基于加權均分模型的學生入學差異性效應分析

劉麗峰，王志勇，郭 兵

(山東理工大學 建筑工程學院, 山東 淄博 255049)

目前, 大學課程考試中，按照基礎知識占60%，中等難度占20%，提高部分占20%的比例分配，該分配比例既能檢查學生普遍對基礎知識掌握情況，又能了解學生課堂內知識的綜合應用、課堂外知識的加深及自我提高能力，相對應的考試成績也一般呈正態分布，即大部分學生能夠掌握基礎知識，也有一定的綜合應用能力，成績位于中等水平，一部分基礎水平較好且課下認真鉆研的學生成績優異，相應剩余的學生上課不認真學習會出現不及格。但是近幾年來, 由于定向委托培養及邊緣地區分數線照顧等因素, 使得同一班級的學生學習水平有較大的差異，但這部分學生所占的比例較小，尚且對成績整體分布影響不大，因此總體來說考試成績仍然服從或近似服從正態分布，即成績很高或很低的人數所占比例較小，成績中等的人數比例較大[1-4]。文獻[5]采用工商管理專業的高等數學成績進行分析，證明了學生成績符合正態分布。文獻[6]的研究表明凡符合教學規律的考試,其總體成績應服從或接近服從正態分布。文獻[7]闡述了學生成績未必要服從正態分布的觀點。文獻[8]的研究表明非智力因素對高職院校學生英語成績正態分布有著很大的影響。文獻[9]利用混合正態分布來擬合學生的成績分布，并進行實證分析。

劉應成[10]論述了在考試系統中成績正態分布檢驗的設計與實現方法。鄭月鋒等[11]提出了一種將成績修正為正態分布的算法, 可以在維持原始成績排名的基礎上調整成績, 使得它符合正態分布。高義中等[12]從Fuzzy集合的角度來分析學生群體在某門課程考試結果中，其成績服從正態分布的置信度問題。但同時也要兼顧到入學基礎水平的差異、統計個數較少等因素的影響，有些成績服從偏態分布[13-15]，因此在教學評估、學生成績評定和教學管理工作評估等方面的以正態分布評估就存在一定的局限性。為了對教師教學、學校教學質量和教學管理等工作進行更為科學的評估，有必要在主體為正態分布的情況下，考慮入學基礎水平差異,本文采用加權均分模型進行成績分析。

1 加權均分模型原理

正態分布是目前成績分析的常用模型，然而影響考試成績的因素具有多樣性，目前國內外學者從多方面對影響學生考試成績的因素進行了研究：(1)在教學環境方面，Ilana等[16]、Chan等[17]闡述了學生借助先進的自學條件能夠提高學習的效率和效果；(2)在班級總體狀況方面，Tomá?等[18]、Benot[19]等的研究表明性別對考試成績影響有明顯的差異，Erika 等[20]的研究發現班級總人數對學習成績較差的部分學生成績影響較明顯；(3)在學生個體學習差異方面，李瑩[21]的研究表明個體學習風格對高等數學的成績影響不顯著，李金屏等[22]則研究了學生個人的學習時間和學習效率對學生成績影響。以上研究沒有考慮學生入學基礎知識的差異對學習效率的影響，本文在教學環境一定的情況下，研究學生個體入學基礎差異和就業形式兩個因素對考試成績的影響。在成績分布模型構建方面，借鑒孫毅等[23]多元線性回歸分析方法建立考試成績評價與預測的回歸模型。為提高計算效率，在對學生考試成績分布擬合中，采用對數分布模型。

本文成績加權均分模型構建的思路為：建立入學成績影響因素學號N(由于學生學號一般按照入學成績高低由小到大排列)和就業形勢影響因素招生人數NT為自變量，擬合成績yN為因變量的對數模型，即

yN=a2ln(NT+C1+a1*N)

(1)

式中：C1為避免(NT+a1*N)過小或趨于0，而使得對數值過大而取的常數，本文中C1值取2；a1為入學基礎水平影響系數;a2為基臺系數。

(a) 直方圖(b)散點圖(c) 極坐標圖圖1 測繪1001班考試成績Fig.1 Diagrams of 1001 class scores

基于正態分布的思想，采用擬合成績趨近于標準成績，介于一倍標準差之間的數據占68.26%，大于σ的成績為優異，小于-σ的位于60分左右，即不及格(小于60分)或沒有績點(大于60分但小于70分)。以測繪1001班為例，為便于比較成績的優劣，將成績按照由低到高的順序進行排列，以一倍標準差為限值將成績分為三類，分別繪制直方圖、散點圖和極坐標圖，如圖1所示。由圖1(c)可以清楚地看到每個學生成績的分布情況，可以彌補正態分布在學生成績個體差異顯示方面的不足。

