復習課“三個關注”：目標、教材與“考向”
——以“二次函數與一元二次方程”復習課為例

江蘇省射陽縣陳南初級中學 倉 猛

最近筆者有機會參加一次初三專題復習研討活動，研究課的課題是“函數、方程、不等式的關系”，由于該課題內容過于寬泛、指向不夠精準，所以幾位上課教師課堂的一個顯著不同就是在“教什么”上有較大的差異，有些課例開課情境像新授課的情境導入，有些課例大多的教學時間用在一些全國各地中考較難題的講評上.可見復習課“教什么”確實是一個值得深入研究的教研話題.為此，筆者經過認真思考，將這節課的功能定位為一節復習課.聚焦二次函數內容，將課題明確為“二次函數與一元二次方程”的復習課，以下本著教學研討的興趣愛好，先給出這節課的教學設計，再提出復習課的“三個關注”（關注目標、教材及地區“考試風向”），供研討.

一、“二次函數與一元二次方程”復習課教學設計

教學環節（一） 定義出發

問題1：一元二次方程的一般形式是什么？二次函數的一般形式是什么？你覺得它們之間有怎樣的聯系？

教學預設：學生很快能說出ax2＋bx＋c=0（a≠0），y=ax2＋bx＋c（a≠0）.進一步梳理它們之間的關系，如一元二次方程的根的幾何意義（拋物線與x軸的公共點的橫坐標），知道拋物線與x軸的三種位置關系對應著一元二次方程的根的三種情況.

還可進一步引導學生回顧梳理出一元二次方程根的判別式Δ=b2-4ac的不同取值，對應著方程根的情況與對應的拋物線與x軸的交點的個數.

教學環節（二） 基礎過關

問題2：不畫圖像，判斷下列函數的圖像與x軸是否有公共點，如果有，寫出公共點的坐標.

（1）y=x2＋2x＋3；（2）y=x2-2x-3.

問題3：下列情形中，如果a＞0，拋物線y=ax2＋bx-3的頂點在什么位置？

（1）方程ax2＋bx=3有兩個不等的實數根；

（2）方程ax2＋bx=3有兩個相等的實數根；

（3）方程ax2＋bx=3無實數根.

教學預設：問題2改編自蘇科版教材習題，問題3改編自人教版教材習題，學生思考之后在小組內先交流核對，然后選派代表上臺講解，教師追問其他學生是否理解，必要時進行復述，防止重要內容“一帶而過”（見參考文獻［1］）.

教學環節（三） 變式探究

問題4：平面直角坐標系xOy中，若拋物線y=mx2-6x＋1的頂點恰落在x軸上，求m的值.

教學預設：對于問題4，學生應該能很快由根的判別式為0解出，接著在PPT上出示問題4的兩種不同的設問呈現方式，引導學生感受一題多變、多題歸一.

變式1：若二次函數y=mx2-6x＋1的圖像與x軸只有一個公共點，求m的值.

變式2：若拋物線y=mx2-6x＋1的最低點恰在x軸上，求m的值.

講評時注意引導學生體會理解變式1、2與問題4本質上是“一樣的問題”.

變式3：平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=x2＋2x＋m2＋2m＋2與x軸有公共點，求m的值.

教學預設：由題意知Δ=22-4（m2＋2m＋2）=-4（m＋1）2≥0.則（m＋1）2≤0.又（m＋1）2≥0，解得m=-1.這道習題學生一開始運算時可能誤認為只能求出m的取值范圍，隨著運算變形的深入，會配方出現一個完全平方式的相反數形式，于是就能確定m的值.

問題5：已知二次函數y=2（x-1）（x-m-3）（m為常數）.

（1）小洲經過演算發現：不論m為何值，該函數的圖像與x軸總有公共點.請判斷小洲的發現是否正確，并說明理由.

（2）當m取什么值時，該函數的圖像與y軸的交點在x軸的上方？

教學預設：本題改編自2018年南京中考數學卷第24題.對于第（1）問，只要令y=0，得方程2（x-1）（x-m-3）=0.解得x1=1，x2=m＋3.所以，不論m為何值，該函數的圖像與x軸總有公共點.當然，也可以將二次函數整理成一般式，再計算根的判別式.對于第（2）問，當x=0時，y=2m＋6，即該函數的圖像與y軸的交點的縱坐標是2m＋6.當2m＋6＞0，即m＞-3時，該函數的圖像與y軸的交點在x軸的上方.這里提到了不等式，接下來就以不等式問題拓展學生的理解.

問題6：畫出二次函數y=x2-2x-3的圖像，并借助圖像分析不等式x2-2x-3＜0的解集.

教學預設：前面教學過程中一直都沒有要求學生先畫圖訓練，這里開始安排學生畫出圖像，通過觀察圖像能直接看出圖像的哪一段在x軸下方，對應著自變量x的取值范圍.這個問題解決之后，可給出變式問題.

變式1：借助函數圖像分析不等式x2-2x-3＞0的解集.

變式2：借助函數圖像分析不等式x2-2x＞3的解集.

變式3：借助函數圖像分析不等式x2＞2x＋2的解集.

