基于遺傳算法的極短弧段天基軌道確定方法

宋可楨 鄂薇 魏承 丁佳欣 趙陽

(1 中國空間技術研究院通信衛星事業部，北京 100094) (2 北京空間飛行器總體設計部，北京 100094) (3 哈爾濱工業大學航天工程與力學系，哈爾濱 150001)

隨著航天技術的發展，人類進入與利用太空的能力不斷增強，空間目標的數量也隨之快速增長，這相應帶來的是空間環境與空間安全形勢的逐步惡化，為了維護太空資產安全并保持空間優勢，美、俄等航天強國深刻意識到空間態勢感知的重要性，并將其視為優先發展的重點[1]。天基觀測系統作為空間態勢感知的重要組成部分，不受氣候、大氣、地域的限制，更易于實現多種角度觀測以及短期內的重訪觀測，不僅可以與地基系統進行協同配合，也可以作為獨立系統進行工作。其中，天基光學觀測系統能夠獲取光度、光譜、紋理、輪廓等大量信息、結構簡單且功耗小，已成為在軌觀測的主要手段。

在遠距離觀測過程中，天基光學觀測系統只能獲得觀測目標的測向信息而沒有測距信息，可以利用Gauss定軌法與Laplace定軌法對空間目標的初始軌道參數進行求解。由于空間目標與觀測平臺之間的相對運動速度較快，當以恒星跟蹤模式觀測時，空間目標的可見弧段極短，觀測弧段內空間目標的軌道位形變化微小，利用經典的軌道確定方法會由于求解方程的本征病態無法得到正確的解。雖然目前對極短弧段時長沒有準確的定義，但一般可以理解為利用經典的軌道確定方法計算不收斂、難以得到合理解的弧段。

為了能夠充分利用極短弧段觀測數據，實現對空間目標軌道參數的正確估計，有效提高多個短弧段之間的關聯性，并為精密定軌提供有效初值，學者們針對極短弧段軌道確定問題進行了深入的研究。Milani等利用測向角度與角度變化率來描述軌道參數，提出一種利用觀測斜距與斜矩變化率的約束域方法來求解極短弧段觀測條件下小行星的軌道參數，該方法能夠在多段短弧數據下實現軌道確定[2-3]。李駿將這種方法應用到空間目標天基軌道確定中，并提出了約束微分修正方法,實現了利用兩段極短弧段數據的空間目標軌道確定[4-5]。王雪瑩針對約束域方法運算量大且存在多解的問題，采用粒子群優化算法在約束域內進行優化求解，提高了計算效率[6]。Ansalone等采用遺傳算法對極短弧段天基觀測數據下的空間目標軌道參數進行估計，該方法將觀測弧段內首末時刻的測量斜矩作為優化參數，通過求解蘭伯特問題來確定初始時刻的軌道參數，該方法能夠有效解決低軌目標的軌道確定問題，但是精度受首末時刻的觀測數據誤差的影響較大[7]。Hinagawa等采用遺傳算法利用地基光學系統對短弧段內的地球同步軌道(GEO)目標進行軌道確定，將軌道根數分為兩組作為優化變量分別進行求解[8]，李鑫冉也采用遺傳算法來優化求解極短弧段定軌問題，同樣選擇的軌道根數作為優化參數，該方法利用地基觀測平臺的觀測數據對空間目標的初始軌道參數進行估計，主要的軌道確定對象為低軌空間目標[9-10]。

本文針對極短弧段觀測數據下經典軌道確定方法求解精度低的問題，建立了基于遺傳算法的空間目標初始軌道參數求解運算模型。為了提高計算效率與避免解收斂到局部最優值，根據空間目標的分布特性進行分區域計算，有針對性地縮小搜索范圍，最后在各搜索區域中的優選結果之中選擇出最優值。該方法可以為精密定軌提供有效初值，提高多個短弧段之間的關聯性，為天基光學觀測平臺的空間目標監視、跟蹤以及編目任務提供參考。

1 基于遺傳算法的空間目標初始軌道參數優化求解模型

1.1 空間目標天基觀測幾何模型

在已知空間目標的觀測時刻、單位觀測方向向量以及觀測時刻天基平臺觀測軌道位置的情況下，可以計算出空間目標的初始軌道，天基平臺觀測與被觀測空間目標的幾何關系如圖1所示。

