從主動(dòng)感知和回歸到自覺聯(lián)想與貫通
——講解壓軸題的四個(gè)用力點(diǎn)

湖北省宜昌市外國語初級(jí)中學(xué) 袁曉芹

探求解答思路，通常是在讀題感知中回歸，即退回到知識(shí)和方法本源，退回到熟悉的知識(shí)與方法體系，利用相關(guān)的知識(shí)、方法、經(jīng)驗(yàn)，展開聯(lián)想，感悟求解思路以提升.筆者呈現(xiàn)一道模考題部分講解片段、解答困惑、探求過程、講題反思等，拋磚引玉，探微深度講解壓軸題的著力點(diǎn).

一、考題呈現(xiàn)

考題：（2017年上海嘉定二模第24題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，5），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5）；某二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)A、B與C.

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

（2）假如點(diǎn)Q在該函數(shù)圖像的對(duì)稱軸上，且△ACQ是等腰三角形，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（3）如果第一象限內(nèi)的點(diǎn)P在（1）中求出的二次函數(shù)的圖像上，且tan∠PCA=，求∠PCB的正弦值.

二、講題摘錄

1.讀題感知，回歸知識(shí)本源

片段一：第（1）問教學(xué)處理：

師：二次函數(shù)的解析式有哪三種表達(dá)形式？

生1：一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式.

師：很好！由所給三點(diǎn)，你認(rèn)為可以有哪些方法？

生2：可以直接用一般式，利用待定系數(shù)法求解.

生3：老師，B、C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是5，可由拋物線的對(duì)稱性，求得對(duì)稱軸為直線x=3，而點(diǎn)A（3，1）正好在對(duì)稱軸上，則點(diǎn)A是拋物線的頂點(diǎn)，用頂點(diǎn)式求解比較簡潔.

師：凡事預(yù)則立，讀題聯(lián)想相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，可以厘清思路.同學(xué)們，比一比，看誰最先求出解析式.

生4：（解法1）（1）設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c，將點(diǎn)A（3，1）、B（6，5）、C（0，5）的坐標(biāo)代入，得解得，c=5.所以，這個(gè)二次函數(shù)的解析式為

生5：（解法2）由于拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（6，5）、C（0，5），可知其對(duì)稱軸為直線x=3，則其頂點(diǎn)為A（3，1）.可設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-3）2+1.把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入，得5=9a+1，解得a=

2.畫圖感知，回歸基本思路

片段二：第（2）問教學(xué)探索：

師：△ACQ中哪些點(diǎn)、哪些相關(guān)的直線是確定的？

生6：點(diǎn)A、C是確定的，所以只需要畫出符合條件的△ACQ和對(duì)稱軸.

師：非常好！那么，若△ACQ是等腰三角形，你認(rèn)為這個(gè)三角形的位置確定嗎？會(huì)有哪些情況？你能畫出相應(yīng)的圖形嗎？

生7出示所畫圖形（圖略）.

師：結(jié)合所給定情形，你認(rèn)為有哪些解答思路？

生8：（解法1）易求得AC＝5.若△ACQ是等腰三角形，則當(dāng)AC=AQ時(shí)，求得點(diǎn)Q1（3，6）、Q2（3，-4）；當(dāng)QC=AC時(shí)，求得點(diǎn)Q3（3，9）；當(dāng)AQ=CQ時(shí)，可求得直線AC的解析式為，所以這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=，線段AC的中點(diǎn)過點(diǎn)E且垂直于AC的直線QE與直線x=3的交點(diǎn)即為所求.可求得直線EQ的解析式為，而點(diǎn)Q在直線x=3上，把x=3代入直線EQ的解析式，求得點(diǎn)

生9：（解法2）設(shè)點(diǎn)Q（3，m）.若△ACQ是等腰三角形，則有三種情形.當(dāng)AC=AQ時(shí)，由勾股定理得（3-0）2+（1-5）2=（3-3）2+（m-1）2，解得m=-4或m=6，此時(shí)求得點(diǎn)Q1（3，6）、Q2（3，-4）.同理，當(dāng)QC=AC時(shí)，（3-0）2+（m-5）2=（3-0）2+（5-1）2，解得m=9或m=1，求得點(diǎn)Q3（3，9）；當(dāng)AQ=CQ時(shí)，（3-3）2+（m-1）2=（3-0）2+（m-5）2，解得m=求得點(diǎn)

