“變量與函數”的教學設計

四川省內江市翔龍中學 李 超

數學新課程的教學理念認為，數學教學是學生對數學知識的“意義建構”的過程.因此，數學教學應從學生已有的生活經驗（情境）出發，精心設計教學問題，學生通過對數學問題的思考、探究、小組討論（爭論）、表征、解決等過程，逐步形成對數學知識的“意義建構”，在教學活動中真正獲得數學“雙基”、感悟數學思想、積累數學活動經驗.這樣的數學教學的設計，充分運用了數學教學設計理論中的“情境性”“生活化”“問題性”“意義建構”等理念.本文依據這些教學理念，對“變量與函數”做了教學設計.

一、“變量與函數”的教材分析

1.地位和作用

“變量與函數”是義務教育課程標準華東師大版數學教材八年級下冊第十七章“函數及其圖像”的第一節課，是函數概念課.函數概念是中學數學重要概念之一，是研究現實世界變化規律的一個重要模型.本節課是在學生已經掌握的常量數學的基礎上，思考變量及變量之間的關系，讓學生初步感受函數，為學習函數性質打下基礎.

2.教學重點

（1）通過生活實例，分析變量和變量的關系.

（2）理解函數的概念，會判斷兩個變量之間的關系是否是函數關系.

3.教學難點

（1）從具體實例中抽象概括函數概念，理解函數概念.

（2）初步理解函數概念的內涵，體會函數是研究變化與對應的重要數學模型.

二、教學目標

知識與技能目標：了解常量與變量的意義和函數的概念，會舉出與函數有關的實例，并會判斷兩個變量之間的關系是否是函數關系.

過程與方法目標：讓學生經歷由實例得到函數概念的過程，通過觀察發現事物的共同屬性，進而抓住其本質特征進行提煉概括來建構函數概念.

情感、態度與價值觀目標：（1）通過合作學習讓學生經歷從“具體—抽象”到“抽象—具體”的函數概念形成過程，培養學生的抽象概括能力和合情推理能力；

（2）讓學生體會數學與生活的緊密聯系，會用數學的眼光看世界，提高學習興趣，增強應用數學的意識.

三、學情分析

初二是學生智力和心理發展的關鍵階段，也是學生易厭學的敏感時期，學生的邏輯思維從經驗型逐步向理論型發展.本節課是學生首次接觸函數，而函數概念對學生來說很抽象，他們不容易理解和掌握概念的本質.但是學生已經具備了列代數式、求代數式的值、解決簡單的方程和不等式的能力，也積累了一些在具體問題情境中尋找數量關系的經驗，這對本課學習是有利的.為了讓學生盡快、有效地掌握函數概念，基于課題研究，本節課從學生思維的最近發展區出發設計一系列問題，讓學生參與活動，開展教學.

由于本課函數概念比較抽象，處理不好，學生極易滋生厭學情緒，因而本設計大膽對教材內容進行了改動、加工與整合，依據教學設計的“情境性”“生活化”“意義建構”等理念，對“變量與函數”做了教學設計.

四、教法與學法分析

1.教法分析

利用多媒體教學平臺增大教學容量，遵循認知規律，從生活實例出發，讓學生在具體情境中充分感悟、體驗兩個變量之間的關系，并在此基礎上自主構建函數概念.

2.學法分析

在學生獨立思考、充分感悟的基礎上，采用合作學習的方式，讓學生經歷在函數概念形成過程中開展思考、探究、討論、分享、評價等教學活動.

五、教學過程設計

1.情境引入

活動1：通過讓學生聽音頻成語故事《烏鴉喝水》，想象烏鴉喝水前后瓶子里水位的變化及變化的原因，從而發現一個量（石頭的量）的變化決定另一個量（水位）的變化，從實際情境中感受變量，避開抽象的被動說教.

活動2：觀看加油站加油視頻：加油機加油時顯示屏上的數字變化，通過觀察視頻，可直接發現視頻中不變的數據（油的單價）和變化的數據（油量和油費），以及這三者之間的關系.

設計意圖：活動1的故事情節學生熟悉，且具有趣味性，可以調動學生的積極性，營造良好的氛圍，打破了外界給予學生的對函數的恐懼和茫然感，體會數學來源于生活并服務于生活；故事內涵體現了函數的本質：瓶中水位隨著石頭量的變化而變化.由于很多學生暫時還只看到故事的表象，不能滲透到函數層面，因此，設計中又加入了活動2，加油機屏幕上兩個數據變化的視頻，將油量和加油費之間的變化關系直觀地展現在學生面前，從而讓學生體會用數據描繪函數.上述兩個情境的使用，在得出常量和變量的基礎上，也潤物無聲地滲透了函數的變化情況，從而自然地過渡到新課講解環節.

2.新課講解

活動3：活動升華.

再次觀察加油視頻，完成下列問題：

（1）加6升、10升、20升和30升油時，應付油費各多少元？

（2）試寫出視頻中三個量之間的關系.

（3）在加油過程中，根據不同的油量和對應的油費列一個可以表示它們變化關系的表格，并結合視頻和表格說出油費隨油量的增加而發生怎樣的變化.

從視頻中我們可以看出，隨著油量的變化，相應的油費也隨之變化.