圖1中O-XYZ為地心赤道慣性坐標系，rO和rT分別為空間目標和跟蹤航天器的位置矢量，l為跟蹤航天器指向空間目標的單位向量，ρ為測量斜距。由幾何關系可以得到ti時刻

rOi=rTi+ρili

(1)

式中：rOi,rTi為ti時刻空間目標與跟蹤航天器在地心赤道慣性坐標系下的位置矢量；li為ti時刻在地心赤道慣性坐標系下跟蹤航天器指向空間目標的單位向量；ρi為ti時刻測量斜距。

圖1 跟蹤航天器與空間目標觀測幾何關系Fig.1 Observation geometrical relationship between chaser and target

1.2 空間目標初始軌道參數優化求解模型的建立

1)優化變量選擇

空間目標的軌道可以由一組軌道根數確定，但是采用軌道六根數作為優化參數時，直接優化6個參數的搜索空間維數太大，因此分兩次對軌道根數優化λ1=(a,e,M0)與λ2=(i,Ω,ω)。其中a為半長軸，e為偏心率，M0為平近點角，i為軌道傾角，Ω為升交點赤經，ω為近地點俯角。先對λ1中的3個軌道參數進行優化求解，利用這3個參數可以直接計算出ti時刻下空間目標位置矢量rOi，再將λ1作為已知量來優化求解λ2。

生成初始種群時，需要根據一些先驗知識或約束條件對優化參數設置取值范圍，然后在所設置的值域范圍內隨機生成種群。本文對空間目標軌道參數進行分區域搜索優化解，最后從各區域中選出最優值。首先根據空間目標的半長軸a分布情況，將搜索范圍分為低軌、中低軌與高軌區域，然后根據半長軸a與偏心率e的相關性劃分偏心率的取值范圍，不同搜索區域種群值域設置見表1。

表1 不同搜索區域種群值域

2)初始種群生成與迭代終止條件

初始種群在值域范圍內隨機選取，以λ1中的優化變量半長軸a為例，在初始生成種群中a的取值可以表示為

ai=?amax+(1-?)amin

(2)

式中：amax、amin為優化變量a的值域最大值與最小值；?為隨機數，?∈[0,1)。

當優化解收斂趨于穩定時可以停止計算生成子代，本文中當種群計算過程中滿足以下條件之一時，迭代計算終止：

(1)當迭代次數大于所設置的最大迭代次數，本文最大迭代數設置為300；

(2)當最優值保持不變所持續的代數大于3時。

3)變異運算

變異運算決定了算法的局部搜索能力，變異概率Pm一般取值為0.01～0.1。變異運算在種群中按照變異概率隨機選擇染色體，并將各個基因的標準差作為變異量加入到染色體中，作為下一代染色體。變異運算可以表示為

(3)

4)交叉運算

交叉運算決定了算法全局搜索能力，交叉概率Pc一般取值為0.6～0.9。由于采用實數編碼，每條染色體上具有3個基因，當(k-1)代進行交叉運算生成k代時，隨機從種群中選擇兩個染色體，然后將e、M0進行交換，或者將M0進行交換。交叉運算表示為

(4)

5)適應度函數

在遺傳算法中最重要的部分就是適應度函數的選取，首先給出λ1的的適應度函數。ti時刻下平近點角Mi表示為

(5)

式中：μe為地球引力常數。

通過求解開普勒時間方程，可以得到偏近點角θEi，從而可以得到rOi的模值為

‖rOi‖=a(1-ecosθEi)

(6)

根據觀測幾何關系，測量斜距ρi可以表示為

(7)

將式(7)代入到式(1)中，可以得到ti時刻下空間目標位置矢量rOi，而ti時刻下的真近點角θRi由θEi表示為

(8)

對于兩個時刻(ti,tj),j>i下空間目標真近點角度差值Δθji與rOi,rOj位置向量的之間夾角相同，因此適應度函數可以表示為

(9)

(10)

