從思路解析到“一題一課”：考題研究的追求
——以2019年河北省中考卷第25題為例

福建省廈門市同安區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校 楊建強(qiáng)

較難的中考綜合題講評(píng)時(shí)往往需要精心預(yù)設(shè)，將其作為“一題一課”來研發(fā).這就要求我們?cè)谘辛?xí)各地優(yōu)秀考題時(shí)要注意深入進(jìn)行解析與教學(xué)構(gòu)思，而不是“分離”開來.本文結(jié)合2019年河北省中考卷第25題，先給出思路解析，再構(gòu)思“一題一課”的鋪墊設(shè)問，供研討.

一、考題及思路解析

考題：（2019年河北第25題）如圖1和圖2，?ABCD中，AB=3，BC=15，tan∠DAB=.點(diǎn)P為AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作⊙O切CP于點(diǎn)P，設(shè)BP=x.

（1）如圖1，x為何值時(shí)，圓心O落在AP上？若此時(shí)⊙O交AD于點(diǎn)E，直接指出PE與BC的位置關(guān)系；

圖1

圖2

（2）如圖2，當(dāng)x=4時(shí)，⊙O與AC交于點(diǎn)Q，求∠CAP的度數(shù)，并通過計(jì)算比較弦AP與劣弧PQ長(zhǎng)度的大??；

（3）當(dāng)⊙O與線段AD只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出x的取值范圍.

思路解析：（1）當(dāng)圓心O落在AP上時(shí)，CP⊥BP，可利用Rt△CBP中推知的和BC=15這兩個(gè)條件，解出x的值為9（善于利用“3，4，5”三角形的邊角關(guān)系能快速讀取解答）.此時(shí)PE與BC的位置關(guān)系是互相垂直.

（2）①先求∠CAP的度數(shù).如圖3，過點(diǎn)C作CK⊥AP于點(diǎn)K.

②再求弦AP與劣弧PQ的長(zhǎng)度并比較它們的大小.弦AP的長(zhǎng)度直接可知，即AB＋BP=7，主要在于求劣弧PQ的長(zhǎng)度.要求弧長(zhǎng)，就涉及半徑和所對(duì)圓心角，連接OP、OQ，弧PQ所對(duì)圓心角為∠QOP，∠QOP的度數(shù)為弧PQ所對(duì)圓周角∠QAP的2倍，即90°.如圖3，過點(diǎn)O作OH⊥AP于點(diǎn)H.可證得利用，可求出半徑OP的長(zhǎng)為所以劣弧PQ的長(zhǎng)度為比較可得所以弦AB較長(zhǎng).

圖3

圖4

（3）⊙O與線段AD只有一個(gè)公共點(diǎn)，且⊙O一定過點(diǎn)A，說明與線段AD的一個(gè)交點(diǎn)就是A.點(diǎn)P可以看作在線段AB的延長(zhǎng)線上向右運(yùn)動(dòng)，起點(diǎn)是B，隨著點(diǎn)P往右移動(dòng)，圓心O從AP的上方下降到AP的下方，⊙O與直線AD的交點(diǎn)也從2個(gè)變?yōu)?個(gè)再變?yōu)?個(gè).其中⊙O與直線AD相切時(shí)，如圖4，△APQ、△BCP都是等腰三角形，作CK⊥AP于點(diǎn)K，由前面求解經(jīng)驗(yàn)可知CK=PK=9，于是x=18.點(diǎn)P繼續(xù)向右運(yùn)動(dòng)，交點(diǎn)再次變?yōu)?個(gè)，并且另一個(gè)交點(diǎn)落在線段DA的延長(zhǎng)線上，也就是符合與線段AD只有1個(gè)公共點(diǎn).綜上，x≥18.

回顧反思：本題綜合圓與三角形、四邊形，主要考查平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理、相似三角形、三角函數(shù)、弧長(zhǎng)計(jì)算等.第（1）問比較基礎(chǔ)，難度不大.第（2）問的主要難點(diǎn)在于求圓的半徑，解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造相似三角形，可以看出此處互相垂直的OP和PC與HK組成了常見的相似三角形的基本圖形（簡(jiǎn)稱“K型”，如圖5）.而第（3）問的難點(diǎn)在于構(gòu)圖分析，要構(gòu)造出符合要求的等腰三角形進(jìn)行分析，有助于快速“看出”答案.這大概也是命題組將這一小問設(shè)置成“直接寫出答案”的意圖，即讓思維層次高的學(xué)生可以通過洞察問題結(jié)構(gòu)，直接看出答案.當(dāng)然，這里“算法簡(jiǎn)單的方法往往需要付出邏輯思維的代價(jià)”（史寧中教授語）.

