奇思妙想靈轉(zhuǎn)化，三角求值多思維
——2019年江蘇卷第13題

☉湖南省長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 陳志廣

三角函數(shù)的求值問題是每年高考中三角函數(shù)部分的常考問題之一，有時(shí)單獨(dú)考查直接求值，有時(shí)與相關(guān)知識(shí)交匯考查輔助求值，有時(shí)作為一種工具過渡求值，變化多端、形式各樣、常考常新，是規(guī)律不定的一類問題.三角函數(shù)的求值問題的切入點(diǎn)眾多，解法上具有多樣性，同時(shí)對(duì)邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力要求比較高，是考查綜合能力和全面素養(yǎng)的良好載體，也是考查學(xué)生知識(shí)的掌握程度，以及思維的靈活性、多樣性、拓展性的良好場(chǎng)所.

一、真題在線

【高考真題】（2019 年江蘇卷13）已知，則的值為______.

二、多解思維

思維角度1.倍角公式轉(zhuǎn)化法

思維角度2.萬能公式轉(zhuǎn)化法

方法2：（萬能公式法）由于，整理得3tan2α-5tanα-2=0，解得tanα=或tanα=2.

點(diǎn)評(píng)：萬能公式作為三角恒等變換中的輔助性公式，在解決一些三角函數(shù)求值問題時(shí)往往會(huì)起到“奇兵”的作用，可以非常有效地破解一些相關(guān)問題.這里結(jié)合條件可得到有關(guān)tanα的值或關(guān)系式，從而萬能公式的利用就水到渠成.

思維角度3.整體代換應(yīng)用法

思維角度4：平面幾何法

圖1

三、規(guī)律總結(jié)

三角函數(shù)求值時(shí)，由于三角函數(shù)中的相關(guān)公式較多，關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，其有利的一面是可以多角度、多層面選擇三角公式加以應(yīng)用，其不利的一面是容易陷入三角函數(shù)公式無從選擇的困境.因而，在進(jìn)行三角函數(shù)求值時(shí)，除了要熟練掌握基本的常規(guī)方法，還要有針對(duì)性地對(duì)一些相關(guān)的其他方法有一定程度的理解，以備不時(shí)之需.