2 加權均分模型的構建

為簡化成績加權模型，在式(1)中，分析一個班級成績加權模型時，該班級的人數NT為固定值，且C1也為常數2，因此可以將NT+C1由常數C代替，式(1)可簡化為

yN=a2ln(C+a1N)

(2)

將式(2)進一步分解為

(3)

式中:yN，N，NT分別表示加權均分模型的擬合值、學號和班級總人數;a1為入學基礎水平影響系數，a1絕對值大小表示影響的程度。

式(3)進一步改寫為基臺值Bv和系統變化值Sv之和，即：

yN=Bv+Sv,

(4)

Bv=a2lnC，

當a1符號為負時Sv為遞減函數(即Sv1>Sv2>…>SvNT，當C不變時，Bv不變，則y1>y2>…>yNT)，表示入學基礎水平對考試成績有正影響，學習狀態良好；反之a1符號為正時屬于不正常狀態；而a1為0時，表示所有學生的學習成績相同，這是不存在的；Bv的意義為理論上學號為0的考試成績，即為班內入學成績理論上限值，Bv=a2lnC>0;而lnC=ln(NT+2)恒大于，故a2恒大于0。a2為基臺系數，當a1>0 時，Bv為低基臺，a2稱為低基臺系數；反之a1<0，Bv為高基臺，a2稱為高基臺系數，在班級人數相同時，基臺系數反映班級的極值變化情況，由此可以推導出yN取值范圍為

圖2表示了入學基礎水平影響系數a1、基臺系數a2和考試成績關系，圖2(a)為a1>0和a2為低基臺系數的情況，圖2(b)則表示a1<0，a2為高基臺系數時的情況，圖2(c)表示低基臺系數小于高基臺系數，圖2(d)表示低基臺系數大于高基臺系數，圖2(e)表示低基臺系數等于高基臺系數，y1=a12ln(C+a11N),y2=a22ln(C+a21N)。

(a)低基臺比較(b) 高基臺比較 (c)低基臺小于高基臺

(d)低基臺大于高基臺 (e)低基臺等于高基臺圖2 基臺系數比較Fig.2 Comparison diagram of abutment coefficients

為比較加權均分模型與正態分布的關系，類似正態分布將考試成績和相應的模型擬合值由小到大排列，并對班級成績標準化(類似于正態分布，由標準化后的考試成績所包圍的扇形面積之和為1)后，繪制在極坐標圖中，由于一倍標準差區域內的成績能反映68.26%學生的學習狀況，該部分對研究整個班級學生的特點和成績變化趨勢有重要意義，因此，將該部分學生人數與班級總人數之比定義為點值比(PRV)。PRV表示的正態分布和加權均分模型分別如圖3(a)、3(b)所示。

(a) 正態分布

(b) 排序后極坐標圖3 1001班考試成績點值比的分布Fig.3 The score ratio distribution of examination results of class 1001

圖4 1001班考試成績直方圖和極坐標圖轉換示意Fig. 4 Schematic diagram of histogram and polar coordinate transformation of class 1001 examination results

3 實證分析

下面以山東理工大學不同學年、不同專業、全班或部分學生的考試成績進行實證分析：2008級城市規劃專業1個班級CAD考試成績、2008級測繪工程專業3個班級部分學生的計算機地圖制圖原理與算法基礎考試成績、測繪工程專業2009級與2010級3個班專業英語考試成績和2012級2 個班級地圖學考試成績、2015級勘查工程專業1個班級測量學考試成績。這些試題根據教學大綱、考試大綱進行規范化命題, 基本上基礎知識占總成績的60%，加深和提高部分占40%，一般學生考試成績在70以上，總體要滿足正態分布的要求。

驗證的實例中包含專業基礎課程(計算機、英語)和專業應用課程，下面分別針對這兩種類型課程進行實證分析。

3.1 專業基礎課程實證分析

計算機類專業基礎課程包括班級全部都參與實驗和部分學生參與實驗，擬合結果如下：

全部參與的計算機類專業基礎課程有城市規劃專業2008級2班的CAD課程，共有39人，加權均分模型擬合函數為yN=ln(NT+2+N*0.38)* 16.53，擬合的點值比FPRV為0.68，擬合成績均值為66.67，與實際考試成績的差值為2.58，與正態分布的一倍標準差內密度函數積分(即正態點值比NPRV)0.68的比值為0.99，可見兩者是非常接近的。

