分解構圖揭示結構：讓新定義題思維可見
——以中考新定義考題教學為例

江蘇省如皋市搬經鎮常青初級中學 夏茂紅

中考新定義考題是近年來熱點題型，各地在復習備考過程中都會增加課時進行復習應對，但有時新定義選題雜亂，同一節課所選新定義之間關聯不緊，影響了復習目標的達成，不利于學生對同一類型新定義問題的深刻理解.筆者最近有機會開設一節新定義專題復習課，精心選取了兩道結構近似的新定義考題，引導學生層層遞進，發現新定義的本質結構，取得了較好的教學效果，本文梳理該課的教學過程，供研討.

一、新定義專題復習課的教學記錄

例1在平面直角坐標系xOy中，點P到封閉圖形W的“極化距離”D（P，W）定義如下：

任取圖形W上一點Q，記PQ長度的最大值為M，最小值為m（若點P與Q重合，則PQ=0），則“極化距離”D（P，W）=M-m.

（1）如圖1，正方形ABCD以原點O為中心，點A的坐標為（3，3）.

①點O到線段AB的“極化距離”D（O，AB）=_______，點K（5，3）到線段AB的“極化距離”D（K，AB）=_______.

②記正方形ABCD為圖形W，點P在y軸上，且D（P，W）=3，求點P的坐標.

（2）圖形W為圓心T在x軸上、半徑為4的圓，直線y=x+1與x軸、y軸分別交于F、G兩點，若線段FG上任一點P都滿足2＜D（P，W）＜6，試探究圓心T的橫坐標t的取值范圍.

圖1

圖2

教學記錄：第（1）問比較簡單，只要對照新定義，不難得出答案.①3-3，6.②先排除點P在正方形ABCD外部的情況，接著設點P（0，y），如圖2，由新定義，可連接PC，極化距離是PC-PQ，根據勾股定理，PC=.又PC=PQ+3=6-y，于是可得方程解得y=1.于是根據對稱性，可確認點P為（0，1）或（0，-1）.

（2）學生普遍感覺無從下手，找不到解題出發點.教學時我們先引導學生想清條件“線段FG上任一點P都滿足2＜D（P，W）＜6”，分開思考“2＜D（P，W）＜6”這個條件如何理解，在半徑為4的圓內部，哪個區域內的點滿足呢？等到學生想清，原來是以T為圓心，半徑分別為1和3的同心圓組成的圓環內部所有點都是滿足條件的點，于是可以構造圖形分析（如圖3～6），這個圓環與線段FG有公共點時，就是符合要求的.于是可分析出相應的圓T的圓心的橫坐標的范圍是

圖3

圖4

圖5

圖6

例2在平面直角坐標系xOy中，對于點A和圖形M，若圖形M上存在兩點P、Q，使得AP=3AQ，則稱點A是圖形M的“3倍點”.

（1）若圖形M為線段BC，其中點B（-2，0）和C（2，0），試分析三個點D（-1，2）、E（-1，1）、F（0，2）中，哪個點是線段BC的“3倍點”.

（2）以原點為圓心、4為半徑的⊙O，探究直線y=-x+2上⊙O的“3倍點”的橫坐標x0的取值范圍.

（3）設直線y=-x+1與x軸、y軸分別交于點H、G，⊙T的半徑為4，圓心T是x軸上的動點，分析線段GH上是否存在⊙T的“3倍點”.如果存在，畫圖并分析圓心T的橫坐標t的取值范圍；如果不存在，請說明理由.

教學記錄：（1）畫出圖形，不難分析出點E符合要求；

（2）主要是分析出兩個同心圓（半徑分別為2、8）組成的“圓環”內部的點符合要求，進一步構造圖形分析，如圖7，

圖7

圖8

以2為半徑的圓與x軸的正半軸、y軸的正半軸恰交于（2，0）、（0，2）兩點，正好對應著直線y=-x+2與坐標軸的交點B、A，而以8為半徑的大圓與直線y=-x+2交于M、N兩點，可見被半徑為2、8的圖組成的圓環“圈住”的直線y=-x+2的兩段線段AM、BN，只要分析出這4個端點的橫坐標可得答案，即

（3）理解起來有點難度，在圖7的基礎上，我們畫出直線y=-x+1，觀察同心圓O（半徑分別為2、8）組成的圓環與線段GH是沒有公共點的，現在將這個“圓環”沿x軸方向左右平移，可以得到4處臨界狀態（如圖9～12），從而得到

圖9

圖10

圖11

圖12

回顧反思：上面兩道例題講評過程中（主要是最后一問），需要先引導學生想清辨明兩個同心圓，然后左右平移這組同心圓，觀察“圓環”與線段是否存在公共點情況，找出4個臨界位置，從而得出圓心所在位置橫坐標的取值范圍.

二、關于新定義考題的教學思考

1.通過構圖將抽象、晦澀的思路生動、形象地揭示出來

像本文關注的這類新定義考題，到了最后一問的思路都非常抽象、晦澀，如果只是滿足于簡單的講解思路、列式得出方程、求出解集，則多數學生往往不知所云.這就需要教師在課前對問題的思路要有深刻的理解，對學生理解的關鍵點、障礙點、易錯點要有精準的研判.在此基礎上，要努力通過構圖（對于動態問題通過分解構圖），將抽象、晦澀的思路生動、形象地揭示出來，促進學生更好地理解.在上文例1、例2的最后一問構圖時，我們將不同臨界情形都進行了構圖，幫助學生理解如何確定臨界位置，以及在這種位置下如何求解相應的橫坐標的取值范圍.在構圖過程中，教師還需要向學生傳遞排除干擾的策略，比如，對于一些無關的線條或圖形區域，要引導學生對局部圖形進行放大或縮小（可以稱之為“縮放技術”），以便對問題的思路獲得更理想的視覺效果.

2.較難問題講評要通過同類鏈接促進學生深刻理解

新定義問題往往都處于一份試卷中的把關題位置，這時如果就題論題、淺層次講評（核對答案或抄寫解題步驟），學生對這些較難題的理解難以走向深處，需要我們在講評之前精心準備、認真備課.除了上面提及的要將抽象、晦澀的思路盡可能生動、形象地揭示出來，還可通過同類問題的鏈接講評或同類跟進再練，來促進學生深刻理解，這也是上文我們在講評時選用兩道同類例題的教學立意.當然，同類問題的選擇也是一個教研難點，更多的是靠教師“進入題海”進行大量解題，遴選出相同結構的習題進行同類鏈接，而不能只是“形似質異”，即形式上相同，而問題的結構或解題的關鍵步驟都“風馬牛不相及”.

三、寫在后面

解題研究是不少教師的愛好，然而從解題研究走向解題教學研究卻沒有得到一些教師的充分重視，從一些教輔資料或公眾號文章能看出有些教師在解法研究上用功很多，但有些“一題多解”是否適合直接進入課堂是值得商榷的，一是因為課堂教學時間有限，二是有些解題涉及更多的“高一級結論”，并不適合簡單向學生進行推介，讓學生記住這些結論，會加重學生學習負擔，因為數學解題教學最關鍵的是要倡導“回到定義”的“更初等的解法”，想來，這也是積極踐行“數學，根本上是玩概念，不是玩技巧”（李邦河院士語）.