關注解題訓練，培養思維品質

甘肅省天水市麥積區龍園中學 吳金鳳

作為數學教學中最基礎的一項學習活動，解題是學生初步形成數學思維的重要一步，是磨礪思維品質的重要組成部分.在傳統教育觀念中，解題也就是解答習題，如模仿性習題、實際問題和開發題等多種問題.當然，學生探究數學問題的過程也是發展優良思維品質的過程.所謂優良思維品質，主要包括思維的發散性、敏捷性、創造性、嚴謹性.思維品質不是教師“教”的，也不是學生“學”的，而是通過不斷的解題訓練自然形成的.

一、重視觀察訓練，培養觀察能力

觀察是引領學生獲取感性認知的途徑，也是學生實現思維加工的基礎.無論是把握數據之間的關聯還是識別圖形的特征，又或是發現隱藏的基礎規律，都離不開細致入微的觀察.培養學生的觀察能力更是提升學習品質和提高教學效率的有效途徑.

例1請觀察以下式子，…（ab≠0），其中第7個式子為______.

分析：首先，整體觀察題目，得出這些式子的分母中都含有a，分子中都含有b，不同之處在于每個式子的符號、分母和分子的指數；接著，深入觀察這些式子的不同之處，可以看出每個式子的符號呈現負、正交替的形態，可以用（-1）n（n為正整數）來表示，分母的指數呈現1、2、3、…的規律，可以用an表示，分子的指數呈現2、5、8、11、…（每個指數間隔3）的規律，可以用b3n-1表示.最后，第7個式子，即分母的指數為7，即n=7時，式子為

二、強化聯想訓練，培養創造性思維

聯想，是一個人生來便具有的天賦.但是，作為一種創新能力，還需要后天加以訓練和發展，聯想的能力越強，就越能將意義不同的事物相關聯，找尋其中蘊含的規律性的東西，架起溝通的橋梁，有意識地用聯系的眼光看待兩部分的內容，豐富自身解決問題的策略，提高解決問題的能力，最終提升數學學科素養.因此，在解題中需要不斷強化聯想訓練，培養創造性思維.

例2如圖1所示，OA=OB=OC，且∠ACB=30°，那么∠AOB=（ ）.

A.70° B.60° C.50° D.40°

分析：從OA=OB=OC這一條件展開聯想，可以想象到“圓為到定點距離等于定長的點的集合”，現以點O為圓心，邊OA為半徑作圓（如圖2），⊙O經過A、B、C三點，運用“相同弧所對的圓心角等于所對圓周角的兩倍”便可求出∠AOB的度數.

圖1

圖2

例3如圖3所示，點P位于等邊△ABC內，現有PC=5，PA=3，PB=4，請求出∠APB的度數.

分析：這道題的難度比較大，我們可以由其中的一個條件出發聯想出構造性問題，則可以將難度降低.現在觀察三邊的長度，并展開完整的聯想，在線段與勾股數之間建構橋梁，聯系到直角三角形.然后，通過變換圖形將PA、PB、PC三條線段集中到一個三角形中，問題就可以迎刃而解了.

圖3

圖4

解：如圖4，將△BAP繞點B沿順時針方向旋轉，當旋轉至60°時，BA、BC重合，點P旋轉至點Q，連接PQ.

∠PBQ=60°，BP=BQ，則△BPQ為等邊三角形，則PQ=PB=4.又PC=5，CQ=4，則在△PQC中，PQ2+QC2=PC2，則△PQC為直角三角形，則∠BQC=60°+90°=150°，則∠APB=150°.

三、關注特值法，培養思維的捷性

用特值法解題具有從特殊到一般的認識規律，可以培養新時代學生快速反應的基本素質，提高思維的敏捷性.作為數學教師，訓練學生用特值法解題，既可以幫助學生快速解決一些選擇題和填空題，還可以培養學生的數學感覺，提高他們的探究、猜想、發現等整體素質.

例4如果實數x、y、z不全相等，a=x2-yz，b=y2-xz，c=z2-xy，則以下結論正確的是（ ）.