圖5

圖6

二、圍繞考題的“一題一課”教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)環(huán)節(jié)（一） 鋪墊設(shè)問，拾級(jí)而上

例1如圖6，AB=3，BC=15，tan∠CBP=.點(diǎn)P為AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作⊙O切CP于點(diǎn)P，設(shè)BP=x.當(dāng)圓心O落在AP上時(shí)，⊙O的半徑是多少？

教學(xué)預(yù)設(shè)：這是上面考題的第（1）問，“單獨(dú)”列出來讓學(xué)生先想清辨明，教學(xué)時(shí)通過恰當(dāng)?shù)淖穯柺沟酶鄬W(xué)生都理解清楚，有利于繼續(xù)向后續(xù)問題前進(jìn).

教學(xué)環(huán)節(jié)（二） 變式跟進(jìn)，成果擴(kuò)大

例2如圖7，AB=3，BC=15，tan∠CBP=.點(diǎn)P為AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作⊙O切CP于點(diǎn)P，設(shè)BP=x.當(dāng)圓心O落在AP上方時(shí)，你能不能用含x的代數(shù)式表示出⊙O的半徑？

圖7

圖8

教學(xué)預(yù)設(shè)：已知△CBP中兩邊長(zhǎng)，要求圓的半徑，連接OP.由于已知的兩邊長(zhǎng)之比不是熟知的特殊角的邊角關(guān)系，所以不太方便直接使用邊的關(guān)系得出角度.而考慮到本題是圓與三角形的綜合題，要注意使用圓中特殊角度，尤其是隱含的直角（往往是直徑所對(duì)的圓周角）.如圖8，連接OP，∠OPC=90°，過點(diǎn)C作CK⊥AP于點(diǎn)K，過點(diǎn)O作OH⊥AP于點(diǎn)H，可以構(gòu)造出一對(duì)相似三角形.在Rt△CPK中，CK=12，PK=BK-BP=9-x.在Rt△OPH中，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可以用含x的代數(shù)式表示出OP，即為圓的半徑.

變式追問：如圖9，當(dāng)圓心O落在AP下方時(shí)，用含x的代數(shù)式表示出⊙O的半徑.

圖9

圖10

教學(xué)預(yù)設(shè)：隨著點(diǎn)P繼續(xù)在AB的延長(zhǎng)線上向右移動(dòng)，點(diǎn)O落在了AP下方，但是題目?jī)?nèi)在聯(lián)系依舊存在，仍然可以構(gòu)造出一對(duì)相似三角形，充分利用相切這個(gè)條件.如圖10，連接OP，∠OPC=90°，過點(diǎn)C作CN⊥AP于點(diǎn)N，過點(diǎn)O作OM⊥AP于點(diǎn)M，可以構(gòu)造出一對(duì)相似三角形.在Rt△CPN中，CN=12，PN=BP-BN=x-9.在Rt△OPM中，MP=（3＋x）.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可以用含x的代數(shù)式表示出OP，即為圓的半徑.

教學(xué)環(huán)節(jié)（三） 考題呈現(xiàn)，獨(dú)立挑戰(zhàn)

呈現(xiàn)上文“考題”，學(xué)生可以在以上鋪墊問題的啟示之下獨(dú)立挑戰(zhàn)，再全班交流講評(píng).

三、進(jìn)一步的思考

較難題的講評(píng)需要在教學(xué)講評(píng)之前精心預(yù)設(shè)，這里的精心預(yù)設(shè)不只是教師本人貫通思路、獲得解答，而且需要在此基礎(chǔ)上思考“一題多解”，并善于比較和優(yōu)化不同思路，明確哪些方法或解題路徑是最優(yōu)路徑，然后研判學(xué)情，明辨學(xué)生可能的難點(diǎn)、障礙點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)，在這些基礎(chǔ)上預(yù)設(shè)出一些鋪墊式設(shè)問，幫助學(xué)生理解題意并啟示學(xué)生獨(dú)立探索解題思路，一些啟發(fā)式設(shè)問都可成為學(xué)生以前“自我發(fā)問”的思考出發(fā)點(diǎn)，比如，“題中有哪些條件”“題中哪些條件是確定的，并能帶來點(diǎn)、圖形位置的確定”“圖中哪些條件是不確定的，對(duì)應(yīng)著哪些點(diǎn)是運(yùn)動(dòng)的，哪些線或圖形的位置是不確定的”“隨著問題的深入，圖形在不同位置狀態(tài)下有哪些狀態(tài)是特殊位置關(guān)系”，等等，這些設(shè)問都能幫助學(xué)生獲得思路或校正思考方向，有助于最終解答.事實(shí)上，通過精心預(yù)設(shè)的解題教學(xué)，最終要達(dá)到“教，是為了不教”，也就是“通過解題，學(xué)會(huì)解題”.