數(shù)學解題也需“以退求進”

☉江蘇省宜興中學 郭駿聰

數(shù)學解題，必須講究策略，有退有進.所謂進，即按照題意步步深入，這對較為簡單的題目十分有效，但當你碰到較為復雜的問題時，只想到進可能就會無門可入，這時就要想到退，可謂“退一步，海闊天空”，退回定義、退回原始問題、退回簡單問題，只要把最簡單的問題想通想透，原來的問題就會迎刃而解.“以退求進”是一種好的解題方法，那么究竟怎么“退”呢？

一、從結論向條件“退”

由結論出發(fā)，反推命題成立的條件，這其實就是推理與證明中的分析法.在不等式證明中應用最為廣泛.

例1設a＞b＞0，求證

分析：直接證明結論非常困難，故可從結論入手，尋找使結論成立的充分條件，即采取分析法證明.

點評：對于不等式的證明一般先采用分析法探求思路，再用綜合法書寫.如果當用分析法反推時每一個步驟都是等價的，這時也可以采用分析法書寫，但一定要注意書寫的規(guī)范性.

二、從一般向特殊“退”

一般與特殊既是一對矛盾體，又是一對統(tǒng)一體.從特殊到一般，這是人們認識事物并掌握事物發(fā)展規(guī)律的一般方法，體現(xiàn)了辯證唯物主義矛盾論的觀點.數(shù)學解題也是如此.我們要解決一個一般的問題時，可以從特殊入手，即所謂的特殊值法，從中找出規(guī)律，并用一般的方法加以驗證，這種方法對于某些證明題十分有效.

例2已知方程x2+y2+2（2-cos2θ）x-2（1+sin2θ）y-4cos2θ+2sin2θ+5=0，試證明：無論θ 取何實數(shù)值，該方程所表示的曲線總是經(jīng)過兩個定點P1和P2，并求定點P1和P2的坐標.

分析：已知方程本質(zhì)上是圓系方程，θ 可取特殊值0，得

證明：當x=-1，y=2 時，

x2+y2+2（2-cos2θ）x-2（1+sin2θ）y-4cos2θ+2sin2θ+5

=5-2（2-cos2θ）-4（1+sin2θ）-4cos2θ+2sin2θ+5

=5-4+2cos2θ-4-4sin2θ-4cos2θ+2sin2θ+5

=2-2（cos2θ+sin2θ）=2-2=0.

當x=-2，y=1 時，同理可得：

x2+y2+2（2-cos2θ）x-2（1+sin2θ）y-4cos2θ+2sin2θ+5=0.

故無論θ 取何實數(shù)值，方程所表示的曲線總經(jīng)過兩個定點P1（-1，2），P2（-2，1）.

點評：對于定點、定值問題，一般可采用特殊化法，找到定值或定點，然后加以驗證.

三、從抽象向具體“退”

數(shù)學是從實際問題中抽象出來的，因此解題時可將數(shù)學的抽象性退回到實際問題的“具體性”，從而更能把握住問題的本質(zhì).

例3已知集合A 和集合B 分別有12 個元素，A∩B 中有4 個元素，請求出同時滿足以下兩個條件的集合C的個數(shù)：①CA∪B，并且C中必須含有3個元素；②C∩A≠?.

分析：題意比較抽象，導致理解較困難，所以可將原問題退到一個實際問題，選擇具體的模型來將原題的意思表達出來.

解：假設我班英語興趣小組與體育興趣小組分別有12 人（集合A 與B），其中有4 名學生同時參加了兩個興趣小組（A∩B），現(xiàn)從這些學生中挑選3 人（集合C），來參加一次興趣小組組織的活動，要求至少有1 人是英語小組成員，問：這樣的組團方式有多少種？問題的實質(zhì)未發(fā)生任何變化，但求解思路十分明晰，所以可直接寫出結果如下：

點評：從抽象向具體“退”，就是建立相關的數(shù)學模型，體現(xiàn)了數(shù)學解題的構造思想.由數(shù)思形，挖掘所求問題的幾何意義或?qū)嶋H意義，是從抽象向具體“退”最常見的思維方法.

