久考不衰隱零點，分類剖析尋思路

☉南京市第九中學 尤榮勇

函數的零點在很多時候能確定其存在，但又無法直接求解出來，這樣的零點我們稱之為“隱零點”.無論是在各地的高考模擬題中，還是在高考真題中，隱零點問題屢見不鮮，儼然成為壓軸試題中的一道風景線.究其原因，筆者認為，它具有靈活性大、邏輯性強、綜合性廣的特點，是考查邏輯推理、轉化與化歸能力很好的素材，因而備受命題者的青睞，而這類問題又是教學中的難點之一.筆者根據自己的教學實踐，對試題中隱零點問題進行題型歸類、分類剖析，供同仁教學時參考，不當之處，敬請斧正，希望能起到拋磚引玉的作用.

題型一、構造函數試零點，證明超越不等式

例1（2013 年普通高等學校招生北京卷第18 題（2））求證

思維導引：作差構造輔助函數f（x）=t（x）-h（x），將原不等式證明問題轉化為求f（x）的最值問題，是證明超越不等式t（x）≤h（x）的常見思路之一.

證 明：設f（x）=-x+1，則f ′（x）=-1=，不妨設g（x）=1-x2-lnx，則g′（x）=-2x-＜0，所以g（x）在（0，+∞）上為減函數.又g（1）=1-1=0，所以當0＜x＜1時，g（x）＞0，f ′（x）＞0；當x＞1時，g（x）＜0，f ′（x）＜0.所以f（x）在（1，+∞）上單調遞減，在（0，1）上單調遞增.所以f（x）max=f（1）=0.所以f（x）≤0 恒成立.所以≤x-1.

難點剖析：f′（x）=-1 不易判斷符號，如果導函數的解析式能轉化為具有分式特征且容易判斷出分母符號的形式，此時往往將分子看成一個新的函數g（x），研究g（x）的符號從而得出f′（x）的符號.對于函數g（x）=1-x2-lnx，f（x）=-x+1，無法直接求其零點，首先借助函數的導數研究其單調性，再通過嘗試其零點，不難發現g（1）=0，f（1）=0，原不等式證明可轉化為f（x）≤0 恒成立.其中對于函數式中含有lnx 時，可試零點x=et（其中t值可根據情況而取值）.

題型二、待定系數設零點，挖掘關系找聯系

例2（2018 年江蘇省蘇州、無錫、常州、鎮江市高三年級第三次聯考模擬試題第19 題）已知函數f（x）=x3+ax2+bx+1，a，b∈R.若a2+b=0.

（1）當a＞0 時，求函數f（x）的極值（用a 表示）.

（2）若f（x）有三個相異零點，問：是否存在實數a 使得這三個零點成等差數列？若存在，試求出實數a 的值；若不存在，請說明理由.

思維導引：系數中含有參數的三次函數的零點無法直接求出，不妨通過待定系數法設出其零點，從而找出它們之間的聯系.

解析：（1）由f′（x）=3x2+2ax+b 及a2+b=0，得f′（x）=3x2+2ax-a2.令f′（x）=0，解得或x=-a.由a＞0 知，當x∈（-∞，-a）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；當時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；當時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增.所以f（x）的極大值為f（-a）=1+a3，f（x）的極小值為

（2）當a=0 時，b=0，此時f（x）=x3+1 不存在三個相異零點.

當a＜0 時，與（1）同理可得f（x）的極小值為f（-a）=1+a3，f（x）的極大值為

所以當a≠0時，要使 f（x）有三個不同零點，則必須有（，解得a3＜-1 或

法一：不妨設f（x）的三個零點為x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，則：

法二：前面同法一求出a3＜-1 或.不妨設f（x）的三個零點為x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，則f（x）=（x-x1）·（xx2）（x-x3）=x3-（x1+x2+x3）x2+（x1x2+x2x3+x1x3）x-x1x2x3=x3+ax2+bx+1，則-（x1+x2+x3）=a.又三個零點x1，x2，x3成等差數列，所以-3x2=a，x2=.又，解得，所以存在這樣實數a，且

難點剖析：法一設出函數三個隱零點，代入函數一般式f（x）=x3+ax2+bx+1 得到三個方程.如何找出三個隱零點之間的關系？通過循環作差得到兩個方程，二次作差后三個隱零點關系躍然紙上；法二設出函數的零點式，展開后與一般式對比，運用系數相等，三個隱零點之間的關系顯然易見.法二的本質是運用高次函數（方程）的韋達定理，找出根與系數的關系.

題型三、已知零點個數求參數，運用定理去賦值

例3（2017 年全國新課標卷Ⅰ理科第21 題）已知函數f（x）=ae2x+（a-2）ex-x.

