深入探究，春暖花開
——一道江蘇模擬解三角形的探究

☉江蘇省張家港市沙洲中學 王春鳳

三角形中的定值或最值問題是解三角形問題中的重點與難點之一，也是新課標大綱充分體現在“知識點交匯處”命題的一大陣地.此類問題往往設置巧妙，形式活潑多樣，而且問題中知識的交匯比較多，有效提升了題目難度，從而使解決問題的思維方式多變，破解方法多種多樣，一直是歷年高考、自主招生、競賽命題中的基本考點和熱點之一.

一、問題呈現

【問題】（江蘇省泰州市2019屆高三上期末·14（泰州一調））在△ABC 中，已知，且sinAsinBsin（C-θ）=λsin2C，若為定值，則實數λ=______.

本題以△ABC 為問題背景，除了三角形的三內角外還引進了一個“外援角”，通過設置涉及含有參數λ 的四個角的三角關系式外，還借助三角形中沒具體告知結果的三角關系式的定值問題，進而達到破解對應的參數值的目的.題中涉及角的參數較多，且三個內角之間又相互關聯，參數與定值之間必然還存在某種關系，錯綜復雜.

二、多解剖析

思維角度1：（三角方程法）結合三角關系式的定值加以三角恒等變換，并引入定值參數，得到關于sin2C 的關系式，又結合條件，以及已知三角關系式的變形得到λsin2C的關系式，通過兩對應關系式作商，得到關于tanC 的方程，利用條件得到相應參數的方程組，從而得以求解相應的參數值.

由sinAsinBsin（C-θ）=λsin2C，代入化簡整理可得λsin2C=sinAsinB（sinCcosθ-cosCsinθ）=sinAsinBsinθ·（2sinC-cosC）.②

而tanC的值是變化的，k、sinθ的值為定值，那么只能是解得，此時常數k=4.

思維角度2：（正弦定理法）結合三角關系式的定值加以三角恒等變換，以及正弦定理的應用，并引入定值參數，得到關于λc2的關系式，又利用已知三角關系式的變形，以及兩角差正弦公式的應用得到λc2的關系式，通過比較兩個三角關系式中的系數來求解相應的參數值即可.

而由sinAsinBsin（C-θ）=λsin2C，tanθ=（0＜θ＜π），可得

三、變式拓展

探究1：保留原問題的條件，轉化求解目標，由原來求解實數λ的值改為求解定值k的值，從而得以變式.與原題難度相當，知識點一致，只是改變一個角度.

【變式1】在△ABC 中，已知，且sinAsinBsin（C-θ）=λsin2C，若為定值k，則實數k=______.

解析：結合以上問題的解析過程，可知常數k=4.

答案：4.

探究2：保留原問題的三角關系式，改變原來的已知條件進行角度轉換，給出對應的定值但沒給出定角θ的三角函數值，從而得以變式.與原題難度相當，知識點一致，也只是改變一個角度.

【變式2】在△ABC 中，已知sinAsinBsin（C-θ）=λsin2C，其中角θ 滿足0＜θ＜π，且為定角，若，則實數λ=______.

探究3：在變式2 的基礎上，由原來求解實數λ 的值改為求解定角θ 的正切值，從而得以變式.與變式2 難度相當，知識點一致，只是改變一個角度.

【變式3】在△ABC 中，已知定角θ 滿足0＜θ＜π，且sinAsinBsin（C-θ）=λsin2C，若，則tanθ=______.

解析：結合以上變式2 的解析過程，可知

探究4：保留原問題的三角關系式，并直接給出原來的參數值，但沒給出定角θ 的三角函數值，從而在明確三角關系式定值的基礎上來確定該定值，從而得以變式.與原題難度相當，知識點一致，也只是改變一個角度.

【變式4】在△ABC 中，已知定角θ 滿足0＜θ＜π，且sinAsinBsin（C-θ）=，若為定值k（k 為正數），則實數k=______.

四、規律總結

其實，探究解三角形中的相關參數、三角關系式的取值范圍、最值及定值問題等，可以有效發現三角形中的邊、角等知識之間的內在聯系與變化規律，從而加強對相關內容的有效綜合與合理轉化，進而加以正確地理解與掌握相關的知識與破解方法，有助于數學解題能力與應用能力的提高，真正提升數學能力，拓展數學素養.