基于問題驅動，構建簡約質樸的數學教學
——以《三角函數的周期性》的教學實錄為例

☉江蘇省溧水高級中學 李寬珍

一、問題的提出

《普通高中數學課程標準》指出：“高中數學課程應努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質”，還指出：“數學課程要通過學生的自主探索活動，使學生理解數學概念、結論逐步形成的過程，體會蘊含在其中的數學思想，遵循數學發展的歷史足跡，把數學的學術形態轉化為學生易于接受的教育形態”.新課標的總目標在原來“提高數學的提出、分析和解決問題的能力”上還增加了一條“發現問題的能力”，并且整體上升到問題解決“四能”的層面.問題解決的過程是培養學生能力、發展數學學科核心素養的過程.為了使基于問題的“四能”培育能有效落實到課堂教學的各個環節，并能在潛移默化中提升學生的核心素養，本文僅以三角函數的周期性教學為載體，談談問題驅動在課堂教學中的浸潤深化，以期管中窺豹、拋磚引玉.

二、學情分析

《三角函數的周期性》是蘇教版教材必修4第一章第三節的內容，主要是理解周期函數的概念，認識周期性的作用并會求正、余弦函數的周期，并能根據周期函數的定義進行簡單的拓展運用.在知識體系中本節起著承上啟下的作用，一是因為在學習本章之前已經學習了任意角的三角函數和誘導公式；二是由于基于本節之后的三角函數的圖像與性質的學習，因此周期性的作用為三角函數的作圖埋下伏筆.從這個意義上說，三角函數的周期性既是已學知識的延續，又是即將學習的知識的基礎.

三、教學片段

環節一——創設情境，引入課題

問題1：請同學們思考以下三個問題，并思考這三個問題有何共同點？

（1）觀察鐘表上的時針、分針、秒針，給我們什么樣的感覺？

（2）每年的秋天，我們都可以觀賞美麗的楓葉，這能給我們什么樣的啟示？

（3）為何我們的課表只列出周一到周五的課程？

生1：問題（1）中鐘表上的時針、分針、秒針感覺是一圈又一圈地轉，周而復始；問題（2）中每到秋天就可以觀賞楓葉，也是四季輪回；在問題（3）中，因為每周一到周五的課程表都是一樣的，所以只需列出周一到周五，下一周就是循環了.三個問題都是體現了一種周而復始的現象.

師：很好！我們把這種現象叫做周期現象.在日常生活中還有哪些周而復始的現象？請舉例.

學生舉例生日、屬相等.

問題2：在數學中，我們稱具有這種性質的函數具有周期性，你能舉出學過的周期函數嗎？為什么？

生2：剛學過的三角函數，例如正弦函數、余弦函數或正切函數都是周期函數.可從誘導公式加以解釋.

設計意圖：列舉生活現象，引導學生從實際生活出發，體會周期性；列舉周期函數，讓學生再回到數學中體會這種性質，用數學化的式子刻畫數學本質.由于學生剛學過三角函數，通過三角函數的圖像和性質，學生不難發現函數中的這種性質.實現從自然現象到數學現象的遷移，有利于學生獲取心理邏輯的自然.

環節二——學生活動，概念生成

問題3：三角函數具有怎樣的周期性？能否具體說明？

生3：學過的正弦函數、余弦函數都是周期函數，例如：sin（2π+α）=sinα.

追問1：還可以怎么解釋三角函數的周期性？

生4：還可以在單位圓中用三角函數線研究正弦、余弦函數值，即：

每當角α 增加或減少2π，所得角的終邊與原來角的終邊相同，故兩角的正弦、余弦函數值也分別相同，即有：

sin（2π+α）=sinα，cos（2π+α）=cosα.

追問2：上述等式對任意的角α 都成立嗎？

生4：由誘導公式可知，對任意角α 都成立.

圖1

設計意圖：雖然學生很容易想到三角函數的周期性，但是從學生的認知心理看，要描述周期函數的特征還是有一定難度的，因此充分利用三角函數這個載體，從單位圓入手展開對三角函數的研究，通過角的終邊在旋轉變化過程中函數值的變化，一方面，引導學生觀察三角函數的周期性；另一方面，能將單位圓的運用發揮到極致.