（1）討論f（x）的單調性；

（2）若函數f（x）有兩個零點，求a 的取值范圍.

思維導引：f（x）的定義域為R，根據函數零點存在性定理，若f（a）f（b）＜0，則f（x）在（a，b）內有零點，結合函數單調性，可以確定零點個數.

解析：（1）f（x）的定義域為（-∞，+∞），f ′（x）=2ae2x+（a-2）ex-1=（aex-1）（2ex+1）.

若a≤0，則f′（x）＜0，所以f（x）在（-∞，+∞）上單調遞減.

若a＞0，由f ′（x）=0，得x=-lna.當x ∈（-∞，-lna）時，f ′（x）＜0；當x∈（-lna，+∞）時，f ′（x）＞0.所以f（x）在（-∞，-lna）上單調遞減；在（-lna，+∞）上單調遞增.

（2）若a≤0，由（1）知，所以f（x）在（-∞，+∞）上單調遞減，f（x）至多一個零點，不滿足題意.

①當a=1 時，f（-lna）=0，故f（x）僅有一個零點x=0；

②當a＞1 時，f（x）min=f（-lna）=1-+lna＞0，故f（x）沒有一個零點；

③當0＜a＜1時，f（x）min=f（-lna）=1-+lna＜0，而f（-1），故f（x）在（-1，-lna）內有一個零點；

綜上所述，當函數f（x）有兩個零點時，a∈（0，1）.

難點破析：如何想到賦值？直接解f（x）=ae2x+（a-2）ex-x＞0 顯然不現實.函數f（x）的解析式是三個基本初等函數的組合，當x→+∞時，ae2x→+∞2，（a-2）ex→-∞，x→+∞，決定f（x）的符號的關鍵項為ae2x.在不影響函數f（x）符號的前提下，可利用不等式x≤ex-1

題型四、抽絲剝繭隱零點，設而不求代整體

例4（2017 年全國新課標卷Ⅱ理科第21 題）已知函數f（x）=ax2-ax-xlnx，且f（x）≥0.

（1）求a；

（2）證明：f（x）存在唯一的極大值點x0，且

思維導引：可導函數f（x）存在極值點的必要條件是其對應的導函數f′（x）存在零點x0，不難發現該零點x0是隱零點，想方設法找出x0應該滿足的關系.

解析：（1）f（x）=x（ax-a-lnx）≥0?ax-a-lnx≥0.設g（x）=ax-a-lnx，則.當a≤0 時，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上遞減，且g（1）=0，則當x≥1 時，g（x）≤0，不符合題意，故a＞0.當0＜x＜時，g′（x）＜0，當x＞時，g′（x）＞0，從而g（x）在上遞減，在上遞增.所以，又g（1）=0，所以，得a=1.

（2）由（1）知f（x）=x2-x-xlnx，則f ′（x）=2x-2-lnx，（f ′（x））′=

難點剖析：函數f（x）的極大值點是其導函數f′（x）=2x-2-lnx 的零點，該零點確實存在，卻無法求解出來，不妨設函數f′（x）的隱零點為x0，將f（x0）函數值中的lnx0用2x0-2 整體代換，同時注意確定x0的合適范圍：，這樣逐層轉化、抽絲剝繭，問題便迎刃而解.

題型五：借助函數單調性，刻畫零點的性質

例5（2018 年全國新課標卷Ⅱ理科第21 題）已知函數f（x）=ex-ax2.

（1）略；

（2）若f（x）在（0，+∞）上只有一個零點，求實數a.

思維導引：f（0）=1＞0，又易見x→+∞時，f（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上只有一個零點，即要求f（x）的極小值為0.

解析：當a≤0 時，因為x∈（0，+∞）時f′（x）=ex-2ax＞0，所以f（x）在（0，+∞）上為增函數.又f（0）=1＞0，所以f（x）在（0，+∞）上沒有零點.

當a＞0 時，令f′（x）=ex-2ax，（f′（x））′=ex-2a.

圖1

圖2

圖3

難點剖析：a＞0 時，對可導函數f（x）來說，可以通過原函數的二階導數的符號，研究其一階導數的單調性，通過一階導數的符號，研究原函數的單調性.原函數的唯一零點就是其極小值點.

綜上所述，隱零點問題出現的背景形式多樣，靈活多變，與隱零點有關的試題已經逐漸成為模擬試題乃至高考真題中的熱點、流行色，久考不衰，應引起我們教師的重視！當然對于以上各類問題，筆者僅僅從隱零點角度去剖析、甄別，至于其他角度，這里就不再一一贅述.