六步法提升初中數學二次函數圖像的有效教學

浙江省杭州市豐潭中學 吳菊云

一、初中數學二次函數圖像教學中存在的問題

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中提到的函數、數形結合、模型等重要內容、方法、思想是需要學生經歷較長的認識過程，逐步理解和掌握的.函數性質建立在函數概念上，從直觀到抽象，從模糊到清晰逐漸深入，知識的掌握和運用，也是從簡單到復雜，從單一到綜合.雖然八年級時已經學了一次函數和反比例函數，但大部分學生還是會說難，不會做，對函數是什么，學了有什么用，為什么要畫函數圖像不明確.

經過調查分析后，我總結出原因有三：其一，函數及其圖像的概念模糊，三種表達方式彼此間孤立無聯，對一個函數沒有形成有機的整體的理解；其二，對函數圖像的構建過程缺少充分的體驗；其三，對數形結合這一重要學習方法的學習不得要領.針對成因，我在二次函數的圖像的教學中大膽嘗試，改進教學方式，提出了“六步法”有效教學策略.

二、六步法概念解析

教學中教師發現，畫函數圖像的第一步驟“列表”很難發揮出它的作用，致使“數”與“形”割裂.我認為，對新函數的性質的探究中，最原始的起點也是最重要的方法是“邊取值邊描點”，數形相結合地畫出函數圖像.而“列表”是在函數圖像和解析式之間架起的一座橋梁，應該把它放在一個更需要它發揮作用的位置，因此我創新了探究函數圖像與解析式的關系的“六步法”，如圖1所示.

圖1

三、六步法二次函數圖像有效教學的實踐

（一）夯實六步法基礎：函數與函數的圖像的概念理解

1.重新審視函數的意義，使學生充分認識函數

（1）函數的定義：設在某一變化過程中有兩個變量x、y，如果對于x在某一范圍內的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應，那么就稱y是x的函數，x叫作自變量.也就是說：變量y，以某一種方式依賴于變量x，即當變量x在某一范圍內變化時，變量y也隨著變化，并且有唯一確定的值和它對應.核心詞：“變化、對應、唯一確定”.y是x的函數描述的是兩個變量之間的變化關系，通俗地理解為：“y跟著x變而變，且能被x確定.”

（2）細讀精講概念中的核心詞.九年級學生已經有函數學習的經歷，再加上認知水平的發展，教師講解核心詞“y跟著x變而變”，再舉實例講述函數的概念，讓學生從中感悟.實例：勻速運動的行程問題中s=vt.

（Ⅰ）當以60千米/時勻速運動時，路程s=60t隨時間的變化而變化；

（Ⅱ）當用時為2小時不變時，路程s=2v隨所選速度大小的變化而變化；

當其中一個是常量時，另外兩個變量的對應關系，都可以看作任意一個跟著另一個的變而變.生活中隨處可見變量和它們的函數關系.

（3）“能被x確定”.

對函數概念中“唯一確定”這一要素必須要強調解釋.

函數是學生比較難理解和掌握的數學概念之一，在教學中，教師精講核心詞，輔以貼近生活、通俗易懂的實例，讓學生再次經歷概念的概括，從中感悟.

2.強化函數圖像的意義，破譯數形聯系的“密碼”

畫函數圖像的關鍵是理解數和形是怎樣聯系的：給出一組自變量和函數的值在坐標系中，橫軸表示自變量，縱軸表示函數，相應地描出橫坐標為a、縱坐標為b的點（a，b），反過來，點（a，b）的意義就是當自變量x=a時，對應的函數值y=b.

例如，氣溫報告的截圖中，橫坐標代表時間，即自變量的值，縱坐標為對應的氣溫，即函數值.縱坐標代表對應的氣溫，如果當天14時的氣溫為26℃，那么就用點（14，26）來表示；反過來，點（14，26）的實際意義是當天14時的氣溫為26℃.

然后，教師指導學生進行練習，反復多練幾組，體驗數和形的聯系，進行強化.師生總結：數形聯系的破譯“密碼”為點（a，b）.

實際作圖時，點描得越多，越接近真實的圖像.函數圖像的產生將數量關系直觀化、形象化，提供了數形結合研究問題的重要方法.

（二）六步法探究y=ax2型二次函數圖像，數形聯系“密碼”畫圖像

二次函數y=ax2的圖像教學重點是選擇適當的自變量的值和相應的函數值來畫函數圖像，該過程是本節課教學的難點.在具體操作過程中，要考慮：第一個該取多大的值呢？第二個、第三個呢？它們得從小到大依次排列在表格中，那么相鄰兩組值的間距取多少合適？如果能繼續取下去，那么取到多少個值時能了解到圖像的整體？要解決上述困難，需要引導學生分析解析式的特征，判斷這些取值的合理性.學生在取值的過程中，對如何通過“值與點”對應畫函數圖的教學重點聚焦不足.為此，筆者采取了六步法探究y=ax2型二次函數的圖像，使用數形聯系的“密碼”畫圖像.

