依靠學科內在力量，發展學生核心素養
——以“平行線背景下的等積變形”專題復習課為例

江蘇省無錫市蠡園中學 周進榮

江南大學附屬中學 韓衛華

黨的十八大提出“教育的根本任務在于立德樹人”，這也是當下教育改革的核心任務.2014年教育部印發了《關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》，其中多次提到發展學生的核心素養.《21世紀學生核心素養研究》一書中指出：“學生核心素養，主要指學生應具備的，能夠適應終身發展需要的必備品格和關鍵能力.”作為數學教育的實踐者，落實數學學科“立德育人”的目標，首先應該體現在數學學科核心素養的培育上.數學學科核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析六個方面.在日常教學中，如何把數學學科核心素養的培育落實在數學教學的各個環節中？筆者認為，數學是思維的科學，數學教學是思維的教學.“數學育人”要依靠學科的內在力量，要在數學內部挖掘育人資源，并使它們在數學教育的各個環節中發揮數學學科獨特的、別的學科不能替代的育人功能.下面以“平行線背景下的等積變形”專題復習課為例，談談課堂教學中如何發展學生的核心素養.

一、問題驅動，引發學生發散思維，促進核心素養的形成

問題是思維的起點，核心素養就是在復雜問題情境中解決問題的能力和品質，是個體在與情境的持續互動中，不斷解決問題而形成的.情境化是數學知識轉化為數學素養的重要途徑.

問題1：如圖1，點C為線段BE上一點，分別以BC、CE為邊在BE的同一側作正方形ABCD和正方形GCEF，連 接GA、GE、AE，且AE與CD交于點H.若正方形ABCD與正方形GCEF的邊長分別為a、b，求△GAE的面積.

圖1

生1：我用“補”的方法，如圖1，S△GAE=S正方形ABCD＋S正方形GCEF-

生2：還可以用“割”的方法，如圖1，沿著GH所在的直線將△GAE 分割成△GAH 和△GEH.由，所以b，所以所以

師：還有其他方法嗎？

眾生搖頭示意沒有.

師：你還能得到什么啟發？

生3：S△GAE=S△GCE.

師：能證明嗎？

生3：如圖2，連接AC.因為AC、GE是正方形的對角線，所以AC∥GE，根據同底等高的兩個三角形的面積相等，有

圖2

師：你好厲害！想到了平行線，利用“平行線之間的距離處處相等”，將△GAE的面積轉化成△GEC的面積，我們把這種方法稱為平行線的“等積變形”.在本題的解法中，我們分別用了“割、補、等積變形”的方法，你認為哪種更簡單？

生4：“等積變形”更簡單.利用平行線等積變形，可以將一個三角形轉化成與它本身面積相等、形狀不相同的三角形.

師：非常棒！利用平行線等積變形，思路靈活，方法巧妙，學好它能夠幫我們巧妙解決問題.

教學意圖：在問題情境設置上，執教教師巧妙設置了求三角形面積的開放性問題，充分調動了學生的求知欲，引發學生發散思維，教學中采用一題多解的形式，通過對三角形面積求解的三種不同方法的比較，自然引出平行線等積變形的定義，讓學生體會平行線等積變形的優越性，著力培養了學生的直觀想象、數據分析和數學運算素養.

二、變式訓練，激發學生創新思維，促進核心素養的形成

數學學科獨特的育人功能主要在培養學生的創新思維上.變式訓練有助于學生拓寬視野、加深對概念和技能的理解，幫助學生多角度認識問題，激勵學生創新、探究能力的發展，使學生學會思考，有邏輯地思考，創造性地思考，讓學生成為善于發現問題、提出問題，善于分析問題、解決問題的人.

變式1：如圖3，如果將“正方形ABCD和正方形GCEF”改為“兩個相似的菱形ABCD和菱形GCEF”，其余的條件不變，則

圖3

圖4

生5：如圖4，連接AC，因為菱形ABCD相似于菱形GCEF，根據相似多邊形的性質，得∠BCD=∠CEF，從而得到∠BCA=∠CEG，故AC∥GE，S△GAE=S△GCE=

變式2：你還能將“兩個正方形”改為什么圖形，使結論仍然成立？

生6：如圖5，可以改為“兩個相似的矩形ABCD和矩形GCEF”，根據變式1的經驗，只要條件“AC∥GE”保持不變（如圖6），則結論“S△GAE=S矩形GCEF”成立，于是我想到了兩個相似的矩形，即矩形ABCD和矩形GCEF.

圖5

圖6

生7：同樣，還可以將“兩個正方形”改為“兩個相似的平行四邊形”.

師：非常棒！利用平行線等積變形，關鍵是能夠構造出平行線.

三、動手操作，發展學生形象思維，促進核心素養的形成

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“動手實踐、自主探究、合作交流是學生學數學的主要方式，有效的數學學習方式不能單純地依靠模仿與記憶.”重視動手操作能力，是發展學生思維、培養學生數學能力最有效的途徑.動手操作能讓學生從形象思維有效過渡到抽象邏輯思維上.

