一道中考題的多視角探究*

四川內江師范學院數學與信息科學學院 游 嬌

四川內江師范學院數學與信息科學學院 羅力杰

四川內江師范學院數學與信息科學學院 劉成龍

中考試題立意深刻、設計獨特、背景公平，具有典型性、示范性和公平性，是知識和數學素養的載體，直接反映了中考命題規律和動態.因此，中考試題是研究中考的最佳材料.如何研究中考試題呢？我們認為首要任務是選擇恰當的視角.研究中考試題的視角很多，如解法、變式、背景、立意、規律等.本文中針對2018年成都中考第28題，從解法、背景和變式三個角度進行深入研究.

一、試題再現

試題：（2018年成都中考第28題，下文簡稱28題）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，以直線x=為對稱軸的拋物線y=ax2+bx+c與直線l∶y=kx+m（k＞0）交于A（1，1）、B兩點，與y軸交于點C（0，5），直線l與y軸交于點D.

圖1

（1）求拋物線的函數表達式.

（2）設直線l與拋物線的對稱軸的交點為F，點G是拋物線上位于對稱軸右側的一點.若，且△BCG與△BCD面積相等，求點G的坐標.

（3）若在x軸上有且僅有一點P，使∠APB=90°，求k的值.

注：解（1）得y=x2-5x+5，過程略.

二、試題解法

在數學活動中，問題是研究的對象，而問題解決不僅是研究的目標，而且是最基本的數學活動形式.試題解法研究可以從一題多解和多題一解著手，從答題的典型失誤和優美解、方法提煉、解題反思等視角展開.其中，一題多解指對試題從不同的路徑，采用不同的方法進行研究，最終獲得不同的解法［1］.試題多解的研究有利于溝通解法間的聯系，有利于弄清試題的本質，有利于發掘試題的背景，有利于厘清試題的變式，有利于從不同角度領會命題者的意圖.本文對28題（2）（3）進行多解研究.

1.（2）的多種解法

解法1：如圖2，過點B作BT⊥x軸于點T，過點A作AM⊥l于點M，AE⊥BT于點E.

圖2

由題意得點G的位置分為兩種情形，如圖3：

①點G在BC下方.

DG1∥BC，解得x=3，得出點G（3，-1）.

②點G在BC上方.

因為G2G3與DG1關于BC對稱，所以

圖3

解法2：設點

將點B的坐標代入y=x2-5x+5，解得k=，所以點得出直線BC的方程為下同解法1.

解法3：由解得x=k+4或x=1（舍去）.

所以點B（k+4，k2+3k+1）.又因為點，解得（舍去），所以得到點易知直線BC的方程為5.下同解法1.

解法4：如圖4，作AM⊥x軸，BN⊥x軸，垂足分別為點M、N，記直線x=與x軸的交點為Q，則.因為MQ=，所以NQ=2，則點

圖4

下同解法1.

2.（3）的多種解法

解法1：如圖5，由題意可知，點A的坐標為（1，1）.又點A在y=kx+m上，易得m=1-k，于是y=kx+1-k.

圖5

解法2：同解法1，解得點B（k+4，k2+3k+1）.設點P的坐標為（n，0），則直線AP的方程為.因為∠APB=90°，所以AP⊥BP，得直線BP的方程為y=（n-1）x+n（1-n）.將點B的坐標代入，得n2-（k+5）n+k2+4k+5=0.因為點P有且只有一個，解得k=-1+

解法3：同解法1，解得點B（k+4，k2+3k+1）.設點P的坐標為（n，0），因為BA的中點為顯然PO′則n2-（k+5）n+k2+4k+5=0，解得①.因為kAP·kBP=-1，所以=-1，則k2+3k+1=（n-1）·（k+4-n）②.將①代入②，得

解法4：同解法1，點A（1，1）、B（k+4，k2+3k+1）.設點P（n，0），由kAP·kBP=-1，得，解得n=.因為點P是唯一的，所以Δ=0，解得，所以點因為∠APB=90°，所以AB2=AP2+BP2，則3k2+6k-5=0，解得.又因為k＞0，所以k=-1+

三、試題變式

變式指相對于某種范式，不斷變更問題情境或改變思維角度，使事物的非本質屬性時隱時現，而事物的本質屬性保持不變的變化方式［2］.變式可以有效抑制題海戰術，而且能完善學生認知結構，使學生形成良好的認知能力.下面對28題（2）進行變式研究.

分析1：（2）中△BCG與△BCD面積相等這一條件能變成更一般的情形嗎？

變式1：其他條件不變，將△BCG與△BCD的面積比改為，求點G的坐標.

解：已知點

（1）當點G在BC上方時，得直線G1G2的方程為解得點G的坐標為

（2）當點G在BC下方時，得直線G3G4的方程為解得點G的坐標為

分析2：（2）中這一條件能變成更一般的情形嗎？

變式2：其他條件不變，設=λ，求點G的坐標.

解：如圖4，過點B作BN⊥x軸于點N，得，即，解得，所以點又點A（1，1）在y=kx+m上，由解得，則直線直線

分析3：（2）中△BCD與△BCG面積相等和這兩個條件能同時變成更一般的情形嗎？（有興趣的讀者可以研究）

四、試題背景

試題背景指命題選材中涉及的知識、模型、思想、方法等.［2］研究試題背景對理解試題、把握試題本質有積極意義.常見的試題背景有很多，如現實生活背景、初中教材背景、中考試題背景、高中數學背景等.［2］28題蘊含豐富的高中數學背景，分析如下：

背景1：點到直線距離公式

分析1：（2）中△BCD與△BCG具有相同的邊BC，而△BCD與△BCG面積相等等價于BC邊上的高相等，即點G到BC的距離等于點D到BC的距離，則原問題轉化為求到BC距離等于點D到BC距離的點G，顯然試題含有點到直線距離這一背景.

點到直線距離公式：設直線方程Ax+By+C=0，點P的坐標為（x0，y0），則點P到直線的距離下面給出點到直線距離公式下的試題解答：

圖6

解：如圖6，設點G（x，x2-5x+5），過點D作DE⊥BC于點E，直線BC的方程為由S△BCD=解得DE=.又S△BCD=S△BCG，所以利用點到直線距離公式得出點G到直線BC的距離為

背景2：定比分點坐標公式.

分析2：（2）中將A、B、F三點聯系在一起，從本質上講這種聯系是坐標間的聯系，如何刻畫呢？最直接的表征方式是向量的定比分點坐標公式.

定比分點坐標公式：設坐標軸上一有向線段的起點和終點的坐標分別為x1和x2，分點M分此有向線段的比為λ，那么，分點M的坐標

至于點B坐標的求解，可以運用定比分點坐標公式得到，如下：

數學家波利亞指出：一個有責任心的教師與其窮于應付煩瑣的數學內容和過量的題目，還不如適當地選擇某些有意義但又不太復雜的題目去幫助學生發掘題目的各個方面.［3］從多個方面對28題進行分析，可以深刻理解試題的本質、拓寬試題解法、加強試題變式，以達到舉一反三、觸類旁通.