6)選擇運算

選擇運算就是以一定的比例從當前種群中選擇出適應度較高的個體，令其繁殖產生下一代。本文中選擇出適應度排序前10%的個體作為精英個體，但為了保持種群多樣性，在剩余的個體中隨機選擇5%的個體進入到下一代進行繁殖。

2 仿真試驗結果與分析

按照試驗數據來源的不同，本文的仿真試驗分為兩部分，第一部分利用空間目標的觀測方向向量進行初軌確定計算，觀測數據誤差來源于圖像提取的誤差，試驗考慮了跟蹤航天器傳感器對空間目標的可見性條件；第二部分為對比試驗，將本文所使用的算法是與同樣采用遺傳算法但以觀測斜矩作為優化變量初軌確定方法以及高斯定軌法進行對比，該部分試驗不考慮跟蹤航天器傳感器對空間目標的可見性，只考慮兩者的空間位置關系。

2.1 空間目標初始軌道計算試驗

表2為初軌軌道計算仿真試驗中空間目標的國際編號以及仿真初始時刻跟蹤航天器與觀測目標的瞬時軌道根數，以表2中3個空間目標在觀測弧段內的觀測方向向量作為觀測數據，利用本文提出的計算模型對空間目標進行初始軌道確定。在該算例中，跟蹤航天器的傳感器選擇恒星跟蹤模式對空間目標成像，相機光軸指向赤經為5°赤緯為10°的方向，同樣選擇最大觀測弧長進行初軌確定。設置初始種群數量為50，變異概率Pm=0.05，交叉概率Pc=0.8，最大迭代次數為300。試驗對每組觀測數據在3組值域范圍內進行計算，并取適應度值最優的一組作為最優解。

表2 觀測目標與天基觀測瞬時軌道根數

圖2為跟蹤航天器相機對空間目標進行觀測的幾何關系，圖2中黃色軌道為被觀測的空間目標，紫色軌道為跟蹤航天器，藍色視場為跟蹤航天器相機觀測視場。

圖3為3個空間目標的軌道參數λ1=(a,e,M0)與λ2=(i,Ω,ω)進化過程中適應度值的變化，從圖3中可以看出國際編號為21989的空間目標兩組軌道參數的收斂速度很快，在進化到20代后已經趨于穩定，而且λ1在第一代平均適應值已經小于3″；29422軌道參數的收斂速度較慢，其中λ1是在迭代次數達到上限時停止迭代的，最優的適應度值也較大；29444軌道參數中λ1收斂的速度較快，而參數λ2也是在迭代次數達到上限時停止迭代的，最優適應度值相對于21989而言較大，主要原因是由于21989為高軌目標，相對運動速度較慢，采集到的觀測數據量相對于其他兩個目標的較多，擬合精度高于中、低軌目標。

圖2 跟蹤航天器相機對空間目標的觀測幾何關系Fig.2 Observation geometrical relationship between sensor and targets

圖3 優化軌道根數的適值收斂過程Fig.3 Convergence process of the fitness value of orbit coefficien

表3給出了3個空間目標定軌誤差，其中，觀測時長為26 s的中軌目標29 422誤差較大，半長軸的誤差達到100 km，偏心率最大誤差可達0.041 8；觀測時長為42 s的低軌目標294 44誤差相對較小，半長軸誤差為22 km，偏心率誤差為0.000 8；觀測時長為364 s的高軌目標219 89誤差最小，半長軸誤差為12 km，偏心率誤差0.001 9。3個空間目標除平近點角外其他4個角度類型的軌道根數誤差都較小。

可以看出，軌道參數的精度隨觀測弧長的減小而降低，相對于無法計算出合理解的傳統定軌方法，采用遺傳算法計算空間目標軌道參數具有一定優勢，并且這種定軌精度能夠滿足空間目標初始軌道確定的精度要求，能夠為相同空間目標的多段短弧數據提供關聯性，并為后續的精密定軌提供有效初值。

表3 遺傳算法對不同空間目標的定軌誤差

2.2 不同算法對比試驗

為了驗證本文所使用算法的優勢，將本文所使用的算法與文獻[10]中同樣采用遺傳算法但以觀測斜矩作為優化變量初軌確定方法以及高斯定軌法進行對比，該部分試驗不考慮跟蹤航天器傳感器對空間目標的可見性，只利用兩者的空間位置關系計算空間目標單位觀測方向向量，并將角度噪聲加入到觀測方向向量中。對比試驗部分的跟蹤航天器與觀測目標的軌道參數見表4，該算例以60 s的觀測數據進行初始軌道計算。

