思維如此活躍，橢圓如此巧妙
——2019年全國卷Ⅰ解幾題

☉山東省淄博實驗中學(xué) 劉海峰

橢圓作為解析幾何中的基本曲線，可以從解析幾何角度切入，還可以從平面幾何角度切入，其涉及解析幾何知識、平面幾何知識、平面向量知識、解三角形知識，以及三角函數(shù)、函數(shù)、不等式等相關(guān)知識，是新課標(biāo)大綱中充分體現(xiàn)在“知識點交匯處”命題的一大主陣地.由于其變化多端，形式多樣，創(chuàng)新點多，難度適中，而且破解的思維方式多樣，切入點靈活，成為歷年高考、自主招生、各類競賽命題中的基本考點和熱點之一.

一、真題在線

【高考真題】（2019年全國卷Ⅰ理10；文12）已知橢圓C的焦點F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），過F2的直線與C交于A，B兩點.若|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，則C的方程為（ ）.

本題給出橢圓的焦點坐標(biāo)，利用焦點弦的比例關(guān)系及相關(guān)線段的長度關(guān)系來確定焦點弦的準(zhǔn)確信息，進(jìn)而求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.通過題目條件，把對應(yīng)線段的長度關(guān)系加以合理轉(zhuǎn)化，借助相應(yīng)的知識與相關(guān)的方法加以破解.

二、一題多解

思維角度1.解三角形法

結(jié)合橢圓的相關(guān)知識，利用其中所構(gòu)成的三角形的邊與角的關(guān)系，結(jié)合三角形中的余弦定理加以過渡與轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到綜合應(yīng)用的目的.

方法1：（余弦定理法1）由橢圓C的焦點F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），可知c=1.

由于|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，所以設(shè)|BF2|=m，則|AF2|=2m，|BF1|=|AB|=3m.

根據(jù)橢圓的定義可知2a=|BF1|+|BF2|=3m+m=4m，得a=2m.

所以|AF1|=2a-|AF2|=4m-2m=2m.

圖1

在△AF1B 中，由余弦定理可得cos ∠F1AB=

在△AF1F2中，由余弦定理可得4=4m2+4m2-2×2m×2m×，解得m=

答案：B.

方法2：（余弦定理法2）由橢圓C的焦點F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），可知c=1.

由于|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，所以設(shè)|BF2|=m，則|AF2|=2m，|BF1|=|AB|=3m.

根據(jù)橢圓的定義可知2a=|BF1|+|BF2|=3m+m=4m，得a=2m.

所以|AF1|=2a-|AF2|=4m-2m=2m.

在△AF1B 中，由余弦定理可得cos ∠F1BA=

在△BF1F2中，由余弦定理可得4=9m2+m2-2×3m×m×，解得m=.

答案：B.

方法3：（余弦定理法3）由橢圓C的焦點F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），可知c=1.

由于|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，所以設(shè)|BF2|=m，則|AF2|=2m，|BF1|=|AB|=3m.

根據(jù)橢圓的定義可知2a=|BF1|+|BF2|=3m+m=4m，得a=2m.

所以|AF1|=2a-|AF2|=4m-2m=2m.

設(shè)∠AF2F1=θ，在△AF1F2和△BF1F2中，由余弦定理得，整理可得，解得m=

答案：B.

思維角度2.平面幾何法

結(jié)合橢圓的相關(guān)知識，利用其中所構(gòu)成的三角形的邊與角的關(guān)系，通過三角形相似、角平分線定理等平面幾何知識加以過渡與轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到綜合應(yīng)用的目的.

方法4：（相似比例法）由橢圓C的焦點F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），可知c=1.

由于|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，所以設(shè)|BF2|=m，則|AF2|=2m，|BF1|=|AB|=3m.

根據(jù)橢圓的定義可知2a=|BF1|+|BF2|=3m+m=4m，得a=2m.

所以|AF1|=2a-|AF2|=4m-2m=2m=|AF2|，可知A（0，b）（不失一般性，取A為上頂點）.

所以b2=a2-c2=2.所以橢圓C的方程為

答案：B.

方法5：（角平分線性質(zhì)法）由橢圓C的焦點F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），可知c=1.

由于|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，所以設(shè)|BF2|=m，則|AF2|=2m，|BF1|=|AB|=3m.

根據(jù)橢圓的定義可知2a=|BF1|+|BF2|=3m+m=4m，得a=2m.

所以|AF1|=2a-|AF2|=4m-2m=2m=|AF2|，可知A（0，b）（不失一般性，取A為上頂點）.

如圖2，取AF1的中點H，連接BH交x軸于點E，則知BH⊥AF1，且BH平分∠ABF1.

結(jié)合角平分線性質(zhì)可知|EF1|∶|EF2|=|BF1|∶|BF2|=3∶1，可得

圖2

在△AF1O中，cos∠AF1O=，在△HF1E中，cos∠HF1E=，則有，解得a2=3.

所以b2=a2-c2=2.所以橢圓C的方程為=1.

答案：B.

思維角度3.橢圓第二定義法

方法6：（橢圓第二定義+同位角法）由橢圓C的焦點F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），可知c=1.

由于|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，所以設(shè)|BF2|=m，則|AF2|=2m，|BF1|=|AB|=3m.

根據(jù)橢圓的定義可知2a=|BF1|+|BF2|=3m+m=4m，得a=2m.

所以|AF1|=2a-|AF2|=4m-2m=2m=|AF2|，可知A（0，b）（不失一般性，取A為上頂點）.

圖3

由于cos ∠AF2O=，cos ∠BAD=，可得，解得a2=3.

所以b2=a2-c2=2.所以橢圓C的方程為

答案：B.

三、規(guī)律總結(jié)

在處理圓錐曲線的相關(guān)問題中，要合理分析題目條件，轉(zhuǎn)化為代數(shù)法（解析幾何、解三角形等）或幾何法（平面幾何等）來處理，巧妙轉(zhuǎn)化，合理應(yīng)用，爭取達(dá)到“小題小做，小題巧做”，有助于數(shù)學(xué)解題能力與應(yīng)用能力的提高，真正提升綜合能力，拓展數(shù)學(xué)素養(yǎng).