立足知識構建，突出素養提升
——以解析幾何復習為例

☉江蘇省如皋市搬經中學 季小明

解析幾何是高考考查的熱點，也是高中數學的重點，學得困難、練得痛苦，這是解析幾何學習的現狀.找準復習的目標，構建知識體系、提升數學素養，是高三復習的重中之重.那么，如何構建知識體系，是高三復習的首要任務，解析幾何從代數角度如何優化計算，從幾何角度如何等價轉換都是知識體系梳理和構建不可或缺的環節.提升學生的幾何素養，也是高中數學學習的關鍵任務，從而架起學生從抽象的代數到直觀的幾何之間的橋梁.這就是高三解析幾何復習課的生態：構建知識，提升素養.

我們從一道江蘇高考題來尋找高三解析幾何復習的知識構建和素養提升的突破口.

一、真題再現

例1（2018 年江蘇卷12 題）在平面直角坐標系xOy中，A 為直線l：y=2x 上在第一象限內的點，B（5，0），以AB為直徑的圓C 與直線l 交于另一點D.若，則點A 的橫坐標為______.

思路分析2：由，得△ABD 為等腰三角形，再由直徑所對圓周角為直角，得△ABD 為等腰直角三角形.故垂直且模相等.設A（a，2a），D（d，2d），其中a＞0，且d≠a，有解得或（a＜0，舍去）.所以a=3.

解后反思：思路1 利用直線與圓聯立方程組，通過代數法求解；思路2 分析幾何圖形的性質，對條件進行轉化、優化，然后借助向量求解.兩種方法從不同角度考查了學生對解析幾何常見處理方法的熟練程度，也為高三復習指明了方向.

二、模擬題再思考

例2（2019 年蘇州期初調研14 題）已知圓C 的方程為（x-3）2+（y-2）2=r2（r＞0），若直線3x+y=3 上存在一點P，在圓C 上總存在不同的兩點M，N，使得M 是線段PN的中點，則圓C 的半徑r 的取值范圍是______.

解法1：設點P（m，n），N（x，y），則將M，N 分別代入圓C 的方程得

因為這個關于x，y的方程組有解，即以（3，2）為圓心，r為半徑的圓與以（6-m，4-n）為圓心，2r為半徑的圓有公共點，所以（2r-r）2≤（3-6+m）2+（2-4+n）2≤（2r+r）2.

又3m+n=3，所以r2≤10m2-12m+10≤9r2有解，得9r2≥

解法2：如圖1，連接PC 并延長，依次交圓于點E，F，由切割線定理，知PE·PF=PM·PN.而PE=PC-r，PF=PC+r，所以有PC2-r2=PM·PN.又M 是線段PN 的中點，所以PC2-r2=2MN2.

圖1

M，N 是圓上的任意兩點，則0＜MN≤2r，即0＜PC2-r2≤8r2.設P（x，y），得0＜（x-3）2+（y-2）2-r2≤8r2，即r2＜（x-3）2+（y-2）2≤9r2.點P 既在這個圓環內，又在直線3x+y-3=0 上，所以直線與圓有交點，則，解得

如果說將“仙臺神話”揭示出來會損害其意義，那么我們首先就應當詢問：究竟什么是這一神話的意義？作為神話的源頭，魯迅的文本自有其意義。但這些文本的意義是否能夠代表圍繞這些文本所進行的所有文化生產的意義？連篇累牘的復述、重寫等行為有沒有創造出屬于自己的價值？

解法3：如圖2，取M，N 的中點D，連接CD，CM，CP，設CD=d，MD=x，則PM=2x，CM=r，且CD⊥MN.

圖2

三、解析幾何復習再分析

高考復習最忌諱的就是知識體系構建不完整、能力提升不徹底，但又不能僅是表象地講授知識概念，抽象地談數學素養，而應該通過高考真題和經典的模擬題來實現高考復習的預期目標.因為數學知識的構建往往是通過典型例題的分析和研究來梳理，而數學素養也常在解題過程的梳理中不斷提到提升.

1.立足知識構建

解析幾何存在的問題是把條件中的數和形孤立思考，從而形不成完整的知識體系，導致在思考時總是單線思維，不能全方位、多角度地分析問題.所以復習解析幾何要用兩條腿走路，數形結合，缺一不可.

（1）見形找數，增強問題的邏輯性.

代數法的訓練看似入口寬松，但往往深陷其中，所以解析幾何中蘊藏的復習價值是不可多得的機遇.首先，每一個代數式所表達的含義要進一步挖掘，找準式子背后的邏輯關系是重點；其次，簡化和優化計算過程要進一步研究，積累計算經驗、掌握計算技巧是難點.

代數是幾何圖形最精確的體現，計算能力也是高中數學學習的重要指標，我們要培養學生的算理分析，優化運算流程.

（2）以數化形，尋找轉化的直觀性.

直觀的幾何圖形、關鍵的幾何性質能快速地反饋為代數關系，再進行必要的等價轉化，就能突破解題的瓶頸.圖形是代數最直觀的轉化，只要對圖形進行深入的分析，對已知條件進行到位的剖析，就能揭示問題的本質，將有關數字信息進行有效的轉化，從而簡化運算.

2.突出素養提升

素養的提升不能只掛在嘴上，而要滲透到平時的課堂教學中去.解析幾何所培養的直觀想象、數學運算這兩大核心素養都是數學學習的基本功，是解決問題的工具.我們不僅要通過復習讓學生掌握這些知識工具，更要讓他們在學習中內化為自身的能力，學會發現問題、總結問題，并利用所學知識去解決新問題.所以，我們在高考復習中要緊緊抓住素養提升的三個關鍵詞.

（1）說數學.

說數學，一方面，教師課堂開辟時間讓學生說，這既能暴露學生對基礎知識的掌握程度，又能反饋知識網絡構建的狀況，更便于教師了解問題發生的根源；另一方面，學習小組內主動幫扶講解給同學聽，能夠加深對知識的理解，也能說出思維的發展過程，是對解題的再思考，有利于自身的突破和同學的理解接受.高效的復習應是眼到、口到、手到、心到，如果課堂不給學生開口的機會，那我們將缺少發現問題的機會，也將使整個課堂顯得沉悶低效，所以我校的“學習中心課堂”就是要打開學習中心課堂的快速通道，還給學習中心課堂的發展空間，搭建學習中心課堂的交流平臺.

（2）做數學.

做數學，就是精確地、清晰地、規范地寫好每一題的解答過程，既追求速度，也追求正確率，確保會做的題拿滿分.這就需要課堂教學留白，有些是教師所不能代勞的，特別是計算，只有學生親身體驗，才能發現問題、積累經驗.另外，學生的成功來源于教師的正確指導和標準示范，因此，教師要特別重視集體備課之后的二次備課，精準做題，真正做到引領到位、率先垂范.

（3）寫數學.

寫數學，一寫“思維導圖”，二寫“錯悟本”，三寫“數學小日記”.著名數學家弗賴登塔爾指出：“必須教學生學會反思，只有這樣，才能使學生意識到自身行為后面潛藏的實質.”“思維導圖”是實用的思維工具，它可以讓我們清晰地分析每道題的解決方向，不斷試探，有較強的靈活性；“錯悟本”是學生糾錯的必備工具，感悟是高效反思的關鍵；“數學小日記”是數學素養提升、能力提高的優秀平臺，不僅可以提高分析問題、解決問題的能力，更會培養發現問題、研究問題的能力.

高三不是學習的終點，而應該是成長的新起點.高三復習中，我們不僅要重視知識的學習，也要重視素養的提升，從而真正實現數學教學的育人目標.