基于題目特征，合理選擇證明方法

☉江蘇省新海高級中學 陸習曉

數學命題的真假，離不開證明.數學證明的基本方法主要有兩類：直接證明法與間接證明法.數學命題大多用直接證法，當直接證明遇到困難時，就采用間接證法（主要是反證法）.所謂直接證明，就是從已知條件出發，并運用有關定理、定義和性質等加以邏輯推理，以證明結論的真實性；而間接證明剛好與之相反，從命題結論的反面出發，經過嚴格而又正確的推理，推出一個矛盾來，以此說明結論的錯誤性，即原結論的正確性.反證法的原理體現了原命題與它的逆否命題真假的一致性.

一、“由因導果”——綜合法

有些命題，條件與結論之間的關系比較容易發現，推理思路也較為清晰，對于這樣的命題宜采用綜合法，如立體幾何中常見的證明問題、三角恒等式的證明等問題.

根據已知條件，并以有關的定義、公理、定理和性質為理論依據，采用邏輯推理的方法，層層推進，一直推到需證明的結論為止，這就是綜合法.它的一般步驟如下：P0（已知）?P1?P2?…?Q（結論）.在采用綜合法證明時，需注意：要從該命題的前提出發，選定真實無誤且無可爭辯的出發點，再由此依次得出相關的命題與判斷，要求命題與判斷都是真實的，而最后一個命題或判斷必須包含我們需證明的命題的結論，這時命題才算獲證.需指出的是，在證明時并不是一開始就能找到合理的思路，而是要在證明的過程中不斷對每步結論斟酌與推敲、比較與選擇，才能確定合理的思路.而積累解題經驗、掌握基本證法，則有助于我們縮短探尋證明思路的路程.

例1如圖1，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC.設E 是DC 的中點，求證：D1E∥平面A1BD.

證法一：如圖1，連接BE，則四邊形DABE 為正方形.

所以BE=AD=A1D1，且BE∥AD∥A1D1.

所以四邊形A1D1EB 為平行四邊形.

圖1

所以D1E∥A1B.

又D1E?平面A1BD，A1B?平面A1BD，所以D1E∥平面A1BD.

證法二：在圖1中，連接AD1，AE，設AD1∩A1D=G，AE∩BD=F，連接GF，由題意知G 是A1D 的中點.

又E 是CD 的中點，所以四邊形ABED 是正方形，故F 是AE 的中點.所以在△AED1中，GF∥D1E.

又GF?平面A1BD，D1E?平面A1BD，所以D1E∥平面A1BD.

點評：對于綜合法的應用，我們還需注意：①證明方向是否明確，推理過程是否合理與恰當；②在推理過程中，題目中的已知條件是否用上，推理過程是否缺損；③每一步推理得到的結論與判斷是否真實可信.

二、“執果索因”——分析法

當用綜合法證明命題時發生困難，覺得對已知條件不知從何入手，或者題目中給出的條件要么過于單一，要么太復雜煩瑣時，就可換用分析法來證明.如有些不等式的證明往往用分析法十分有效.

那么，什么是分析法？就是從所需證明的結論出發逆推，逐步探尋使它成立的充分條件，最后推出一個恒成立的結論，這個結論可以是已知條件，也可以是相關的定理、定義、公理或公式等，這種證明方法也是三段論的推理形式，它的步驟是：Q（結論）?Q1?Q2?Q3?…?P0（條件或事實）.

對于某些證明問題，并不是一眼就看出應用分析法的，必須對題目的條件與需證明的結論進行分析.對推理過程中的每一步必須逐個考察，逐個思考，逐個分析，逐個判斷，看每一步的逆推能否建立相互之間的等效關系.這樣才可知道每一步的推理是否恰當，從而找到正確的證明思路.

例2設a、b、c為任意三角形的三邊長，I=a+b+c，S=ab+bc+ca，試證：3S≤I2＜4S.

證明：因為I2=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）=a2+b2+c2+2S，

所以要證3S≤I2＜4S，

只需證3S≤a2+b2+c2+2S＜4S，

即S≤a2+b2+c2＜2S（這個結論與要證明的結論是等價的）.

要證上式的左側，即證a2+b2+c2-ab-bc-ca≥0，

即證（a2+b2-2ab）+（b2+c2-2bc）+（c2+a2-2ca）≥0（此式與前一式等價）.