問題2：如圖7，已知網格中小正方形的邊長為1，求△ABC的面積.

圖7

圖8

生8：除了能用“割”“補”求出△ABC的面積，還可以運用等積變形求△ABC的面積.可以先“固定”AC，過點B作DF∥AC，變△ABC的面積為△AFC的面積（如圖8），也可變為△ADC的面積（如圖9），所以S△ABC=5.

圖9

圖10

師：這種方法比“割”和“補”的方法快多了，如圖8，這條直線上還有格點E，為什么不選擇它？

生9：那是因為△AEC的面積與△ABC的面積一樣，不容易計算.

師：所以同樣在平行線上，要選擇合適的點.

生10：老師，還可以“固定”BC，如圖10，過點A作AD∥BC，變△ABC的面積為△DBC的面積.

師：非常棒！選擇不同的底邊，我們又得到一個方法，如果網格再大一點，我們還可以“固定”AB，過點C作AB的平行線.

但是隨著我國工業化、城鎮化進程的加快，人增地減水缺的矛盾日益突出，農田水利建設滯后的問題尤為凸顯，農田水利基礎薄弱、資金投入不足、建設管理體制機制有待改革、法制建設亟待加強的情況還是比較突出的。審議中委員們還就改革創新農田水利發展體制機制、加大財政投入的力度、完善管理服務體系、加強節約用水和水土保持工作等提出了許多中肯的意見和建議。

師：同學們，關于等積變形，我們有什么經驗呢？

生11：利用平行線等積變形，往往能夠使三角形改“邪”歸“正”！

生12：“等積變形”應先固定一條邊作為底邊，若這條底邊有平行線，可以將原三角形轉化，這樣往往能直接求出三角形的面積.

生13：在平行線上要選擇合適的點進行等積變形，如果點選得不好，等積變形也沒用……

教學意圖：“割”“補”法是求圖形面積最為常見、有效的方法之一，但有時利用等積變形求面積更簡單.問題2 引導學生突破常規，分別“固定”三角形不同的邊，再利用網格中的平行線進行三角形的等積變形，變形后面積計算一目了然.同時，每一個數學經驗的獲得，沒有強加于學生，而是在學生動手操作過程中自然生長出來的，這樣的經驗最具有生命力.教師在教學中適當地讓學生動手操作，能夠使抽象的數學知識變得更為直觀、易懂，有力培養了學生的幾何直觀和邏輯推理素養.

四、關注過程，發展學生抽象思維，促進核心素養的形成

核心素養的形成是以數學知識為載體，以數學活動為路徑而逐步實現的.數學教學要從數學知識發生、發展過程的合理性，以及學生思維過程的合理性上加強思考，這是落實數學學科核心素養的關鍵點.

問題3：如圖11，已知點A（-2，1）、B（4，-2）、C（1，2），坐標軸上是否存在點D，使S△ABC=S△ABD？如果存在，請求出所有滿足條件的點D的坐標；如果不存在，請說明理由.

圖11

圖12

生14：如圖12，“固定”AB，過點C作AB的平行線，分別交x軸、y軸于點D1、D2，變△ABC為△ABD1或△ABD2.

師：如何求點D1、D2的坐標？

生15：由A（-2，1）、B（4，-2）兩點，求出AB所在直線的方程為x.因為D1D2∥AB，所以設直線D1D2的方程為x＋b，再將點C（1，2）的坐標代入x＋b中，得，則直線D1D2的方程為，故點D1

師：這樣的點還有嗎？

生16：還有！作點C關于AB的對稱點C′，過點C′作AB的平行線，分別交x軸、y軸于點D3、D4，變△ABC為△ABD3或△ABD4，可求得點D3（-5，0）

教學意圖：問題3是在問題1和問題2的基礎上“生長”出來的一道難度較大的綜合題，有了解決問題1和問題2的經驗，學生很容易想到利用平行線等積變形.于是“固定”AB，過點C作AB的平行線，分別交x軸、y軸于點D1、D2，變△ABC為△ABD1或△ABD2.由對稱性，在x軸、y軸的負半軸上也有符合題意的兩個點.章建躍博士曾指出：“數學學習有三重境界：知其然，知其所以然，何由以知其所以然.”教師要學會“示以學生思維之道”的方法，要讓學生在自己獨立面對問題時“想得到”“做得到”.這需要教師在平時的教學中，關注知識的發展過程，加強抽象思維訓練，著力發展學生的數學運算和數學抽象素養.

以上僅從一節課的幾個環節來培養學生的核心素養，其實培養核心素養的途徑還有很多，需要在日常教學中潛移默化、逐漸滲透.但不管怎樣，落實數學學科核心素養，要著重培養學生的思維特別是邏輯思維，使學生學會思考，特別是學會“有邏輯”地思考.讓學生成為善于認識問題、解決問題的人，著力培養學生的科學精神，學會學習和實踐創新.