部分參與的計算機類專業基礎課程有計算機地圖制圖原理與算法基礎課程，2008級測繪工程專業1班21人、2班19人和3班11人，擬合函數和計算結果見表1。

由表1可以看出，即使有部分學生選課考試的成績加權均分模型擬合得到的FPRV與正態分布的

表1 計算機地圖制圖原理與算法基礎考試成績擬合結果
Tab.1 The fitting of examination scores for course principle and algorithm basis of computer cartography

班級擬合函數擬合均值/分平均成績/分FF/N0801yN=ln(NT+2-0.11?N)? 20.6566.763.60.71.00802yN=ln(NT+2+0.42? N )? 22.3063.271.90.60.90803yN=ln(NT+2-0.37? N)? 29.6972.770.40.71.0

NPRV之比(F/N)仍近似等于1，平均誤差僅為4.51%。比較表1中加權均分模型系數a1可以看到，0801班和0803班的a1小于0時，擬合均值成績較高，說明考試成績仍按照入學成績分布狀態排列，學習成績較好的學生大部分沒有出現大幅度下滑，班級整體學風保持較好，但0801班a1絕對值小于0803班的，表示0801班學生間考試成績差異小于0803班的，且0801班平均分較低也說明了0801班整體學習成績低于0803班的，而0803班學習成績好的同學進步快，而學習成績差的進步較慢，但成績差的學生占較小比例；而0802班則出現相反的情況，說明該班學習狀況出現異常，由于該課程開課時間為大四上半年，即第7學期，跟研究生考試及找工作時間沖突，0802班學生選擇就業找工作人數較多，在一定程度上影響了學習成績。比較3個班的基臺系數可知，1班選修學生的學習狀況較3班的差，1班的高基臺系數20.65小于2班的低基臺系數22.30，說明1班學生的學習狀態比2班的差，而2班的低基臺系數與3班的高基臺系數進行比較，可以看到兩者有一定交集，但總體來說3班仍有一部分學生較2班差，因此平均成績稍微低于2班的。

鑒于以上實證結果，部分選課成績與全班學生考試成績都參與實驗結果是一致的，因此英語類專業基礎課程僅考慮全班參與的情況，選擇2009級和2010級測繪工程專業1班、2班和3班的專業英語全班進行實驗，分別有38人、40人、36人和39人、35人、35人，實證結果見表2。

由表2可得,成績加權均分模型擬合得到的FPRV與正態分布的NPRV的平均誤差僅為7.53%，兩者近似相等，且絕大部分擬合FPRV都略小于正態分布的NPRV，這由于正態分布計算結果為精確值，而加權均分模型擬合值為近似解。比較2009級和2010級學生專業英語考試的成績可以看出，2009級的FPRV與NPRV之比的平均值0.90較2010級的0.97低, 但兩者相差3.27%；兩者的平均值也存在相同狀況，2009級平均分68.97比2010級的71.87相差4.20%，說明了2009級考試成績低于2010級的。比較2009級入學基礎水平影響系數a1：1班和3班的同為負號，且1班a1的絕對值小于3班的，而2班的為正值，這與表1的情況相同； 2010級則呈現出與2009級相反的狀態：1班和3班的a1同為正數，1班a1的絕對值大于3班的，且1班的平均成績72.7略高于3班的72.0，1班的基臺系數a2小于3班的，表明1班和3班考試成績與入學成績相比出現異常，出現入學成績差學生整體反超的現象，1班學生考試成績差異較大，成績下降的學生出現在入學成績優異學生內，且少數的成績存在較大幅度的下滑，3班也存在類似現象，但跟1班相比下滑幅度不大；而2班學生的考試成績與入學基礎有相同的趨勢，但從較低的平均分70.9和基臺系數19.90可以看出，雖然考試成績符合其入學基礎水平，但也表現出整體班級學習不甚努力的趨勢，存在學生對專業英語的重視程度不夠現象。

表2 專業英語考試成績擬合結果
Tab.2FittingresultsofprofessionalEnglishtests

班級擬合函數擬合均值/分平均成績/分FF/ N0901yN=ln(NT+2-0.02?N)? 18.0171.166.20.71.00902yN=ln(NT+2+0.02?N)? 19.1062.571.60.60.90903yN=ln(NT+2-0.34?N)? 20.0355.669.10.50.81001yN=ln(NT+2+0.27?N)? 18.9561.572.70.60.91002yN=ln(NT+2-0.04?N)? 19.9064.770.90.71.01003yN=ln(NT+2+0.10?N)?20.2365.772.00.71.0