A.a、b、c都不大于0

B.a、b、c都不小于0

C.a、b、c中至少有一個大于0

D.a、b、c中至少有一個小于0

分析：根據條件可得x、y、z為不全相等的實數，那么可以分為以下兩種情況：①x、y、z各不相等，②x、y、z中有兩個是相等的.若x、y、z各不相等，我們可以假設x=1，y=0，z=-1，即可得出a、b、c都等于1，這樣一來A和D選項就可以排除掉了；若x、y、z中有兩個相等，我們可以假設x=0，y=1，z=1，即可得出a=-1，b=1，c=1，同樣排除掉B選項.綜上所述，此題選C.若此題運用一般解法解決，過程復雜，不少學生下手有困難，若分析條件和結論，并為字母賦予特殊值，則很容易快速獲取準確答案，有利于學生快速反應能力的提升.

例5如果函數y=的自變量x的值是實數，則k的取值范圍為（ ）.

A.k≥1 B.k＜0或k＞1 C.0＜k≤1 D.0≤k≤1

分析：根據條件可得k=0滿足題意，而觀察選項，只有D中包含0，因此此題選D.此題運用一般解法過程煩瑣，不免費時費力，特殊值法是除繁就簡的思維方法之一，可以起到事半功倍的奇效.

四、著眼解題過程的邏輯化，培養嚴謹性思維

現今的數學教學中，由于大量的例題講解和習題訓練，不少教師在講解時只注重解題思路的敘述，忽略了解題過程的嚴謹性，它帶來了重結論輕過程的負面影響.學生在解答時，把復雜的解題過程濃縮為幾個簡單的字母、數或字，出現了過程上的漏洞百出.長此以往，導致學生不重視解題過程的嚴謹規范，出現了解題過程書寫凌亂、邏輯性紊亂的現象.因此，在數學教學中，需重視訓練學生解題過程的邏輯性，從而培養學生思維的嚴謹性.

例如，在運用“一元二次方程的根的判別式”解決問題時，如果二次項系數包含字母，則教師必須重申“二次項系數不可為0”這一前提條件，杜絕學生在完成選擇或填空題時由于這一前提遺漏而產生各種錯誤.

五、多題一解，培養綜合歸納的思維方式

所謂多題一解，就是學生通過相同的知識點進行多個練習，經過梳理、歸納和提煉揭開各種習題的表層，探索其知識的本質，實現數學知識應用的發展性，培養學生一種綜合歸納的思維方式.

例6如圖5所示，在△ABC中，有AB=6，AC=8，點D為邊BC的中點，求AD的取值范圍.

分析：此例題中只需要將邊AD延長至點E，使DE=AD，可得，再加上三角形的三邊關系，可得1＜AD＜7.

圖5

圖6

例7如圖6所示，已知梯形ABCD，有AD∥BC，AD＜BC，點E為對角線BD的中點，點F為對角線AC的中點.求證：EF=

分析：此例題中，連接DF，并延長與邊BC相交于點M，可得再加上三角形的中位線性質即可求證.

由此可見，此類問題的解決盡管表現形式不同，但問題本質意義相同，在解完一題后讓學生進行總結歸納，適時地將解題經驗實現發散性遷移，從而獲取熟練的解題技巧.

六、一題多變，培養學生思維的發散性

一題多變是通過縱橫發散，使知識串聯、綜合、溝通，培養學生的發散思維，對培養創新人才具有重大意義.

例8已知一次函數y=（2m+4）x+（3-n），當____時，此函數為正比例函數.

變式1：已知一次函數y=（2m+4）x+（3-n），當____時，此函數的圖像經過第一、二、三象限.

變式2：已知一次函數y=（2m+4）x+（3-n），當_____時，此函數的圖像不經過第四象限.

變式3：已知一次函數y=（2m+4）x+（3-n），當_____時，此函數的圖像與y軸的交點位于x軸下方.

變式4：已知一次函數y=（2m+4）x+（3-n），若此函數的圖像是由直線y=2x-4向上平移5個單位所得的，那么m=____，n=____.

變式5：已知一次函數y=（2m+4）x+（3-n），當____時，該圖像與直線y=2x-4關于x軸對稱.

變式6：已知一次函數y=（2m+4）x+（3-n），若該函數的圖像與函數y=的圖像相交于點（1，2）、（-2，-1），那么不等式的解集為________.

一個簡單的一次函數問題，通過結構不停變換來鞏固學生對知識的掌握并讓學生靈活運用，以培養學生的創新精神和思維的發散性.

總之，在初中數學解題教學中，教師應善于利用各種方法培養學生的思維品質.這不僅可以讓學生的思維品質得到快速成長，還可以從根本上激發學生的數學興趣，培養學生自主學習的能力，提高學生的數學水平，提升教師的教學質量.