注重課堂實踐，提升學科素養
——由課堂裁剪與折紙經營幾何學習

山東省廣饒縣實驗中學 任百義

數學的幾何學問可謂“小題大做”，初中生的思維常常有“短路”現象，這主要是因為教師在培養學生的“數形轉換”的學科素養上缺乏實踐.怎樣才能讓學生在課堂上多實踐呢？通過備課組的集體研討和平時的教學實踐分析，裁剪與折紙是課堂上培養學生的“數形轉換”學科素養的有效途徑.

與課堂實踐不謀而合，近年來中考試卷中考查裁剪與折紙的問題屢見不鮮.如2017年江蘇省無錫市數學試卷第10題：如圖1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，點D是BC的中點，將△ABD沿AD 翻折得到△AED，連接CE，則線段CE的長等于（ ）.

圖1

中考試題是數學學科核心素養考查的具體體現，而課堂教學是培養學生學科素養的有效途徑.為此，筆者在初中幾何教學過程中開始嘗試裁剪與折紙的數學拓展性課程，讓學生初步體驗到剪裁與折紙在數學學習中的一些“學問”.

一、課堂裁剪與折紙可以豐富數學探索的內涵

數學幾何最顯著的特點是“數形轉換”的思想.在實驗操作中讓學生體驗這種思想發現的過程，感悟數學的內涵是課堂教學的基本點.比如，在學習“勾股定理”內容時，教材就給出了剪紙證明的方法，剪裁四個相同的直角三角形進行拼接，然而學生拼接的方法是豐富多彩的，與教材有著不同的形式.在學習“等腰三角形”時，不妨在課堂上讓學生思考將一張長方形紙片折成等腰三角形；再學習用直角三角形及任意三角形紙片折成一個長方形.當然，折紙必須強調重疊部分只能是兩層紙，不能反復重疊.通過課堂上剪裁與折紙活動和小組交流醞釀出很多不同的方法，然后通過學生對折紙過程和相應的說明展示，讓課堂變得活潑且有趣，學生對知識的探究由情而發.

毋庸置疑，筆者在課堂上采用的這些鮮活的案例都取得了很好的效果，有時，剪裁與對折活動從課堂中延伸到了課堂外，充分說明調動了學生學習數學的熱情.在適當的時候展示與剪裁、折紙的內容有關的中考試題，使學生對剪裁、折紙的學習重視起來.

二、課堂裁剪與折紙數學探索案例分享

剪裁與折紙可以作為一種生活欣賞的藝術，用于幾何教學則是作為有著除藝術欣賞之外的教學輔助工具的功能，其教學應用價值和使用手段尚有待師生認知、認可.同時，剪裁與折紙還面臨著各種挑戰，其應用和教學活動只是在摸索和嘗試的過程中.筆者就以平行四邊形的教學過程為例，將課堂裁剪與折紙數學探索與同人分享.

1.創設剪裁與折紙情境，引入新課

師：同學們，我們在前面學習過了三角形的知識，在那里我們認識了一些特殊三角形，如等腰三角形、直角三角形等，同時學習過一般四邊形的性質，從今天開始，讓我們再研討一類特殊的四邊形，好嗎？（拿出一張16開紙板，將寬對折并剪裁）

師：在小學就知道這是一個什么四邊形？

學生答長方形或矩形.

用電子白板展示折紙過程，如圖2所示.

圖2

學生在電子白板的示范下開始剪裁和折紙.

師：你們通過折紙得到了一個什么四邊形？

生：平行四邊形.

師：開始的16開紙也是平行四邊形嗎？

生：也是，只不過有些特殊.

師：這節課我們就開始學習平行四邊形.我們在前面探究過許多圖形，可以從哪些方面開始探究一個圖形的特征呢？

生：需要探究平行四邊形的定義、性質，還有判定等.

師生合作認識平行四邊形的定義、表示符號.

2.通過剪裁與折紙探究平行四邊形的性質

師：同學們，現在我們已經掌握了平行四邊形的定義、表示符號（拿起學生剛剛折出的平行四邊形），大家覺得可以從哪些角度去探究這個平行四邊形的性質呢？

學生答邊、角、對角線等.

由學生自己通過猜想和度量來證實猜想：平行四邊形的對邊相等、對角相等.

電子白板展示平行四邊形的性質.

師：你們能夠證明上面兩個猜想嗎？請先將這段文字寫成數學命題的形式，然后證明.

學生作圖、寫出已知和求證，以及證明過程.

如圖3，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC.

求證：AB=CD，AD=BC，∠A=∠C，∠B=∠D.（證明過程略去）

課堂練習：（用電子白板展示課堂練習，鞏固所學知識）

圖3

在圖3中，若∠A=120°，則其他幾個角的度數分別是多少？

若AB=2，BC=4，∠A和∠B的度數分別是多少？

創設目的：采取先同桌交流再全班展示的方式進行.目的是訓練學生對平行四邊形對邊相等、對角相等的性質的理解.

3.課堂上類比折紙，度量平行四邊形的高的概念

師：（拿出一個已經折好的平行四邊形）現在讓我們回過頭再看看這個圖形的折紙過程（展開），請同學們思考這樣一個問題.

電子白板展示：

課堂練習：如圖4，四邊形ABCD是平行四邊形，作DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分別為點E、F.求證DE=BF.

圖4

答案是開放的、不唯一的，因此，學生交流后的答案精彩紛呈.預設學生可能的思路有以下幾種：

思路1：利用?ABCD對角相等、對邊相等的性質可以得出∠A=∠C、AD=CB，再利用不難得出DE=BF.

思路2：得出DE=BF，或四邊形DEBF的四個角為90°，證明四邊形DEBF也是平行四邊形.

思路3：引導學生從平行線間的距離進行探究證明.

創設目的：通過學生在課堂上對問題的討論與交流，讓應用折紙作為輔助探究的工具和演示幾何形態成為可能，為學生針對幾何問題敞開探究、開放的大門.因此，多角度的思考可以博采眾長，有效提升學生對幾何圖形的認知能力.

4.創設剪裁與折紙練習題，讓學生明確數學學科核心素養

為了開發剪裁與折紙活動，筆者用坐標紙作為數學教學專用折紙紙張，不但有網格可以表示坐標，還可以用不同的顏色表示剪裁或折疊后的區域等，從而讓學生能直觀地應用剪裁或折紙.比如，讓學生練習一些必要的習題，可從中考試題中選編過來.如：

練習1：如圖5，把一張長方形紙片對折，折痕為AB，再以AB的中點O為頂點把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分線折疊，從折疊后的圖形剪出一個以O為頂點的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展開鋪平后得到的平面圖形一定是（ ）.

圖5

A.正三角形 B.正方形

C.正五邊形 D.正六邊形

練習2：如圖6，方格紙中有一透明等腰三角形紙片，按圖中裁剪線將這個紙片裁剪成三部分.請你將這三部分小紙片重新分別拼接成：

圖6

圖7

（1）一個非矩形的平行四邊形.

（2）一個正方形.

請在圖中畫出拼接后的圖形，要求每張三角形紙片的頂點與小方格的頂點重合……

創設目的：通過練習來營造一種動手實驗、直覺判斷、合情推理的數學認知過程，在活動中，學生根據自己的能力得出不同層次的結論.練習中的剪裁與折紙過程足以激勵每一個學生參與到力所能及的探究中.

總之，在課堂上創設相應的剪裁與折紙活動，能為學生仔細觀察，廣泛聯想，多方向、多角度、多層次去思考營造機會，因此，剪裁與折紙是發展學生數學學科核心素養的有效途徑.