3.讀題品悟，聯(lián)想相關(guān)模型

片段三：第（3）問學(xué)生的解答困惑：

困惑1：∠PCA不是特殊角，它是不是定角？

困惑2：點(diǎn)P在哪里？怎么才能作出相關(guān)的示意圖？

困惑3：作垂線構(gòu)成直角三角形的頂點(diǎn)與點(diǎn)P是否確定？這樣的點(diǎn)P唯一嗎？會(huì)有幾個(gè)？

困惑4：題目為什么不要求求點(diǎn)P的坐標(biāo)？這是否意味著，或許解答與求點(diǎn)P的坐標(biāo)沒多大關(guān)聯(lián)？

片段四：仔細(xì)讀題，尋求相關(guān)作圖語句：

生10：第一反應(yīng)是作垂線，構(gòu)造直角三角形，銳角三角函數(shù)只有在一個(gè)直角三角形中才有價(jià)值；點(diǎn)C是銳角頂點(diǎn)，只能考慮點(diǎn)P或者點(diǎn)A作為直角頂點(diǎn)，而點(diǎn)P不知道位置，所以考慮以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作直線與AC垂直，顯然這條垂線與拋物線還有一個(gè)交點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)就是點(diǎn)P嗎？

生11：如果這個(gè)交點(diǎn)是P，這里只能保證AP⊥AC，不能保證tan∠PCA=，而且這里的交點(diǎn)是確定的.現(xiàn)在怎么辦？

師：關(guān)鍵是直線AC的垂線與拋物線的交點(diǎn)是否就在那條直線CP上.

生12：老師，我發(fā)現(xiàn)了一個(gè)問題，我們從一開始就想找點(diǎn)P，但是這道題沒有要求求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，似乎就可以解決問題.

師：很好，那不求點(diǎn)P，你會(huì)解答嗎？

生13：老師，如果∠PCA為45度，就好辦了.

生14：是的，老師，我想起來了，上周我們做過類似的題（說著上臺(tái)展示了相關(guān)題目）：如圖1，拋物線y=ax2+4與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A左B右），與y軸交于點(diǎn)C，AB=4，點(diǎn)P在第一象限的拋物線上，且∠CAP=45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

圖1

圖2

生16：可以利用45°，如圖2，作垂線，構(gòu)造等腰直角三角形，然后利用全等解決問題.

生17：是的，這里求得的點(diǎn)的坐標(biāo)并不是點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后通過直線與拋物線聯(lián)立求出交點(diǎn)P的坐標(biāo).

4.感悟思路，構(gòu)建方法體系

片段五：第（3）問的解答探索：

師：求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)一般有哪些方法？

生18：利用點(diǎn)的坐標(biāo)意義，可以通過全等、相似或銳角三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為求這個(gè)點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離.

生19：因?yàn)榫€線相交成點(diǎn)，我想先求直線和拋物線的解析式，轉(zhuǎn)化為方程來求.

師：這里要求直線AP，又不能用點(diǎn)P的坐標(biāo)，怎么辦？

生20：根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線，必須先求一個(gè)特殊點(diǎn)D.

師：這里明明是∠CAP，為什么可以是∠CAD？

生21：角的大小與邊的長短沒有關(guān)系.

師：既然是特殊點(diǎn)D即可，方法就很多，還有哪些特殊點(diǎn)？

生22：這里的特殊點(diǎn)就是由特殊位置、特殊圖形得到點(diǎn)D，如圖3，可以過點(diǎn)C作CD⊥AP于點(diǎn)D.當(dāng)然，最為特殊的點(diǎn)，是AP與y軸的交點(diǎn)，如圖4.

圖3

圖4

師：現(xiàn)在我們回到今天這道題第（3）問，有茅塞頓開的感覺嗎？

圖5

生23：（解法1）如圖5，過點(diǎn)A作AM⊥AC于點(diǎn)A，交CP于點(diǎn)M，過點(diǎn)A作直線l平行于x軸，交y軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)M作MH⊥l交直線l于點(diǎn)H.因?yàn)锳N=3，CN=4，由勾股定理得AC=5.又由于tan∠PCA=，所以AM=.由△ANC可以求出AH=，MH=2.延長HM交直線CB于點(diǎn)Q，則MQ⊥CB，可求得.在直角

生24：（解法2）過點(diǎn)A作AM⊥PC于點(diǎn)M，而點(diǎn)M的坐標(biāo)可求，下同解法1.