師：正弦函數、余弦函數所具有的這種性質稱為周期性.一般用T 表示函數的周期.能否用統一的式子表示這兩個式子？

生5：記f（x+2π）=f（x）.

問題4：你能用數學符號描述這種周期性嗎？是不是只有三角函數才有周期性？如果不是，一般函數的周期性怎么用數學符號刻畫？

在此期間學生自主思考，小組討論交流，教師來回巡查，督促或指導學生討論的進展情況，或參與個別小組討論，最后選出幾個比較有代表性的小組展示成果，并與大家一起分享研討成果和困惑，并嘗試利用班級力量解決其中的困惑.

生6：T非零，而且x在定義域中，x+T也必須要在定義域中.

生7：上述式子可以統一寫成f（x+T）=f（x）.

師：為何要規定周期非零？T 可以為負值嗎？T 為正值或負值有什么區別？

生8：若T 不規定非零，那么任何函數均為周期函數了.T 無論正負，只要滿足x 在定義域中，x+T 也必須在定義域中就可以了，要保證函數有意義.

生9（迫不及待地補充）：T 為負值時，函數圖像就分布在x 軸的左邊，通俗的說，周期函數就是指定義域內每一個值加上固定的值（不為0）后函數值不變.

師：理解得很到位！這樣我們就得到了周期函數的概念.

設計意圖：基于學生已有的知識儲備，由自然現象過渡到數學中的周期性，再通過研究單位圓從中提煉周期函數隨自變量變化的規律.通過學生自主探究，自主交流，激發了學生的學習欲望.

環節三——本真探究，建構數學

師：這樣我們就得到了周期函數及周期的概念：

一般地，對于函數f（x），如果存在一個非零的常數T，使得定義域內的每一個值x，滿足f（x+T）=f（x），那么函數f（x）就叫做周期函數，非零常數T 叫做這個函數的周期.

師：下面我們解決幾道辨析題：判斷下面說法是否正確，并說明理由.

（2）4π 是正弦函數y=sinx 的周期嗎？說明理由.6π，-2π 呢？

設計意圖：幾個辨析概念的例子從反例出發，緊扣定義的核心要素，引導學生不斷用定義進行辨析、理解，檢驗結論的正確性，加強學生對概念的鞏固.

問題5：若函數f（x）是一個周期函數，T 為該函數的一個周期，該函數還有其他周期嗎？請寫出幾個，并說明理由.

生11：若函數f（x）是一個周期函數，T 為該函數的一個周期，則T 的非零整數倍都是函數的周期.

追問1：周期有無數多個，最有代表性的是哪一個？我們研究什么樣的周期比較合理、科學？

生12：最小正周期！

追問2：如何理解最小正周期？

幾何畫板演示正弦線在旋轉一周后回到原點！同時引導學生觀察、發現余弦函數、正切函數的最小正周期分別是2π 和π.

追問3：是否任何周期函數均有最小正周期？

生13：不一定，例如f（x）=1，x∈R，沒有最小正周期！

設計意圖：本片斷中，通過對幾個問題的拓展，延伸了學生的思維，指向性明確，便于引導學生發現問題的本質，通過一系列問題的探究，對概念中的要素進行辨析，便于更好地掌握概念.因此，在問題解決的過程中滲透數學思想方法，這是概念教學設計的一般途徑，也是數學教學的主題.

環節四——數學應用，深化概念

例1若鐘擺的高度h（mm）與時間t（s）之間的函數關系如圖2 所示：

（1）求該函數的周期；

（2）求t=10s 時鐘擺的高度.t=100s 呢？

圖2

這是書上例題，根據周期函數的圖像解決問題，學生不難解答，為了學生能更好地掌握，筆者將此題做了一點改動，即已知周期函數，能否根據某區間上的圖像畫出整個定義域上的圖像？

變式1：函數f（x）=x2是周期函數嗎？

變式2：已知函數f（x）是一個周期函數，周期為2，并且f（x）=x2，x∈［0，2］，你能否畫出整個定義域上的圖像？

問題6：周期函數的圖像具有什么特征？

生14：周而復始，連綿不斷！

追問：我們為何要研究周期函數？（學生茫然）

師：那大家回憶下我們為何要研究函數的奇偶性？

生15：畫函數圖像時只要畫一半，即減少了研究的范圍！

師：很好！研究函數周期性也一樣，只要我們研究一個周期上的性質即可.