教學預設：變式1、2都能直接轉化為問題6“讀”出解集.對于變式2，還可引導學生在同一平面直角坐標系中分析拋物線y=x2-2x與直線y=3相交的情況，分析出它們的交點的橫坐標分別為-1、3，也可結合圖像直觀寫出解集.變式3有一定的難度，學生可能會有如下轉化方式，比如，將不等式x2＞2x＋2轉化為求x2-2x-2＞0，可以分析拋物線y=x2-2x-2與x軸的公共點，然后觀察該拋物線在x軸上方的部分所對應的x的取值范圍.也可以分析y=x2-2x與直線y=2相交（如圖1），相應的，找出拋物線y=x2-2x在直線y=2上方時對應的自變量的取值范圍.還可分析y=x2與直線y=2x＋2相交（如圖2），相應的，找出拋物線在直線上方時對應的自變量的取值范圍.這里比較抽象晦澀，多數學生可能理解上有困難，需要讓能理解的學生到黑板上進行演示、講解，既加深這些學生的理解，又能促進其他學生的理解.

圖1

圖2

一道開放題：在二次函數y=ax2＋bx＋c中，x與y的部分對應值如表1所示：

表1

你能解讀出哪些信息？

教學預設：二次函數的解析式可以求出來，然后就能判定圖像的開口方向、頂點坐標、對稱軸等.在學生交流之后可預設如下說法，參與辨析正誤，并說明理由.

（1）圖像開口向下；（2）圖像的頂點坐標為（1，3）；（3）當x=4時，y的值為-3；（4）-1是方程ax2＋bx＋c＋3=0的一個根；（5）不等式ax2＋bx＋c＋3＞0的解集為x＜-1或x＞4.

設計意圖：本題改編自該地區近年來中考二模試卷的一道選擇把關題，（2）是學生的易錯點；（4）、（5）對應著本課復習的重點內容.學生判斷正誤之后，要安排學生上臺畫圖示意、演示講解，教師“相機追問”（見參考文獻［2］），讓更多學生學會“形數互助”解決這類問題.

教學環節（四） 課堂小結

引導學生小結梳理本課主要內容，得出如下歸納：

（1）一元二次方程ax2＋bx＋c=0的實數根對應著二次函數y=ax2＋bx＋c的圖像與x軸的公共點的橫坐標；

（2）一元二次方程ax2＋bx=k的實數根對應著拋物線y=ax2＋bx與直線y=k的公共點的橫坐標；

（3）一元二次方程ax2=kx＋b的實數根對應著拋物線y=ax2與直線y=kx＋b的公共點的橫坐標.

學情反饋練習：已知二次函數y=x2-（m＋2）x＋2m-1.

（1）求證：不論m取何值，該函數的圖像與x軸總有兩個公共點.

（2）若該函數的圖像與y軸交于點（0，3），

①求圖像與x軸的公共點的坐標；

②當0＜x＜5時，分析y的取值范圍；

③當y＜0時，直接寫出自變量的取值范圍.

教學組織：這道反饋練習題安排10分鐘（不一定占用課堂時間，也可是學生課后作業）讓學生限時獨立解答，然后收交批閱，反饋學生在該課所學的達成度.

二、值得重視的復習課“三個關注”

（一）復習課需要關注和明辨復習目標與重點

我們知道，有些復習課只是簡單地羅列知識點，“復制”或選編一些各地區貌似相關的考題.這類復習課的主要問題是對復習課的課時目標沒有想清辨明，就匆忙選題，所選習題也缺少深入思考，對習題的內容效度、解法要領沒有達到深刻理解，所以容易出現偏離復習目標或復習主線的現象.以本文中的課例來說，復習二次函數與一元二次方程，就需要認真思考這節復習課的目標如何確定，教材上此前學習時涉及了哪些內容，是面面俱到地重復教材，還是有的放矢并重點突出，需要全面考慮、果斷決策.從上面的課例可見，復習重點是二次函數與一元二次方程之間的“對應”關系（特別是基于“根的判別式”之間的聯系），并從“常數”系數拓展到含參數系數，讓學生經歷從特殊到一般的研究路徑.

（二）復習課選題要關注教材經典例題和習題

當前，不少專家、名師都在批判“離開教材搞教學”的現象，對于過分依賴使用所謂“習題單式導學案”開展新授課教學有一定的警示作用.然而復習課“離開教材”開展習題教學的現象更加普遍.我們認為，復習課更要重視教材上相關經典問題的選編，因為復習的目的一方面是防止遺忘、深化理解，另一方面是為“備考應試”，各地中考、地區期末考試或模考都強調要重視回歸教材，如果在復習課上忽略對教材上經典問題的變式再練，顯然選題的內容效度、復習效率也難有保證.這也是在上面課例中選編“問題2～3”的主要教學立意.

（三）應試教學背景下復習要關注本地區中考

應試備考是當前繞不開的一個現實話題，這也要求我們在復習課備課時要充分關注“考向”（即地區考試風向），特別是本地區的“考向”.因為各地區的中考試卷常常風格差異很大，如果備考師生盲目使用或依賴市場上面向全國發行的一些所謂的教輔資料，則師生都會“掉進題海”、痛苦不堪，因為這類資料通常為了適合全國、發行面更廣，于是選題就“面向”全國各地幾百套中考試卷進行試題選編，有很多試題的呈現方式、考查難點或題型并不是本地區的命題要求.所以，教師在備課時需要認真研究本地區中考近年來的考試“風向”，然后在選題改編時有針對性地開展精準選題，帶領學生復習備考.上面課例中的問題4～6，包括各個問題后面的系列變式問題，還有學情反饋練習，都是圍繞著本地區近年來中考命題“風向”進行選編的.想來，基于精準選題的復習備考也應該成為切實減輕學生過重課業負擔的重要方式之一吧.