復(fù)合型Laguerre方程邊值問(wèn)題解的相似結(jié)構(gòu)

李順初，張紅麗*，鄭鵬社，桂欽民

（1.西華大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，四川 成都610039；2.北京東潤(rùn)科石油技術(shù)股份有限公司，北京100029）

在處理石油等領(lǐng)域?qū)嶋H問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常會(huì)涉及微分方程，所以研究方程解的內(nèi)在規(guī)律是簡(jiǎn)化求解方程不容忽視的一步，方程的解式能否用統(tǒng)一的式子來(lái)表示呢？近年來(lái)，就有相關(guān)研究報(bào)告給出了肯定的回答，并且逐步構(gòu)成了微分方程解的相似結(jié)構(gòu)理論［1-6］.

Laguerre方程在統(tǒng)計(jì)學(xué)［7-9］、量子力學(xué)［10-11］領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，但在以往的研究中，卻沒(méi)有針對(duì)復(fù)合型Laguerre方程解的相似構(gòu)造進(jìn)行研究.鑒于以上研究的思路，本文研究了復(fù)合型Laguerre方程［12］邊值問(wèn)題：

其中：D、E、F、K、H、a、b、c、n、α、β 為已知實(shí)常數(shù)，且 D≠0，K2+H2≠0，0＜a＜b，n 為正整數(shù).

1 預(yù)備知識(shí)

引理1［12］Laguerre方程的通解可以寫為：

其中，A1、A2、B1、B2為任意常數(shù)是 Laguerre 多項(xiàng)式，Gi(-ni,1,x)是第二類 Kummer函數(shù).

引理2［12］已知 F(α,γ,x)為第一類 Kummer函數(shù)，則

依據(jù)引理 2，以及 Lni(x)與 F(-ni,1,x)的關(guān)系：Lni(x)=ni！F(-ni,1,x)；Gi(-ni,1,x)與 F(-ni,1,x)的關(guān)系：Gi(-ni,1,x)=F(-ni,1,x)lnx-1.求得：

引理3 對(duì)于二元函數(shù)：

有：

其中：i=1 代表左區(qū)(a＜x＜c)，i=2 代表右區(qū)(c＜x＜b).

2 解的相似結(jié)構(gòu)

本文的證明思想是，首先論證下面的相似結(jié)構(gòu)定理.

定理 1若邊值問(wèn)題（1）有解，則它的左區(qū)(a＜x＜c)解為：

右區(qū)(c＜x＜b)解為：

其中：ψ*(x)稱為右（區(qū)）相似核函數(shù)：

ψ(x)稱為左（區(qū)）相似核函數(shù)：

證邊值問(wèn)題（1）的定解方程是 Laguerre方程，根據(jù)引理1，可以得到(1)的通解為：

其中 A1、A2、B1、B2為待定常數(shù)，可以由邊值問(wèn)題(1)左右邊界條件確定待定常數(shù) A1、A2、B1、B2.

由邊值問(wèn)題(1)的左邊界條件B1知：

由邊值問(wèn)題（1）的右邊值條件［Ky2+Hy2′］x=b=0知：

根據(jù)邊值問(wèn)題（1）有唯一解［13］可以得到，關(guān)于待定系數(shù) A1、A2、B1、B2的線性方程組（14）～（17）的系數(shù)行列式△≠0，且經(jīng)過(guò)計(jì)算得：

求解線性方程組（14）～（17），得：

推論1在邊值問(wèn)題（1）中，如果右邊界條件為y2(b)=0(即K≠0,H=0),則其對(duì)應(yīng)的右相似核函數(shù)為：

推論2在邊值問(wèn)題（1）中，如果右邊界條件為y2′(b)=0(即K=0,H≠0)，則其對(duì)應(yīng)的右相似核函數(shù)為：

推論3 邊值問(wèn)題（1）的解式與它的導(dǎo)數(shù)存在有如下性質(zhì)：

3 相似構(gòu)造法步驟

第一步：構(gòu)造引解函數(shù).

利用邊值問(wèn)題（1）的左右區(qū)定解方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解Lni(x)與Gi(-n,1,x)(i=1,2)，作出引解函數(shù)：

第二步：構(gòu)造左右相似核函數(shù).

第三步：獲得邊值問(wèn)題的解.

對(duì)復(fù)合型 Laguerre 方程邊值問(wèn)題（1），根據(jù)（9）式，結(jié)合左邊界條件［Ey1+(1+EF)y1′］x=a=D 的系數(shù) E、F、D和左相似核函數(shù)ψ(x)，組合整理即可得到該邊值問(wèn)題的左區(qū)間解；同理，根據(jù)（10）式，通過(guò)對(duì)［Ey1+(1+EF)y1′］x=a=D 的系數(shù) E、F、D，左引解函數(shù)、交界面條件系數(shù)α、β與右相似核函數(shù)ψ*(x)進(jìn)行組合整理，即得到該邊值問(wèn)題的右區(qū)間解.

實(shí)例求解如下邊值問(wèn)題：

與邊值問(wèn)題（1）對(duì)比可知，在本例中，a=0,c=α=β=1,b=2,n1=1,n2=2,E=0,K=0,F=H=D=1.根據(jù)相似構(gòu)造法的步驟，可直接求解出邊值問(wèn)題（26）的解.

第一步：構(gòu)造引解函數(shù).

根據(jù)方程 xy1″+(1-x)y1′+y1=0(0＜x＜1)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，構(gòu)造引解函數(shù)(x,ε)=L1(x)G1(-1,1,ε)-L1(ε)G1(-1,1,x).

同理，根據(jù)方程 xy2″+(1-x)y2′+2y2=0(1＜x＜2)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，構(gòu)造引解函數(shù)(x,ε)=L2(x)G2(-2,1,ε)-L2(ε)G2(-2,1,x).為方便，記 Gi(x)=Gi(-ni,1,x).

第二步：構(gòu)造左右相似核函數(shù).

根據(jù)（11）式，獲得右相似核函數(shù)如下：

并求得：

同理，根據(jù)（12）式，獲得左相似核函數(shù)如下：

并求得：

第三步：獲得邊值問(wèn)題的解.

根據(jù)（9）式即可得到邊值問(wèn)題（1）的左區(qū)間解：

根據(jù)（10）式即得到邊值問(wèn)題（1）的右區(qū)間解：

其中：

4 結(jié)論

復(fù)合型Laguerre方程邊值問(wèn)題的左區(qū)間解(9)式，可由左邊界條件的系數(shù)E、F、D和左相似核函數(shù)(0)進(jìn)行組裝，且能用統(tǒng)一的式子表示；右區(qū)間解（10）式，可由交界面條件的系數(shù)α、β和右相似核函數(shù)ψ*（x）進(jìn)行組裝構(gòu)成.

左相似核函數(shù)ψ(x)與右相似核函數(shù)ψ*(x)是由右邊界條件系數(shù)K、H交界面條件的系數(shù)α、β和Laguerre方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)Lni(x)、Gi(-n,1,x)來(lái)構(gòu)成.

隨著右邊界條件，交界面條件的系數(shù)的改變而改變相應(yīng)的左、右相似核函數(shù)［14-16］，可以得到Laguerre方程的邊值問(wèn)題的解的相似結(jié)構(gòu)式從而避開(kāi)復(fù)雜的運(yùn)算，提高求解的效率.