表4 觀測平臺與觀測目標的軌道參數

首先給出將角度噪聲加入到觀測方向向量的方法，在地心赤道慣性(ECI)坐標系下的觀測方向向量l可以表示為l=lxrex+lyrey+lzrez，其中，rex、rey、rez分別為慣性坐標系的坐標軸單位向量，因此選擇任意一個方向與l不平行的坐標軸方向向量，令rh=l×rex，令l繞rh旋轉角度β1，β1是一個符合高斯分布的角度噪聲，旋轉后的向量可以表示為

l1=lcosβ1+(rh×l)sinβ1

(11)

將l1繞l旋轉角度β2，β2符合0～2π之間均勻分布，利用Rodrigues旋轉方程加入噪聲，加入噪聲后的空間目標觀測方向向量lm可以表示為

lm=l1cosβ2+(l×l1)sinβ2+

l(l·l1)(1-cosβ2)

(12)

按照該方法可以對空間目標觀測方向向量加入角度類型的噪聲，由于每組試驗中所產生的誤差都具有隨機性，因此試驗采用蒙特卡洛仿真方法，每次試驗采用1000組具有不同隨機誤差的觀測方向向量數據進行軌道計算，并取1000組仿真試驗結果的平均值作為最終計算結果。圖4為本文所采用的算法，且測量數據為1″隨機誤差的蒙特卡洛仿真結果，圖4中紅色圓點為仿真結果，藍色方點為真值。從圖4中可以看出，計算出的軌道根數分布集中于真值周圍，遠離真值附近的仿真算例中測量數據誤差較大，其中半長軸與偏心率的誤差分布較大，而能夠確定軌道面的軌道傾角i與升交點赤經Ω誤差相對較小，軌道傾角i的誤差分布主要在4°范圍之內，升交點赤經Ω的誤差分布主要在3°之內，對于偏心率較小的近圓軌道近地點幅角與平近點角的誤差會較大，但是可以看出兩者之間具有斜率為-1的線性比例關系。

圖4 軌道根數優化解與真值分布Fig.4 Optimal solution and truth value of orbit coefficient

將本文所使用的以軌道根數作為優化變量的軌道參數求解方法、文獻[10]中以采觀測斜矩作為優化變量的軌道參數求解方法以及Gauss定軌法進行對比，表5為空間目標觀測方向向量的誤差分別為1″、2″、3″情況下3種算法的定軌誤差。從表5中可以看出，3種算法的定軌精度都隨觀測方向向量誤差的增大而增大，Gauss定軌法的定軌精度明顯低于基于遺傳算法軌道確定方法，而采用軌道根數作為優化變量的方法優于采用觀測斜矩作為優化變量的方法，同時利用軌道六根數作為求解優化變量能夠避免了求解蘭伯特問題，降低了適應度函數的復雜度與計算量，而且減少首末時刻測量數據誤差影響的程度，更適用于解決空間目標極短弧段軌道確定問題。

表5 不同誤差下三種算法的定軌誤差

3 結束語

文章針對天基觀測可見弧段較短利用經典軌道確定方法無法獲得合理解的問題，采用遺傳算法對空間目標極短弧段天基軌道確定問題進行優化求解，并利用軌道根數作為優化變量。通過分析空間目標的在軌分布特性，按照軌道高度將搜索空間進行劃分，從而縮小了搜索范圍提高了計算效率。通過與不同算法進行對比，采用軌道根數作為優化變量的方法優于采用觀測斜矩作為優化變量的方法與Gauss定軌法，利用軌道六根數作為求解優化變量能夠避免了求解蘭伯特問題，降低了適應度函數的復雜度與計算量，而且減少首末時刻測量數據誤差影響的程度，更適用于解決空間目標極短弧段軌道確定問題。該算法對于利用極短弧段觀測數據的初始軌道確定計算效率與精度較高，具有較強的工程實用性。