圖6

生25：（解法3）對(duì)于前面那道有45°的題，發(fā)現(xiàn)找特殊點(diǎn)時(shí)，最直接的恰是AP與y軸的交點(diǎn).連接PC交直線x=3于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)已知，即點(diǎn)M為特殊點(diǎn).過點(diǎn)M作MN⊥AC，垂足為點(diǎn)N，如圖6，將直線x=3與BC的交點(diǎn)記為H.易得CH=3，AH=4，AC=5.則sin∠CAH=.故可設(shè)MN=3k，則AM=5k，AN=4k.又tan∠PCA=，則CN=6k.由題意得方程：4k+6k=5.解得則

生26：這里還有一個(gè)小問題，CP的位置到底在CA的哪一側(cè)？

生27：這里不管另一側(cè)的直線存在還是不存在，都可以利用角平分線是角的對(duì)稱軸來解決.

三、講題反思

“天下難事，必做于易；天下大事，必做于細(xì)”，講題必然是細(xì)于審題、細(xì)于畫圖補(bǔ)圖，回歸與聯(lián)想中易得，感悟與貫通中提升.舍去教學(xué)功利，少走一些教學(xué)捷徑，多從經(jīng)歷復(fù)原題圖等細(xì)處入手，回歸知識(shí)本源等相關(guān)處嘗試用力：退回到簡單熟悉的相關(guān)知識(shí)和方法去引導(dǎo)，化陌生為熟悉；經(jīng)歷畫圖補(bǔ)全或復(fù)原題圖等細(xì)微之處尋求某種關(guān)聯(lián)，化未知為已知；反復(fù)明晰題圖等退回知識(shí)和方法本源，化難為易；讀題中聯(lián)想相關(guān)的知識(shí)、方法、經(jīng)驗(yàn)等，去進(jìn)行必要的整合與貫通，感悟思維聚焦、發(fā)散、求變，化繁為簡.

1.全員參與審題、畫圖感知覓法，積累基本經(jīng)驗(yàn)

“學(xué)習(xí)任何知識(shí)的最佳途徑是由學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)，因?yàn)檫@種發(fā)現(xiàn)，理解最深，也最容易掌握其中的內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系.”架梯搭臺(tái)，引導(dǎo)學(xué)生全員參與，經(jīng)歷講題各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，杜絕就題講題式的“簡單傳遞”，在親歷知識(shí)來龍去脈中，放手讓學(xué)生經(jīng)歷畫圖感知，去發(fā)現(xiàn)和重建，才能讓學(xué)生在參與講題活動(dòng)中，掌握知識(shí)間的內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系，并優(yōu)化計(jì)算.回顧考題第（1）問：學(xué)生仔細(xì)審讀A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，回歸二次函數(shù)解析式三種表達(dá)形式，聯(lián)想函數(shù)圖像與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，想到待定系數(shù)法，把問題轉(zhuǎn)化為方程組，給出解法1；回歸“點(diǎn)動(dòng)成線”數(shù)學(xué)事實(shí)，回歸二次函數(shù)圖像特有的性質(zhì)，抓住拋物線上兩點(diǎn)B、C的縱坐標(biāo)都等于5，聯(lián)想拋物線的對(duì)稱性，借助頂點(diǎn)式給出了解法2.教師在這一活動(dòng)中，首要任務(wù)就是調(diào)動(dòng)學(xué)生全員參與，并在講題活動(dòng)中靜待、誘發(fā)、喚醒和鼓勵(lì).

2.全面識(shí)圖析圖、回歸知識(shí)本源，務(wù)實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)

堅(jiān)持題圖讓學(xué)生自己畫，或給幅“殘圖”讓學(xué)生補(bǔ)全，目的是讓學(xué)生全面明晰圖形結(jié)構(gòu)，聯(lián)想圖形相關(guān)元素的性質(zhì)，從而回歸到相關(guān)基本圖形及相關(guān)知識(shí)源，在講題關(guān)鍵處發(fā)力，并務(wù)實(shí)基礎(chǔ)知識(shí).畫圖過程，就是學(xué)生全方位讀圖識(shí)圖、感悟數(shù)形結(jié)合的過程；解題思維過程并非一帆風(fēng)順，思路也并非唯一，思維的發(fā)散、聚焦和求變是突破思維障礙的助推器：基于確定性原則解答第（2）問時(shí)，緊扣定點(diǎn)A、C可以確定AC=5，回歸定義，舍棄無關(guān)的線條，感知草圖，聚焦兩邊相等，想到分AC=AQ、QC=AC、AQ=CQ三種情形去畫圖確定△ACQ是等腰三角形的大致位置，從而順利得到解法1；面對(duì)AQ=CQ這一情形，聯(lián)想點(diǎn)與坐標(biāo)、點(diǎn)與線的關(guān)系，自然會(huì)回歸到一次函數(shù)圖像與解析式完成解答；分析所畫圖形相關(guān)元素，觀察點(diǎn)Q在直線x=3上這一特定條件，回到等腰三角形定義，自然會(huì)聯(lián)想到利用坐標(biāo)可以表示線段長，設(shè)元轉(zhuǎn)化為方程得到解法2.講解中，有學(xué)生問到：這里拋物線沒有用？點(diǎn)P似乎也沒有用上？由此可見，知識(shí)本源看似無形，卻與思路方法如影隨形.學(xué)生習(xí)慣于一種有形的存在，不求一下點(diǎn)P，思路似乎無法打開.有意給出的拋物線上一點(diǎn)P，恰使本題最具有思考價(jià)值，如果把題目改編一下：變成方法1或者方法2中已知點(diǎn)M，思維難度大大降低.因此，給出了拋物線上點(diǎn)P對(duì)思維是一種挑戰(zhàn)；或者說，即使要求點(diǎn)P，也還是要轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)M，這要求學(xué)生回歸到角的概念，深刻理解角是有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形，角的大小與邊的長短沒有關(guān)系等相關(guān)知識(shí)源，從而回歸到兩點(diǎn)確定一條直線等本源知識(shí)而啟思.