設計意圖：通過類比引入周期函數研究的必要性，不但可以加強知識間的聯系，而且有效突破難點，促進學生對新知識的理解，是一種行之有效的教學方式.問題“函數f（x）=x2是周期函數嗎？”短小精悍，基于學生的盲點，引導學生對函數周期性的概念進一步辨析和理解，理清了學生對周期性概念的錯誤認識，起到鞏固與深化的作用，從而激發了學生的學習成就感，課堂效果非常好.

例2求函數f（x）=cos2x 的周期.

展示學生的解法：設函數周期為T，則f（x+T）=f（x），即cos2（x+T）=cos2x 對任意實數x 都成立，即cos（2x+2T）=cos2x 對任意實數x 都成立.

令2x=u，則cos（u+2T）=cosu 對任意實數u 恒成立.

又y=cosu 的周期為2π，所以2T=2π，可得周期T=π.

變式：求函數的周期.

問題7：你能總結出形如函數y=Asin（ωx+φ）及y=Acos（ωx+φ）（其中A，ω，φ 為常數，且A≠0，ω＞0）的周期為多少嗎？函數y=Atan（ωx+φ）（其中A，ω，φ 為常數，且A≠0，ω＞0）的周期呢？

請填空——三角函數的周期公式：

①一般地，函數y=Asin（ωx+φ）及y=Acos（ωx+φ）（其中A，ω，φ 為常數，且A≠0，ω＞0）的周期為T=______.

②一般地，函數y=Atan（ωx+φ）（其中A，ω，φ為常數，且A≠0，ω＞0）的周期為T=______.

設計意圖：將三角函數的周期公式以填空的形式給出，讓學生再次鞏固新學的公式.

環節五——課堂小結，提煉升化

師：通過今天的學習，你有哪些收獲？

生16：知識上：①周期函數的概念，最小正周期；②三角函數的周期公式.

方法上：換元法，數形結合的思想，由特殊到一般的思想.

四、教學思考

本節課的總體思路是通過對生活中周期現象的認識及數學中周期函數的把握這兩種不同角度的認識，引導學生將“周而復始”數學化、形式化，有效突破了難點.辨析問題、例題解析及問題拓展讓學生從不同角度認識周期性的變化規律，從表到里，進一步體會“周期函數”的內涵.

1.問題驅動，追求教學的自然合理

一堂好課必然會激發學生的求知欲，而問題是實現這個目標的催化劑.本節課運用一系列的問題，將函數周期性的重點、難點用問題呈現，引導學生積極思考、主動交流，能清楚有效地表達自己的觀點，形成自己的理解力.例如，本案例中例1 的教學，通過兩個變式的追問和問題6 的設置，凸顯了編者的意圖，如周期函數的圖像特征是怎樣的？為后面的“借圖識性”作了鋪墊.而例2的教學，通過變式和問題7 的設置，讓學生更加深刻地理解周期函數的內涵.同時與例1 呼應.

2.簡約質樸，順應學生的思維方式

課堂上每一個問題的提出，都是學生思維活動的開始，教師只需當好引導者，適時點撥、啟發、指導.例如，本節課的引入立足于生活中常見的現象，力求樸實自然；接著過渡到數學中學過的周期函數，在學生的最近發展區內，學生根據已有知識經驗能粗略概括出概念，同時，類比函數奇偶性的性質來幫助學生突破難點.一連串的問題設置使得整個教學流程自然合理，順應學生的思維方式.

3.注重探究，培養學生的核心素養

波利亞說：“學習東西最好的途徑是親自去發現它，最富有成效的學習是自己去探索、去發現.”《新課標》指出：“普通高中數學課程應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數學的方式，應力求通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數學發現和創造的歷程，發展他們的創新意識.”本課例中通過對單位圓中三角函數線的觀察、探究感受并識別函數的周期性；通過與函數奇偶性的類比，探究得到函數周期性的定義.通過學生觀察、分析、對比，在探究中加深了對數學本質的理解.