多項式的伴侶矩陣的應用

曾慶怡

（韶關學院 數學與統計學院，廣東 韶關 512005）

中學數學一元二次方程的根與系數的關系就是耳熟能詳的Vieta(韋達)定理，這個定理常見的應用是在已知方程的解未知的條件下，求做與已知方程根有某種關系的另一個方程以及相應的計算問題.對于次數高于2次的根與系數的關系問題，在大學高等代數教材中有相應的結果.

設f(x)=xn+an-1xn-1+…+a1x+a0是數域F上的首項系數為1的n次多項式，而α1,α2,…,αn是f(x)的全部復根，則：

對于多項式的根的相應的式子的計算問題［1-3］，當多項式f(x)的次數比較高的時候，計算量是比較大的，但是如果用高等代數的相應知識來解決就要快捷很多.筆者整理了部分高校的考研試題，利用多項式的伴侶矩陣的性質解決這類問題.

1 問題介紹

問題1：設ξ1,ξ2,…,ξn是有理系數多項式g(x)在復數域上的全部根，問對任意有理系數多項f(ξi)一定是有理數？證明你的結論(北京大學2012年高等代數考研試題).

問題4：設1,a1,a2,…,a2n是多項式x2n+1-1在復數域上C的全部根，證明北京師范大學1988年高等代數考研試題).

問題6：設x1,x2,x3是多項式f(x)=5x3-6x2+7x-8的三個根，求的值(昆明理工大學2007年考研真題).

問題7：設f(x)是首項系數和常數項都是1的n次整系數多項式，f(x)的全部復根是α1,α2,…,αn，證明對任意整數k是整數.

這7個問題看似是多項式的根的問題，但是每個首項系數為1的多項式一定是某個矩陣的特征多項式，這個矩陣就是多項式的伴侶矩陣.而多項式的根就是這個伴侶矩陣的特征值，于是多項式的根的問題就轉化為伴侶矩陣的特征值的問題.利用矩陣的特征值的相關性質，可以解決上述問題，而且比純粹用多項式的方法簡單快捷.

2 多項式的伴侶矩陣的應用

命題1 設f(x)是數域F上首項系數為1的n(n≥1)次多項式，則f(x)一定是數域F上某個n階矩陣的特征多項式［1］.

證是數域F上的n次多項式.取：

則容易計算有：

矩陣A就是多項式f(x)的伴侶矩陣，而多項式f(x)的根就是A的特征值.f(x)的所有根的和就是矩陣A的跡tr(A)，而所有根的積就是A的行列式|A|.

設λ是A的任意特征值，則對任意正整數k,Ak的特征值就是λk，于是對任意非零多項式g(x),g(A)的特征值就是g(λ).因為A是有理數域上的矩陣，Ak還是有理數域上的矩陣，因此tr(Ak)也是有理數，解決了問題(2).

問題(1)，(3)的解答：

證問題(1)，一定是有理數.不失一般性可設g(x)的首項系數為1.由命題1存在有理數域上的n階矩陣A使得g(x)為A的特征多項式，因此ξ1,ξ2,…,ξn為A的全部特征值.對任意有理系數多項式f(x),f(A)的特征值是 f(ξ1),f(ξ2),…,f(ξn).而 f(A)是有理數域上的矩陣是有理數.

問題(3)，a未必是有理數，a2一定是有理數.令g(x)=x2-2，則g(x)的兩個根是都不是有理數.

由命題1，設A是g(x)伴侶矩陣，而ξ1,ξ2,…,ξn就是的全部特征值，因此對任意正整數k,Ak的特征值是一定是有理數.考慮以下有理數域上的行列式：

等式左邊是一個有理數域上的行列式，其值是有理數，因此a一定是有理數.因為因此 b 是有理數.

問題(4)的解答：

證令 g(x)=x2n+x2n-1+…+x+1，則 x2n+1-1=(x-1)g(x)，從而 a1,…,a2n就是 g(x)的全部根.令 α=(1,1,…,1)T∈R2n-1，則g(x)的伴侶矩陣是因此a,…,a就是A的全部特征值，從而E-A的特征值是1-a,1-12n2n-11a2,…,1-a2n，而這些特征值的乘積就是|E2n-1-A|.于是：

問題(5)的解答：

證設A是f(x)的伴侶矩陣，x1,…,xn就是A的特征值，從而的特征值就是A2，因此A2的特征多項式g(x)就是以為根的多項式.

如果a0≠0，則f(x)的每個根非零，A可逆，而A-1的特征值就是因此A-1的特征多項式h(x)是所求的多項式.

例1 設f(x)=x3+2x2+3x+1,x1,x2,x3為f(x)的根，求作以為根的多項式g(x)；以及以為根的多項式h(x).

解因為f(x)的伴侶矩陣A是：

簡單計算可得A2的特征多項式是g(x)=x3+2x2+5x-1，而A-1的特征多項式h(x)=x3+3x2+2x+1.

問題(6)的解答：

解所求式子整理后變成，按照根與系數的關系可以求的這個式子的值，只是在計算的時候計算量比較大，這個問題采取伴侶矩陣的辦法計算比較簡單.

顯然x1,x2,x3是多項式的根，g(x)的伴侶矩陣是：

于是x1,x2,x3就是A的特征值，從而：

問題7的解答：

證令A為f(x)的伴侶矩陣，則A是整數矩陣，α1,α2,…,αn是A的特征值，從而對任意正整數的特征值.由于A是整數矩陣，Ak也是整數矩陣，因也是整數.

因為|A|=(-1)n，所以A-1=|A|-1A*也是整數矩陣，這里A*是A的伴隨矩陣，而A-1的特征值是是整數.于是對任意正整數k,A-k=(A-1)k是整數矩陣，從而

3 結語

首項系數為1的多項式f(x)根的相關問題可以轉化為f(x)的伴侶矩陣的特征值的相應問題，利用伴侶矩陣的相應結果解決多項式對應的問題，這種辦法有時候比用單純的多項式理論解決來的簡單快捷.當然，這要求讀者本身要對多項式與其伴侶矩陣方面的知識點要能融會貫通.