高中數學解題代換法研究

☉江蘇省如皋市第二中學 黃 榮

代換法，是高中數學解題的一種基本方法，對于一些復雜的問題，為了解決問題，我們通常采用轉化題目中數量關系的手段，將一種問題轉化為另一種問題來解決，起到化難為易的作用，這種代換法靈活多變，通常與其他解題方法相結合，巧妙出現在解題過程中.高中數學中有哪些代換法呢？本文加以研究，供大家參考.

一、代數問題與三角問題的代換

把已知條件中的三角關系式用代數式替換，有時往往能起到規避三角討論的作用；而把已知條件中的某些代數式用三角式來代換，利用三角函數性質，有時也會給解題帶來意想不到的快捷效果.

例1如果?x∈R 和?θ∈］都有（x+3+2sinθcosθ）2+（x+asinθ+acosθ）2≥成立，試求實數a 的取值范圍.

解析：因為題目中同時出現sinθ+cosθ 和sinθcosθ，而（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ，于是想到換元法，將已知條件中的三角關系式用代數式替換.令t=sinθ+cosθ，則sinθcosθ=.因為］，所以

于是原不等式可化為（x+t2+2）2+（x+at）2≥，即2x2+2（t2+at+2）x+t4+（4+a2）t2+4-≥0.

因為上式?x∈R 恒成立，所以Δ≤0，即（t2-at+2）2≥

點評：本題告訴我們，當已知條件中同時出現正弦與余弦的和（差）與積時，一般可利用代數代換轉化為非三角函數問題.當然有些非三角函數問題，同樣可以利用三角代換轉化為三角函數問題，例如：實數x，y 滿足x2-3xy+y2=2，求x2+y2的最小值.本題可令x2+y2=S＞0，則有，代入x2-3xy+y2=2，可得S-3Ssinαcosα=2，即，以下略，請讀者試一試，答案：

二、連續變量與離散變量的代換

在某些問題中，通過連續變量與離散變量的代換，將一個代數式代換成另一個含有相同字母的代數式，有時可以達到出奇制勝的解題效果，這種代換體現了數學解題思維的靈活性與多向性.

化簡得b2c2+c2a2+a2b2≥abc（a+b+c）.

因為a，b，c∈R+，故≥abc.

點評：本題（1）是函數方程的一種解法，從已知函數方程出發，通過代換得到另一個函數方程，然后聯立方程組得到所求函數；而本題（2）則從一個已知不等式出發，通過倒數代換，“變出”欲證不等式.可見這種代換的神奇功效.

三、二元對稱代換與對偶代換

對于某些二元輪換式，可以嘗試二元對稱代換，或對偶代換，同樣可以收到出奇制勝、快速解題的理想效果.這種方法常見于三角函數問題中，體現了同角三角函數關系式和三角恒等變換公式的靈活應用.

例3cos210°+cos250°-sin40°sin80°=______.

分析：本題通過降次與和差化積來求解，解題過程煩瑣冗長.如果注意到sin40°=cos50°和sin80°=cos10°，而且代數式關于cos10°與cos50°對稱，則可構造二元對稱代換求解.

點評：本題基于抓住問題的本質，找到角與函數的聯系，通過靈活構造，使原問題得到巧妙獲解.這種解法體現了數學解題的創新性，能培養解題者的創新思維.

四、相似代換與等值代換

在解某些問題時，為了解題的需要我們往往把某些量替換成另外一種形式，如把n（n-1）替換成，2α 用（α+β）+（α-β）作等量代換.有時為了解題的方便也不一定是等量代換，而是相似代換，同樣可以達到不凡的解題效果.

例4是否存在常數a、b、c 使得等式1·22+2·32+…+n（n+1）2=（an2+bn+c）對任意n∈N*均成立？并證之.

與原式作對比得，當a=3，b=11，c=10 時，題中的等式對任意n∈N*成立.

點評：本題采用了等值代換的方法，將原數列求和問題轉化為組合數求和問題，思維的難點在于找到n（n+1）2=這個恒等式并巧妙地利用組合數公式，解題過程體現了兩個字：智與巧.有“智”方可生“巧”，從中可以看出，數學解題從某個角度來看，是培養人的智慧的有效途徑.

五、部分代換與整體代換

對于某些分類討論的問題和復合函數的問題，我們通常采用部分代換與整體代換來化解難點，化繁為簡，使整個解題過程便于觀察與分析，也可大大減少書寫量.

例5已知f（x）=lg（1+x）-x 在［0，+∞）上遞減，解關于x 的不等式

點評：本題采用了整體代換，將不等式中的某一部分看成一個整體，再將這個整體的取值范圍求出來，最后再解關于這個整體中的x 的不等式，從本質上看就是將一個復雜的不等式變成兩個簡單的不等式來解，體現了數學解題化歸思想中的化復雜為容易的原則.