3.全程反思解答、聯(lián)想“相關(guān)”得法，感悟基本模型

只想表面，則只是方法而已，深入思考，全程反思，是講解壓軸題不可缺失的一個(gè)環(huán)節(jié).深度反思解答，將會(huì)構(gòu)成一定的知識(shí)體系.如果沒有反思、提煉，就不可能構(gòu)建數(shù)學(xué)基本圖形、基本模型，知識(shí)目標(biāo)達(dá)成勢(shì)必有一定的難度.同樣，如果缺乏對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解，缺乏對(duì)具有哲學(xué)思想的數(shù)學(xué)本源知識(shí)的理解，將限制學(xué)生的邏輯推理與數(shù)學(xué)抽象.正如片段2，反思解法1時(shí)，有學(xué)生從對(duì)稱性角度，給出了“一線串雙圓”解答等腰三角形存在性問題，即分別以定點(diǎn)A、C為圓心，定長AC為半徑作圓，此圓兩個(gè)交點(diǎn)的連線及與直線x=3的交點(diǎn)，是符合條件的點(diǎn)Q，從而得到一種可視化的解答策略.片段3中那些常見的解題困惑，暴露出學(xué)生聯(lián)想相關(guān)熟悉的知識(shí)、方法的欠缺，甚至于對(duì)接觸過的相關(guān)題目或經(jīng)驗(yàn)的遺忘.對(duì)于45°角，通常可以過任一點(diǎn)或某一相關(guān)特殊點(diǎn)，或翻折或垂直，構(gòu)造K型全等或相似.全程多視角進(jìn)行解答反思，可以優(yōu)化對(duì)基本模型的認(rèn)識(shí)與重新構(gòu)建，從而走出已有模型的僵化思維，發(fā)散到任意角獲得思路，產(chǎn)生片段4的聯(lián)想，得到片段5呈現(xiàn)的3種方法.講解壓軸題，需要在反思、品悟、聯(lián)想等相關(guān)細(xì)節(jié)處深度用力，形成自覺追溯知識(shí)本源的能力，并感受數(shù)學(xué)的整體性，為終生會(huì)學(xué)習(xí)奠基.

4.全新構(gòu)建體系、感悟思路并貫通，提升核心素養(yǎng)

思前想后，前后貫通，即通過多種途徑將數(shù)學(xué)知識(shí)按照其內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行有機(jī)整合貫通，是深度講解壓軸題必不可少的一步.這種貫通，在與分析法、綜合法對(duì)比使用時(shí)，往往會(huì)收到意外解題驚喜，并幫助學(xué)生內(nèi)化成數(shù)學(xué)思考、理性精神及綜合能力，掌握解決復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問題的辦法.筆者認(rèn)為對(duì)于解析幾何的思維方式的理解，點(diǎn)的確定需要線線相交（兩個(gè)元素來確定），而直線又需要兩個(gè)點(diǎn)來確定，解答上述考題時(shí)，才會(huì)想到求特殊點(diǎn)就有特殊方法，于是把求點(diǎn)P轉(zhuǎn)化為求CP上的特殊點(diǎn).所有與解析有關(guān)的知識(shí)是一個(gè)體系，講解函數(shù)壓軸題時(shí)，應(yīng)該交給學(xué)生這個(gè)整體的學(xué)習(xí)方式，而不是零散的.要有意深度挖掘知識(shí)本源，在深入思考中靈活貫通，從而全新構(gòu)建知識(shí)、方法體系，提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).