四、從高維向低維“退”

在幾何問題中，將立體幾何問題“退”成平面幾何來求解，這種從“三維空間”退到“二維平面”上來解的方法，體現(xiàn)了復雜問題簡單化的解題策略.

例4求證：在四面體中連接頂點與對面重心的四條線相交于一點，且此點將每一線段分成3∶1.

分析：從三維向二維后退，讓我們先證明一個相類似的平面幾何題：三角形三條中線交于一點，并且此點把每一條中線都分成2∶1 兩個部分.

圖1

證明：如圖1，設中線BE，AD交于點P，連接DE，則DE∥AB且.連接CP 并延長交AB 于F，則△DEP∽△ABP，故.所以中線EB，AD 交于一點，此點分AD 為2∶1，同理可證CF 與中線AD 交于一點，此點分AD 為2∶1，所以兩個交點是同一點，即AD，BE，CF 交于同一點P，且點P 分AD，BE，CF都為2∶1.

下面給出例4 的證明：

證明：設四面體A-BCD的表面BCD的重心為G1，表面ACD的重心為G2，表面ABD 的重心為G3，表面ABC 的重心為G4，取線段CD的中點M，連接AM 和BM，則G1，G2分別在BM，AM 上，且AG2∶G2M=BG1∶G1M=2∶1，連接AG1，BG2交于點O，又連接G1G2.

因為AG2∶G2M=BG1∶G1M=2∶1，所以G1G2∥AB.

圖2

所以AB∶G1G2=AM∶G2M=3∶1，易證△OG1G2∽△OAB.

所以AO∶OG1=BO∶OG2=AB∶G1G2=3∶1.

同理可得：線段CG3與線段AG1相交于一點，并且此點分線段AG1為3∶1，線段DG4與線段AG1相交于一點，并且此點分線段AG1為3∶1，因此，AG1，BG2，CG3，DG4相交于一點O，且點O 分AG1，BG2，CG3，DG4都為3∶1.

點評：立體幾何的證明方法或策略，可以由相應的平面幾何問題的求解方法中類比獲得，體現(xiàn)了數(shù)學解題的類比思想.

五、從綜合向單一“后退”

綜合題，是考試的重點題型，主要考查考生的綜合能力.任何復雜問題都是由簡單問題組合起來的，面對綜合性問題，我們可將其“瓦解”成幾個單一問題.

例5設函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，對于任意x，y∈R 都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0 時，f（x）＜0，f（1）=-2.試問：當-3≤x≤3 時，f（x）有最值嗎？若有，求出最值；若沒有，試說明理由.

分析：對于函數(shù)綜合題，一般可把整個大問題分解，變成若干個小問題來解.

解：（首先來判斷單調(diào)性）設x1，x2∈R，且x1＜x2，則x2-x1＞0.

由題意可得f（x2-x1）＜0，而f（x2-x1）=f（x2）+f（-x1），又因為f（x）是奇函數(shù)，故f（x2）+f（-x1）=f（x2）-f（x1）＜0，即f（x1）＞f（x2）.故f（x）在實數(shù)集上是單調(diào)遞減函數(shù).

（下面求f（3）的值）因為f（1）=-2，并且對于任何實數(shù)x，y，均有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，故f（2）=f（1）+f（1）=-4，f（3）=f（2）+f（1）=-6.

又由于f（x）是奇函數(shù)，所以f（-3）=-f（3）=6.

綜上可知，當-3≤x≤3時，f（x）有最值，且最大值為f（-3）=6，最小值為f（3）=-6.

點評：本題是最常見的抽象函數(shù)的性質(zhì)證明及應用問題，解答這類綜合性問題需采用“化整為零，各個擊破”的策略.

自古兵法有“欲擒故縱”，而數(shù)學解題有“以退求進”，兩者其實是一個道理.