例如，畫解析式最簡單的二次函數y=x2的圖像.

（1）教師自制的網格坐標系中，由學生自由發揮，去計算出各組x、y的對應值，進行“描點”.沒有任何限制地開放式取點，學生自然會思考如何取點計算方便，更易描點，發現取整計算方便，點描得越多越準確.取絕對值小的x的值，90%以上學生都能完整地畫出二次函數y=x2的頂點和對稱點，從而發現圖像的對稱性.

圖2

（2）連接各點，解惑釋疑.

此時他們實際遇到的困難是：如圖2，①當（2，4）和（3，9）兩點距離比較遠的時候，不好判斷這兩點之間的點的走向，在連接各點時增加了難度.這時，師生一起討論得出，可以在兩點之間再選取（2.5，6.25），同理，（3，9）和（4，16）之間可以再選取（3.5，12.25），…，根據需要選取出更多處在中間位置的點.

②連接頂點和與它相鄰的兩點時，學生可能會用線段連接，教師鼓勵他們在頂點和相鄰點之間再取一點（0.5，0.25）驗證看看.

③學生通過自己的計算，描出了9個甚至以上的點，再進行歸納、合情推理，得到了一條光滑曲線，即二次函數的圖像是一條拋物線.

“描點”時，學生直接使用數形聯系的“密碼”，“邊取值，邊描點”“邊描點，邊取值”，體驗“數值和點”的一一對應，實踐數形結合的思想方法，化繁為簡，突出重點.

課堂上，教師尤其要注重圖建構的過程，引導學生經歷一個動手、動腦、觀察、歸納、分析、綜合、抽象、概括的形成過程，主動獲取知識的過程需要保障學生有更多、更充足的時間去經歷和體驗.

（三）六步法探究a不變時圖像平移規律和解析式的關系

1.六步法研究二次函數y=ax2+k 的圖像

以y2=為例.

（1）學生“邊取值、邊描點”，畫出y1=的圖像.

（2）觀察直觀的圖像特征，得：y1的圖像向上平移3個單位的圖像.

（3）由圖像特征聚焦到點的位置特征，即y1圖像上的每一點圖像上的對應點.

（4）“列表”，觀察表中的數據特征來驗證點的位置.

找出你剛才描出的兩個函數的幾對對應點，列表分析各對對應點的坐標特征.

圖3

表1

（5）探索表中數據的特征和解析式的關系.

當x的值相同時，y2總比y1大3解析式中的常數項k2-k1=3.

（6）綜合圖像和解析式的關系.

y1的圖像的圖像解析式中的常數項|k2-k1|=3.

類比得出：y3=的圖像可由的圖像向下平移3個單位得到.最后總結a不變時，函數圖像平移規律和解析式的關系：

2.六步法研究二次函數y=a（x+m）2的圖像

與上下平移規律類比，得出圖像左右平移規律和解析式常系數的關系.

繼續畫出y4=（x+2）2的圖像，與上下平移規律類比，不同之處有以下幾點：

步驟1，學生在畫函數y4=（x+2）2的圖像時，可能會意識不到x怎樣取值能得到對稱點，所以會出現拋物線不對稱的情況，教師可引導學生思考這一現象產生的原因，補全圖形.

圖4

表2

歸納總結，提升數形結合思想：經歷了y=ax2+k和y=a（x+m）2圖像的建構過程，學生對拋物線的對稱性和平移規律在“數和形”兩個角度有了更深的理解.

圖像上每一個點的坐標，是由代入解析式計算得到的每一組x、y的值所決定的，故當a不變時，拋物線的平移位置反映出了二次函數頂點式中的常系數，反過來，頂點式中的常系數決定了拋物線的平移位置.

3.利用六步法的成果，研究二次函數y=a（x+m）2+k的圖像

綜合以上二次函數圖像上下、左右平移規律和解析式常系數的關系，研究y=a（x+m）2+k的圖像，只需直接根據解析式得到頂點坐標（-m，k），再把拋物線的平移化歸為頂點的平移即可.

四、結束語

綜上所述，六步法在初中數學二次函數圖像的教學中有著顯著的教學效果，通過破譯數形聯系的“密碼”，運用六步法，對二次函數的圖像數形結合學習有了清晰的理解.“六步法”是教師多年教學活動中的探索，在今后的教學中將繼續打磨，以期更臻成熟.