如何巧用化歸思想開展初中數學解題

周林雪

[摘 ? 要]首先闡述化歸思想的內涵和基本功能;其次說明化歸思想在初中數學解題中的應用原則;最后結合具體的例題分析化歸思想在初中數學解題中的應用方法.

[關鍵詞]化歸思想;解題;初中數學

[中圖分類號] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻標識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058（2019）26-0019-02

化歸思想作為一種重要的數學思想，始終貫穿于初中數學解題中，它能使抽象的數學問題具體化，把復雜的數學問題簡單化，從而實現初中數學解題的高效化.本文首先闡述了化歸思想的內涵和基本功能，并結合具體的例題對化歸思想在初中數學解題中的應用進行了分析，希望對師生利用化歸思想來解決初中數學問題能有所幫助.

一、化歸思想的內涵

化歸其實是轉化和歸納的簡稱，而化歸思想的核心是把難解轉化為易解、把復雜轉化為簡單、把未知轉化為已知，如把四邊形問題轉化為三角形問題、把代數問題轉化為幾何問題、把分式方程轉化為整式方程等.實現這種轉化的方法主要有整體代入法、配方法和待定系數法等.

二、化歸思想的基本功能

作為初中數學解題中的一種重要思想，化歸思想同時也是一種有效的數學思維方式和最基本的思維策略.化歸思想的實質是采用變化手段來研究和解決有關數學問題使其轉化，進而達到解決問題目的的一種方法.在初中數學解題中，化歸思想無處不在，其基本功能為把含糊轉化成明朗、把抽象轉化成直觀、把復雜轉化成簡單、把生疏轉化成熟悉.在解答初中數學題的過程中，要善于對所要解決的問題進行變換轉化，從而使問題變得簡單易解.

三、化歸思想在初中數學解題中的具體應用

1.特殊化方法

化歸思想的特殊化方法就是將已知的問題轉化為特殊情況或形式，然后尋求問題的解決方法和結論時通過對特殊情況進行研究的一種數學方法.現以例1為例來對特殊化方法進行具體的說明.

[例1]如圖1-1所示，假設∠AOB為一定角，P點為一定點，且位于∠AOB 的平分線上，連接OP，以OP為弦作圓交OA于C、交OB于D，求證：OD與OC之和為一定值.

首先將此題中的情況特殊化，如圖1-2所示，假設OP為特殊位置的弦（OP為直徑），且OP = L，∠AOB =2α，因為OP經過圓心，可以得出∠ODP=∠OCP=90°，OD+OC=2OD=2Lcosα，因此OD與OC之和為一定值.而OP不經過圓心的證明過程如下：如圖1-1所示，作PF⊥OB于F，作PE⊥OA于E，又因為∠AOB的平分線為OP，因此可以得出PF=PE，OF=OE=Lcosα，可知∠PDF=∠PCE，因此Rt△PDF ≌ Rt△PCE，所以DF=CE，OD+OC =（OF + FD）+（OE - CE）= OF+OE= 2Lcosα，因此OD與OC之和為一定值.

2.熟悉化方法

化歸思想的熟悉化方法就是把陌生的問題化歸為熟悉的問題，然后利用已掌握的知識和經驗來解答題目.現以例2為例來對熟悉化方法進行具體的說明.

[例2]如圖2所示，假設BD、AC分別為圓內接凸四邊形 ABCD 的兩條對角線，求 AD·BC+AB·CD= AC·BD.

這個等式的證明比較復雜，我們都不易著手，比較生疏，但是對于AB=CD這一類線段關系式的證法我們就比較熟悉，所以可先按照AB=CD這類型的等式來進行處理.經過仔細觀察可以發現，要想證明AD·BC+AB·CD= AC·BD，可假設在線段 AC或者 BD上存在一點 P，使得 AC·BP=AB·CD ① 和 AC·PD= AD·BC ②能夠同時成立，這樣的話只要等式①+②就可以證明AD·BC+AB·CD= AC·BD，所以我們成功地把問題轉化成了兩個比較熟悉的問題，要讓等式①和等式②同時成立，只需證明△ADP ∽ △ACB和△ABP ∽ △ACD，這對我們來說就容易多了.

3.簡單化方法

化歸思想的簡單化方法就是把比較復雜的圖形和問題轉化為若干個具有某種特殊關系的圖形和簡單的問題，然后逐一進行解決，各個擊破，最后再加以綜合得出答案.現以例3為例來對簡單化方法進行具體的說明.

[例3]解方程 [x+5]+2[x2+5x]+[x]=25-2x .

解無理方程的一般方法是盡量去掉根式轉化為有理方程來解答，同時考慮到整體與部分的關系以及有關的特征，因此此題可選擇釆用換元法來解答.首先令y=[x]+[x+5]，則[y2]=2x+5+2[x2+5x]，然后可把原方程轉化為：[y2]+ y-30=0，對此方程求解可得：y1=5，y2=-6（舍去）.把 y = 5代入y=[x]+[x+5]，方程兩邊同時進行平方，經過整理后可得：[x2+5x]=10-x，再次對方程兩邊進行平方，經過整理后可得：x=4，經檢驗，方程的根為x=4.

4.直觀化方法

化歸思想的直觀化方法就是把抽象的問題轉化為直觀的問題.現以例4為例來對直觀化方法進行具體的說明.

[例4]m、n均為正數，且滿足條件 m + n = 3，且 S =[m2+4]+[n2+4] ，求 S 的最小值.

剛接觸到這道題時難免會覺得題目比較抽象而無從下手.但是假如我們用數形結合思想來進行解題的話，題目就會變得比較直觀，如圖3所示，線段AB與DE交于點C，連接AD、BE，代入題目中的已知條件可知， BE =AD =2，m + n =AB=3，且∠CBE =∠CAD = 90°。求 CE+CD的最小值就是求S的最小值.從題目中可以看出，CE+CD的最小值就是當E、C、D成一條直線時，此時的C 點為線段AB 的中點，S 的值為最小.

具體的解題過程如下：如圖3所示，設CB = n， AC = m，由m + n =AB = 3可得AC=BC=[12] AB=[32]，即n=m=[32]，在Rt△BEC與Rt△ADC中，CD = [AD2+AC2]=[4+94]=[52]，而CE=[BC2+BE2]=[52]，則 DE =S = CE+ CD = 5.因此可以得出 S的最小值為5.

解答本題的關鍵是通過觀察題目所給的已知條件，進而想到用圖形構造把抽象的問題轉化為直觀的問題，然后通過所構造圖形的實際意義求出相應的答案.

綜上所述，化歸思想是初中數學解題中最重要的思想之一，把復雜的問題轉化為簡單的問題是化歸思想的實質.利用化歸思想來解答初中數學題的方法有很多，包括數形結合法、構造法和換元法等，解答題目時，釆用其中一種或多種，可實現解正確題率的最大化.

（責任編輯 黃春香）