由于2009級和2010級學生的考試試題不同，因此不能直接比較平均分，但比較a1絕對值均值可以看到，2009級的0.13小于2010級的0.14，說明了2010級學生間成績波動較大，而比較2009級和2010級的a1符號可以看到，這些波動是由于2010級整體學生成績提高造成的，尤其是入學成績較差的學生考試成績的提高，也表明2010級學習風氣較好及專業英語課程通過努力學習提高較容易。

3.2 專業應用課程實證分析

專業課程的實證包括了不同專業的兩門課程：測繪工程專業選擇了2012級1班和2班的地圖學課程，兩個班全部學生都參加了考試，考試的人數分別為1班40人、2班36人；勘查工程專業選擇了2015級1班的測量學課程，全班34人的考試成績進行實證，實驗結果見表3。

表3 12級地圖學和15級測量學考試成績擬合結果
Tab.3FittingresultsofCartographyscoresfromclass2012andSurveyscoresfromclass2015

班級擬合函數擬合均值/分平均成績/分FF/N1201yN=ln(NT+2-0.08? N)? 17.2182.566.60.91.31202yN=ln(NT+2-0.02? N)? 19.5572.270.90.81.11501yN=ln(NT+2+0.47?N)? 17.4761.866.10.60.9

由表3可以看出，地圖學成績加權均分模型的FPRV略大于NPRV，而測量學考試成績則相反；比較1201班和1202班的基臺系數a2可以看到， 1班基臺值小于2班的，因此1班學習狀況較2班的差，且入學基礎水平影響系數a1兩者都為負數，但1班的絕對值大于2班的，說明成績較差的學生學習更不努力。勘查1501班有正a1且平均成績不高，說明了入學成績較好的學生學習不認真，但入學基礎差的小部分學生學習努力。表3加權均分模型系數a1與表1呈現相同的規律：a1小于0時擬合均值較高，表3同屬于大二時開設的專業課，由于與地圖學相比，測量學課程基礎理論知識較簡單，受入學基礎成績影響較小，入學成績較差的學生只要認真學習極易反超入學成績較好的學生，而入學成績好的學生不認真學習時成績下滑厲害，但入學成績差的學生由于基礎知識水平的限制，提高遠不能抵償下滑的成績，而出現班級平均分不高的狀況。

對比擬合FPRV與正態分布的NPRV關系圖(見圖5)，可以看出FPRV在NPRV直線上下波動，由此可得兩者近似相等。通過比較開課的年級對考試成績的影響(見圖6)，2008級、2009級和2010級開課的年級都是大學四年級，學生的學習狀態較為穩定，FPRV與NPRV的差值比大二選課的2012級、2015級的小，同時從圖5上可以看到FPRV和NPRV在數值、變化趨勢上都有很好的一致性和顯著的相關性(皮爾遜相關系數為0.975，顯著性p=0.000<0.01)。通過k均值聚類分析的結果也可以得到類似的結論，大四學生(2008級、2009級和2010級)分為一類，大二學生分為一類，而勘查2015級也由于基礎較差被分到大四的類別中，之后對聚類結果的類別間距進行方差分析，方差分析表明，類別間距差異的概率值為0.004<0.01，即聚類效果好。也說明了加權均分模型與NPRV在大部分情況下擬合效果較好，但在個別課程上差異較大。

圖5 考試成績擬合FPRV與正態分布NPRV對比圖Fig.5 Comparison diagram between FPRV and NPRV

圖6 考試成績擬合均值與FPRV關系圖Fig. 6 Relationship between fitting mean and FPRV of class examination results

4 結論

結合學生的期末成績、選課情況、開課學期以及入學成績，本文發現加權均分模型與正態分布模型在FPRV和NPRV方面有很好的一致性，同時開課學期對考試成績有一定影響。在大四考研學期開設的課程中，與考研科目相關的(如專業英語)課程考試成績平均成績較高，而且也出現加權均分模型a1大于0，說明班級成績整體提高，入學成績差的學生提高更多；反之開設課程與考研內容相關不大時，則會出現考研對該門課程的負向影響，這時學生學習精力被考研分散，入學基礎水平成為影響考試成績的主導因素。由此可以得出結論：

1)在大四考研的學期內盡量安排與考研相關的專業課程，這不但可以提高學生學習的積極性，而且專業課的效率也能有較大的提高。

2)在大二階段安排課程時需要考慮學生的基礎水平、對課程的認識程度與專業的相關度等因素。

3)比較大四和大二階段的平均分可以看到：大四階段學生由于考研、找工作等因素對學習的影響，平均成績較低，因此課程盡量少設置在該階段。