有怎樣的關系？青蛙的腿的條數與青蛙的只數有怎樣的關系？從而引領學生超越文辭代數、縮寫代數，進入符號代數的層面。只有當學生認識到青蛙的只數與眼睛的只數、腿的條數之間的關系，并能用符號表征這種關系時，學生才能深刻認識到，符號不僅可以表示確定的數，而且還可以表示變化的數;不僅可以表示未知數，而且還可以表示已知數;等等。

根據“歷史發生原理”，學生的數學學習歷程會重走人類探索數學知識的歷程。因此，教師有必要研究數學史、運用數學史。數學史中那些原始的、客觀的數學探究過程即是數學的“史學形態”。恢復數學知識的史學形態，其根本目的在于充分發揮數學史的教育功能，在數學教學中融入數學史，從而讓數學史更好地服務于學生的數學學習。

三、授之以漁：恢復數學知識的“思考形態”

著名教育家弗賴登塔爾說：“沒有一種數學思想，以它被發現時的那個樣子發表出來。一個問題被解決以后，相應地發展成一種形式化的技巧，結果使得‘火熱的思考變成了‘冰冷的美麗。”將學術形態的數學知識轉化為教育形態，要恢復數學知識的思考形態，比如數學家的思考形態。這種思考形態是鮮活的，富有生命力的。授之以漁，就是要點燃學生數學思維的火花。

比如：教學北師大版數學四年級上冊《運算律》時，學生遇到了這樣一道習題：1+2+3+…+98+99+100=？這不就是著名的“高斯問題”嗎？如何啟發學生運用加法交換律、結合律？筆者在教學中，力圖恢復、引導學生揣摩數學家高斯的“思考形態”：一個一個相加，太麻煩了。這一串數字有怎樣的特征呢？學生發現，從左往右，每一個數依次增加1;從右往左，每一個數依次減少1。如果從兩端往中間看，每一組中兩個數的和都是101。這樣一共有50組101，也就是用101乘50。或者，以小見大找規律。比如：1+2;1+2+3;1+2+3+4;……1+2+3+……+100。學生發現，每一組數都是“末位數”乘“末位數加1”然后除以2。在這個過程中，學生還原了一般的探索歷程，還原了數學家的思考品格：思維的變通性，思維的簡潔性。授之以漁，就是要引導學生展開火熱的數學思考，尋找數學知識背后的規律。借助這樣一種恢復數學思考形態的數學學習過程，可以培育學生的數學直覺力、數學理解力和數學創造性。經歷了這樣一個過程，學生不僅可以完整而深刻地理解數學知識的本質內涵，也能感悟、領悟到數學的文化價值，即一種信念、興趣，一種文化的積極啟蒙、創造。

數學不僅是一種工具，更是一種思維模式。通過對數學知識思考形態的恢復，學生在數學學習中能獲得一種觀念性、思想性的突破。正如古希臘著名思想家普羅泰戈拉所說：“頭腦不是一個要被填滿的容器，而是一把要被點燃的火炬。”在恢復數學知識思考形態的教學中，學生“火熱的思考”正是點燃“火炬”的火種！

數學知識是一種壓縮形態的知識，通過對數學知識的“解壓縮”而展開的數學教學，不僅能被學生主動地激活，而且能讓學生主動地建構、創造。通過“解壓縮”，教師引導學生將嚴密、抽象、冰冷的“學術形態”的數學轉化為生動、活潑、形象的“教育形態”的數學，這是一門科學，也是一門藝術。通過這樣的數學教學，學生能理解數學知識、感悟數學思想方法，能領悟數學的精神、文化。由此，有效提升學生的數學學習力，發展學生的數學核心素養。

【參考文獻】

[1]魏雪峰，崔光佐.小學數學問題解決認知模型研究[J].電化教育研究，2012（11）.

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