設計意圖：問題（1）～（3），都是學生熟悉的知識，安排這三個實際問題，旨在讓學生通過直觀感知，領悟相關概念的意義.對于問題（1），因油費隨著油量的變化而變化，因此確定油量便能確定此時的油費，體現了函數的對應思想.對于問題（2），學生通過觀察視頻中各數據的變化，直觀感受函數值隨自變量的變化而變化，從變化趨勢感受函數的單調性，對于函數的這些性質，教學時可暫時不指明，只是引導學生感受，稍加滲透即可.

問題1：（1）若路程為1500千米，則汽車行駛的速度v（千米/時）與行駛的時間t（時）的關系是__________.

（2）汽車速度為85千米/時，則行駛的路程S（千米）與行駛的時間t（時）之間的關系是__________.

（3）汽車行駛的時間為5小時，則行駛的路程S（千米）與速度v（千米/時）之間的關系為__________.

設計意圖：在活動的基礎上加上問題1，旨在讓學生感受在相同情境中，不變的量和變化的量的相對性，并能靈活地表達兩個變量之間的關系，從而歸納總結出常量和變量的概念.

問題2：華東師大版教材“變量與函數——問題1”.

看圖回答：

圖1

（1）這一天中，最高氣溫是多少？最低氣溫是多少？

（2）這一天中，什么時段的氣溫在逐漸升高？什么時段的氣溫在逐漸降低？

問題3：某店賣米，數量x（千克）與總價y（元）之間的關系如表1：

表1

總價y與數量x之間的關系是__________.

設計意圖：通過問題2、問題3，借助圖像和表格感受兩個變量之間的關系，使學生明白：不管是生活情境中（現在）不能表達的，還是能表達的兩個變量的關系，我們都發現其中一個變量隨著另一個變量的變化而變化，更確切地說，就是一個變量取得某一個值，另一個變量都有唯一的值與之對應，從而形成對函數的認識.

3.歸納概括

（1）常量和變量的概念.

在某一變化過程中始終保持不變的量，稱為常量.在某一變化過程中可以取不同數值的量叫作變量.

（2）函數的概念.

函數的概念：如果在—個變化過程中，有兩個變量，假設為x與y，對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應，那么就說y是x的函數，其中x是自變量，y是因變量.

活動4：學生舉生活中具有函數關系的例子.

活動目的：（1）檢查學生對函數的理解；（2）發現學生理解概念時出現的問題，從而及時引導學生更規范、更深刻地理解函數概念.

對于函數概念的理解，注意以下幾個方面：

在變化過程中一定是兩個變量，而不是多個變量.兩個變量中，一個為自變量，一個為因變量，對于自變量x的每一個值，因變量y都有唯一的值與它對應.假如y有兩個或多個值與它對應，則y就不是x的函數.例如y＝x2是y關于x的函數，而y2＝x，y就不是x的函數.或者從圖像角度能直接看出因變量隨著自變量的變化而只有一種變化而不是同時有多種變化.注意自變量的取值范圍，或者是使函數表達式有意義，或者滿足情境中的生活實際需要，如問題1.（1）問中的時間就必須取正數.

說明：對于學生發現、概括的概念，教師應當規范他們的語言，強調關鍵點和易錯點.

（3）表示函數的方法.

①解析法，如問題1中所列出的表達式；

②圖像法，如問題2中氣溫與時間的曲線圖.

③列表法，如問題3中米的總價與數量的關系表.

4.強化與鞏固

（1）例題講解.

例1①一支蠟燭長35厘米，其燃燒速度為v厘米/分，燃燒時間為t分，則v與t的函數關系式是_________.其中，常量是__________，變量是__________.

②等腰三角形周長為22，則底長y和腰長x之間的函數關系式為_________，其中x的取值范圍是__________.

例2指出下列關系式哪些是y關于x的函數，并說明為什么.

（2）課堂練習.

課本第30頁練習的第1、2、3題.

設計意圖：通過學生舉出有函數關系的實例，感受現實情境中函數的運用；第2題問題①要求學生運用統計知識，從統計數據觀察身高隨年齡的變化情況，感受函數的無處不在.而對于第3題，除鞏固學生已學知識外，要求他們寫出自變量的取值范圍，就要求學生在原有的基礎上理解問題情境的意義，注意函數的實際背景對自變量取值范圍的限制.

5.課堂小結.

由學生分小組總結，相互補充.

設計意圖：通過學生自己總結，強化本節課所學概念（常量、變量、函數）；確定自變量的取值范圍的問題是一個難點，可在下一節課再做強化.

6.作業

課本第33頁習題17.1第1、2題.

六、教學反思

“變量與函數”的概念教學是由常量教學引入變量教學，是學生數學認知的一個升級.根據學生的認知基礎，創設與生活實際緊密聯系的情境，使學生從中認識常量與變量，體會變量之間的變化規律.從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性.遵循以教師為主導、學生為主體的教學原則，整節課面向全體學生，但學生的個體差異是存在的，在教學中不能一概而論.合作交流能很好地彌補學生差異，實現每個學生得到不同的、最好的發展.在小組合作交流的時候，應加強指導，真正讓每個學生都參與其中，真正體驗到學習的快樂和獲得心智的發展.

學生對函數概念的理解還不是很透徹，需要進一步加強這方面的練習和指導.