要證上式成立，可證上式三括號中式子都非負（保證結論成立的充分性）.

由于a2+b2-2ab=（a-b）2≥0，b2+c2-2bc=（b-c）2≥0，c2+a2-2ca=（c-a）2≥0，所以結論成立.

欲證上式右側成立，即證a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca＜0，

即證（a2-ab-ac）+（b2-bc-ba）+（c2-ca-cb）＜0.

要證上式成立，可以先證上式三個括號中式子都小于零（保證結論成立的充分性），

即證a2＜ab+ac，b2＜bc+ba，c2＜ca+cb，即a＜b+c，b＜c+a，c＜a+b，顯然它們都成立，理由是“三角形一邊小于其他兩邊的和”.

故有3S≤I2＜4S 成立.

點評：本例源于教材的變式，具有較強的綜合性.證明過程中的每一步都是在尋找命題成立的充分條件.而充分條件的尋找，有時也離不開綜合法.所以，分析法與綜合法是相對而言的，不是絕對分開的，分析法側重于證明思路的尋找，而綜合法側重于證明過程的書寫，因為對分析法的書寫要求比較高，一般不建議采用.

三、“首尾并進”——分析綜合法

分析法的特點是從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”；綜合法的特點是從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.有些命題的證明，需要一邊分析一邊綜合，稱之為分析綜合法，或兩頭湊法.它們之間互為前提、互相滲透，分析法是用來尋找思路的，綜合法是用來敘述的，分析的終點是綜合的起點，綜合的終點又成為進一步分析的起點.

例3設f（x）=ax2+bx+c（a≠0），若函數f（x+1）與f（x）的圖像關于y 軸對稱，求證為偶函數.

證明：要證為偶函數，只需證明其對稱軸為x=0，即只需證，只要證a=-b 即可.

點評：①本題證明的前半部分用的是分析法，要證明結論成立，只需證明a=-b，后半部分用綜合法證明了a=-b；②在用分析綜合法證明時，可先分析再綜合，也可以先綜合后分析.

四、“推理——猜想”——數學歸納法

數學歸納法是一種證明與正整數的命題有關的方法，先證初始值成立，n=n0時命題成立，再假設當n=k（k≥n0）時命題成立，并利用這個假設的結論進一步證明當n=k+1（k≥n0）時命題也成立，由此得出原命題成立的結果.這也是一種演繹推理，主要用在等式的證明、不等式的證明、整除問題的證明、幾何問題的證明等方面.

例4已知m為正整數，用數學歸納法證明：當x＞-1 時，（1+x）m≥1+mx.

證明：（1）當m=1 時，原不等式成立；

當m=2 時，左邊=1+2x+x2，右邊=1+2x，因為x2≥0，所以左邊≥右邊，原不等式成立.

（2）假設當m=k 時，不等式成立，即（1+x）k≥1+kx.

當m=k+1時，因為x＞-1，所以1+x＞0，于是在不等式（1+x）k≥1+kx兩邊同乘以1+x得（1+x）k·（1+x）≥（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx2≥1+（k+1）x，所以（1+x）k+1≥1+（k+1）x.

所以當m=k+1 時，不等式也成立.

綜合（1）（2）知，對一切正整數m，當x＞-1 時，（1+x）m≥1+mx 都成立.

點評：數學歸納法證明第二步至關重要.第一步是證明的基礎，一般沒有難度，而第二步的證明，必須用到假設m=k時成立的結論，沒有用到這個結論的證明，不是數學歸納法.所以這一步的證明必須嚴格執行數學歸納法的“規章制度”.

總覽近幾年的高考命題，往往需要考生用分析法分析問題，再用綜合法寫出過程.而數學歸納法也是一種要求理科生掌握的重要方法，一般出現在數列問題的證明和組合數問題的證明中.在高考中，雖然直接應用反證法證明的題目較少，但反證法作為一種分析問題的重要方法，也時常出現在選擇題或解答題中的某一小問.考查的方式多以解答題為主，同時結合其他知識點，進行綜合考查.本文最后要指出的是，無論是哪一種方法，應用時必須從實際出發，選擇最恰當的方法.會用、好用、用好才是硬道理.