一道雙曲線考題的多解探究

☉福建省莆田第六中學(xué) 祁國(guó)偉

本文擬通過對(duì)一道雙曲線考題的多解探究，旨在激發(fā)同學(xué)們的探究意識(shí)，拓寬解題思維，強(qiáng)化雙曲線與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用能力，以便幫助同學(xué)們理清常用解題思路，進(jìn)一步提高分析、解決此類問題的能力.

【考題再現(xiàn)】（2019 年全國(guó)Ⅰ卷第16 題）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn).若，則C 的離心率為______.

多解探究：如圖1，先畫出適合題意的圖形，因?yàn)椋訟 為F1B 的中點(diǎn).又O 為F1F2的中點(diǎn)，所以O(shè)A 是△BF1F2的中位線.所以O(shè)A∥F2B.又由得F1B⊥F2B，所以可得F1B⊥OA.

圖1

解法一：因?yàn)辄c(diǎn)F1（-c，0）到直線的距離，又|OF1|=c，所以

答案：2.

解法二：同解法一先求得|AF1|=b，|OA|=a.于是，直線BF1的方程為，又直線OB 的方程為，所以聯(lián)立可求得點(diǎn)B 的縱坐標(biāo)為

因?yàn)橐字獆BF1|=2b，|BF2|=2a，|F1F2|=2c，所以Rt△BF1F2斜邊上的高為

答案：2.

解法三：因?yàn)辄c(diǎn)B 在漸近線上，所以可設(shè)點(diǎn).又F1（-c，0），A 為F1B 的中點(diǎn)，所以點(diǎn)A 的坐標(biāo)為

接下來，給出三種不同的思路.

思路1：因?yàn)辄c(diǎn)，又點(diǎn)F1（-c，0）到直線的距離=b.所以兩邊平方得，整理得c4-8a2c2+16a4=0，兩邊同除以a4得e4-8e2+16=0，即（e2-4）2=0，所以e2=4.

答案：2.

思路2：因?yàn)辄c(diǎn)，所以.所以由，得，化簡(jiǎn)得所以

答案：2.

思路3：因?yàn)辄c(diǎn)，所以由AF1⊥OA 得kAF1·kAO=-1，即，化簡(jiǎn)得所以c=

答案：2.

解法四：因?yàn)锳 為F1B 的中點(diǎn)，又F1B⊥OA，所以O(shè)A 是線段F1B 的中垂線.所以∠F1OA=∠AOB.

又由直線OA，OB 是雙曲線的漸近線可得∠F1OA=∠BOF2，所以∠F1OA=∠AOB=∠BOF2.

又∠F1OA+∠AOB+∠BOF2=π，所以

接下來，給出兩種不同的思路.

思路1：由直線OA 的方程是可得=tan ∠AOF2=，所以.所以c=

答案：2.

思路2：同解法一可求得|AF1|=b，|OA|=a.

于 是，在Rt △F1AO 中，由cos ∠F1OA=，可得，化簡(jiǎn)得c=2a.

答案：2.

解法五：因?yàn)椋渣c(diǎn)B 在以F1F2為直徑的圓x2+y2=c2上.

又A 為F1B 的中點(diǎn)，所以點(diǎn)A 的坐標(biāo)為

答案：2.

評(píng)注：上述解法一、二、三側(cè)重于從“數(shù)”的角度加以研究，顯得整個(gè)解題過程煩瑣一些，運(yùn)算量較大；解法四側(cè)重于從“形”的角度加以研究，充分借助平面幾何知識(shí)及漸近線的圖形特征探究獲得是整個(gè)求解的關(guān)鍵所在；解法五以構(gòu)造圓為切入點(diǎn)，關(guān)鍵是準(zhǔn)確求解點(diǎn)B 的坐標(biāo)，并充分利用點(diǎn)A 的幾何特征（既是線段F1B 的中點(diǎn)，也在漸近線上）.對(duì)比可知，解法四、五比較簡(jiǎn)單，可稱之為“秒殺”法！

以上，呈現(xiàn)了求解雙曲線離心率的五種不同解題方法，它們各有自己的優(yōu)勢(shì)與局限.顯然，多解探究溝通了雙曲線與平面向量、平面幾何、直線及圓等知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，優(yōu)化了考生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)了考生的探究、創(chuàng)新意識(shí)，進(jìn)一步提升了考生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).一言以蔽之，該題設(shè)計(jì)較好，有利于各類考生充分發(fā)揮各自的思維優(yōu)勢(shì)與數(shù)學(xué)潛能，是一道難得的可以有效培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的好題.