“任意角的三角函數”概念教學的分析與建議

☉江蘇省南京市秦淮中學 孫幫蘭

“任意角的三角函數”是高中數學的教學內容，其概念也是高中數學需要掌握的核心概念之一，學習和掌握任意角的三角函數對于后續三角函數關系的推導、三角函數圖像和性質的研究有著重要的影響，同時也是學習參數方程、平面向量等知識的基礎，因此該章節的知識內容具有極高的承接性，下面開展教學探討.

一、合理引入問題，把握知識生成點

“任意角的三角函數”內容是對初中數學銳角三角函數相關知識的深度拓展，因此課堂教學開展應以學生已掌握的直角三角形邊長比值、銳角三角函數作為起點，通過概念的同化及知識的衍生來完成構建.在課堂教學伊始十分有必要引導學生回顧已學知識，充分喚醒學生的知識記憶，利用學生熟悉的數學知識完成教學的過渡.

利用銳角三角函數知識開展教學引入，可以進行如下設置：首先讓學生回憶初中階段學習的特殊角的三角函數值，例如30°、45°、60°的正弦值、余弦值和正切值，然后讓學生思考這些角的三角函數值是如何求出的，最后利用幾何畫板繪制出一個銳角α，讓學生思考如何求出sinα、cosα和tanα的近似值，或者讓學生進行小組討論，在白紙上給出相應的計算方案.

圖1

圖2

學生結合已有的知識基礎很容易想到對于銳角α，可以通過作垂線構建直角三角形的方式來完成，而，如圖1所示.此時則需要教師通過啟發設問的方式引導學生進一步思考，并向本節的教學內容靠攏，即思考圖中利用直角三角形邊長比值的方式求三角函數是否與所作圖形上點的位置有關，從而引導學生引入直角坐標系，將點P的位置坐標化.以銳角α的頂點作為坐標原點，以角α一邊所在直線作為x軸，構建如圖2所示的直角坐標系.設點P的坐標為（x，y），其到原點O的距離為r，然后讓學生思考是否可以用點P的坐標來表示角α的三角函數，以及改變點P的位置是否會影響角α的三角函數值.

利用直角坐標系很容易引導學生完成對角α的三角函數關系的構建，同時深刻理解銳角固定時，三角函數值與角終邊上點的位置無關，只與終邊上點的坐標比值有關.而在后續的教學中需要教師引入函數的概念，使學生充分認識到對于sinα，可將其視為一個函數，而自變量就為角α，函數值即為因變量.同時需要引導學生關注銳角三角函數的定義域，即α的取值范圍為，并讓學生關注角的表示方法，可以直接使用角度，也可以使用弧度制，掌握兩者之間的換算方法.必要時可以采用列表對應的方式，從函數定義的角度來定義銳角三角函數，進而完成課堂教學的基礎鋪墊.

二、調動學生思考，重視知識本質揭示

從數學概念本身來看，其內容相對來說較為抽象，學生在理解時存在一定的困難，比如，若不能引導學生充分認識概念的本質，學生很容易陷入思維誤區，從而難以達到學以致用的效果，這也違背了中學數學教學理念.因此，在課堂教學中教師需要引導學生參與概念的定義過程，理解概念背后的本質內容.

本節重點是教學任意角的三角函數概念，采用知識推廣拓展的方式，使其更有利于學生理解知識的本質內涵，即在銳角三角函數的基礎上生成新的概念，讓學生理解銳角只是任意角的一個特例，任意角的三角函數是銳角三角函數的進一步推廣.教學中可以采用象限變換、角邊旋轉的方式，即首先讓學生思考角α為銳角時其終邊OP所在的象限，然后進一步思考若終邊OP不再位于第一象限時應如何定義角α和sinα，同時思考角的終邊OP 在坐標系中旋轉的范圍及角α 的取值范圍，如圖3 所示.該過程中學生通過思考會發現無法用求解銳角三角函數的方式來構建任意角的三角函數.此時需要教師引導學生關注之前構建直角坐標系的方法，體會運用坐標定義三角函數的合理性，同樣在分析任意角時利用直角坐標系，進而引入單位圓，如圖4所示.利用單位圓的特殊性及點P的坐標，采用類比的方式來獲得角α對應的三角函數：sinα=y，cosα=x，tanα=，從而完成對任意角的三角函數定義：一般地，對于任意角α，角α終邊上的任意一點P 的坐標為（x，y），它到原點O 的距離為r（r=＞0），那么就存在如下關系……

圖3

圖4

外推概念是與原概念或原理相一致的問題，因此必然具有同樣的合理性，教學中教師應適度把握概念外推，從而可以有效地完成對新知的定義.同時在教學過程中讓學生主動參與、積極思考，分析任意角的三角函數定義的合理性，強化學生理解新知，發展學生思維.需要注意的是：學生在參與概念定義的過程中要合理安排思考內容，充分利用直觀圖形道具，使知識的推廣過程動態化.

三、應用深化概念，注重思維水平的發展

對概念的深化理解是概念教學過程中十分重要的環節，在該環節中需要幫助學生內化吸收概念，使學生能夠應用概念來解決相應的問題.而深化概念較為有效的方式是對概念的簡單應用.對于任意角的三角函數內容，在概念定義完成后可以采用特殊角及變式計算結合的方式.

在應用概念計算之前有必要重申任意角α的取值范圍，即α∈（0，2π），然后選取一些較為特殊的角，讓學生計算對應的三角函數值，并交流計算的方法和過程，例如特殊角，并完成表1的填寫.

表1 任意特殊角的三角函數

學生在計算特殊角的三角函數值時可能會出現直接使用計算器的情況，而忽視了上述生成的概念.雖然計算器也可以獲得對應的答案，但這樣的計算方式是沒有意義的，更不利于概念應用的強化，因此需要教師利用概念生成的過程重構特殊角的模型，然后按照如下思路引導學生解題：先求出角的終邊與單位圓的交點坐標，再根據定義來完成角對應的三角函數的構建和計算.以這樣的方式實現任意角的三角函數計算的算法化和程序化，從而降低三角函數問題求解的思維難度.

在完成特殊角計算后可以進一步給出任意角的三角函數計算的變式問題，即不再給出角α的具體大小，而是定義角α終邊上經過一點的坐標或終邊所在直線的解析式，然后讓學生利用上述生成的程序化算法計算角α對應的三角函數值，例如給出如下問題.

變式問題1：已知角α的終邊經過點P，點P的坐標為（2a，3a）（a＞0），試求角α的三角函數值.

變式問題2：已知角α的終邊與直線y=3x重合，試求角α的三角函數值.

顯然上述問題與直接給出特殊角來求三角函數值的問題不同，但學生利用總結的算法很容易找到解決問題的思路，這樣的變式有利于培養學生思維的靈活性.而在求解變式問題1時，在教學過程中可以引導學生思考如下問題：若沒有限定參數a的符號，又該如何計算呢？教學時可以引導學生采用如下思路來分析：分類討論a的符號→確定點P所在的象限→構建求解角α的模型→轉化三角函數式.采用分類討論設問的方式不僅可以幫助學生掌握分類討論的解題方法，同時還可以提升學生思維的邏輯性和嚴密性，而思維雙重特性的提升對于發展學生的數學思維是十分有利的.

總之，對于“任意角的三角函數”概念教學，需要教師尊重學生的認知水平，關注知識的衍生過程，合理設置預設；在定義概念時，需要教師設置具有啟發性的問題，充分調動學生參與思考，體會概念生成的過程；采用應用強化、思想滲透的方式幫助學生內化概念，發展學生的思維，使學生獲得知識和能力的雙重提高.