拓展高中學生數學思維空間的教學思考

☉江蘇省灌云高級中學 陶中亞

學生在知識的掌握與能力的發展上很可能并不同步，學生能力的發展必須建立在掌握知識這一基礎與前提之上，但這并不意味著能力的形成與發展只要堆積知識就可以實現，學生的思維能力需要知識的積累及學習過程中的不斷探索.

新課標理念下的教育思想側重于知識傳授與能力培養的雙重發展，因此，教師在實際教學中應著眼于學生知識和能力的相互促進，幫助學生有效積累基礎知識并使其實驗觀察能力、邏輯思維能力、自學能力、創造能力獲得長遠的發展，在教學中關注學生情感、意志、毅力、性格等非智力因素的發展并使其獲得全方位的提升.因此，學生思維空間的拓展及思維能力的培養是高中數學教師必須重點關注的內容.

一、巧設解題“陷阱”

很多學生因為缺乏思考而在數學問題的處理上不能獲得周全、準確的結論，教師有意設計的解題“陷阱”能夠有效幫助學生在激烈的思維碰撞中加深對數學概念和規律的理解、辨析與刻畫.

例1已知數列{an}是等比數列，其中a3=3，S3=9，則數列{an}的公比q 為多少？

上述題目對于初學等比數列求和公式的學生來說是一道簡單題，但學生在此題實際求解過程中的表現卻令筆者詫異，很多學生的解題出現了錯誤.探究學生的錯誤，我們發現學生沒有注意到等比數列求和公式的適用條件是他們解題產生錯誤的主要原因，學生在解題中直接使用了公式并漏掉了公比q=1 的情況，令解題正確率偏低.

二、挖掘題目內涵

引導學生樹立明確目標、探索條件的思維方式并使其對題目的內涵展開深入的挖掘，能使學生的發散思維能力得到很大的提升，使其思路更加活躍并能夠提升其學習的效率.

例2已知向量a=（3，-4），a+b=（4，-3）.

（1）試求向量a 和b 的夾角θ 的余弦值；

（2）對p、q 兩個向量，若存在不全為零的常數α、β，使αp+βq=0，則稱向量p 和q 線性相關，反之則稱為線性無關.那么向量a、b 屬于線性相關還是線性無關呢？

解析：（1）因為a=（3，-4），a+b=（4，-3），所以b=（1，1）.所以

（2）如果向量a、b 線性相關，那么存在不全為零的常數α、β，使αa+βb=0，即（3α+β，-4α+β）=（0，0）.故，解得這α、β不全為零相矛盾.所以向量a、b 線性無關.

三、一題多解訓練

精心設計一題多解的教學訓練能夠有效幫助不同層次的學生獲得有意義的拓展和提升，幫助學生拓寬思路并使其求異思維能力獲得長遠的發展.

例3已知α、β 是銳角，sin（α+β）=2sinα，求證：α＜β.

解決此題應從三角函數值的相等關系推出角度的不等關系，涉及的領域從概念和運算關系來看是比較廣泛的，此題的解決對于拓展學生的思維能夠起到很好的作用.此題的不同證法如下.

證法1：著眼于解決此題的一般方法并進行遷移.

因為α、β 是銳角，所以結論α＜β 與sinα＜sinβ 是等價的.

因為sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，所以sin（α+β）＜sinα+sinβ.

又因為sin（α+β）=2sinα，所以2sinα＜sinα+sinβ.所以sinα＜sinβ.所以α＜β.

證法2：著眼于此題中有關三角、幾何的有意義的細節，以及特殊因素進行解題，在直徑是1 的圓內作角α、β，如圖1 所示.

BC=sinα，BD=sinβ，CD=2Rsin（α+β），即CD=sin（α+β）.

因為BD＞CD-CB，所以sinβ＞sin（α+β）-sinα=sinα.所以β＞α.

圖1

圖2

證法3：將α、β 看作△ABC 的兩個銳角，如圖2 所示.

證法4：用反證法進行證明，由α=β 或α＞β 推出矛盾，證得α＜β，證明過程略.

類似上面的訓練能很好地激發學生的數學學習興趣，開拓學生思路的同時也使其視野得以開闊.

四、多題歸一訓練

很多數學問題之間存在不同程度的量的差異，但在問題的本質上往往區別不大，甚至沒有區別.教師在實際教學中應精選典型習題并進行有的放矢的精講、點撥與拓寬，幫助學生在掌握某類題目解法的同時熟練掌握其一般解題方法，凸顯問題的實質和關鍵并幫助學生逐步積累正確的解題經驗，使學生在解題訓練中逐步獲得舉一反三、觸類旁通的解題能力與思維.

例4求下列函數的值域：

分析：求上述函數的值域，看似問題不同，但如果將（2）、（3）、（4）中的x2、2x、sinx 看成整體，那么這三個小題和（1）就成了同一類型的題目了，因此，學生只要能求出（1）中函數的值域，求解（2）、（3）、（4）中函數的值域也就不難了，不過解題過程中還是應該注意這四個小題的區別的，x、x2、2x、sinx 間的取值范圍各有不同.

五、一題多問訓練

訓練學生串聯解題能力與邏輯推理能力的一個有力舉措就是一題多問，一題多問訓練能幫助學生更好地深化概念或規律并令概念或規律得以升華發展，這對于發展學生的思維來說是最為有力的手段.以下例題中環環相扣的問題，著眼于學生已有知識與問題之間的聯系，進行了學生思維的啟發，使學生能夠在相對集中的線索中展開思考與探索并獲得了發散思維的鍛煉，知識間內在聯系得以順利揭示的同時也令學生更好地掌握了解題的思路與脈絡.

例5已知函數f（x）=x2-4，若曲線y=f（x）在點（xn，f（xn））處的切線和x 軸相交，其交點是（xn+1，0）（n∈N*），其中x1為正實數.

（1）用xn表示xn+1；

（2）求證：對一切正整數n，xn+1≤xn的充要條件為x1≥2；

（3）若x1=4，記，請嘗試證明數列{an}是等差數列，并求出數列{xn}的通項公式.

對學生學好數學所應具備的思維能力的培養是高中數學教師在實際教學中最應該關注的，拓展學生的思維空間能夠給予學生更多的獨立思考的機會，教師應鼓勵學生在解題中運用不同的思路進行解題探究并不斷嘗試思維的求異性，幫助學生逐步提升思維能力并引導學生學會總結、歸納一些高效思考和分析問題的方式，使學生能夠在解決各種問題的過程中不斷積累解題的經驗并獲得發揮思維能力的空間.

學生數學思維空間的拓展必須依賴有效的數學實踐，也就是解題，巧設“陷阱”、一題多解、挖掘題目內涵、多題歸一、一題多問等訓練方式能有效發展學生的數學思維空間，教師應精心營造適合學生的數學思維環境并注重學生數學思維需求的引發，使學生在掌握一定思維方法的基礎上獲得更好的思維狀態、思維品質并養成良好的思維習慣，這對于發展學生的思維空間來說是極為重要的前提條件.

總之，教師在實際教學中應注重學生思維能力的培養并有意識地創造出適合學生思維的空間與平臺，使學生借助已有知識信息展開合理高效的思維并在遷移思維、逆向思維、求異思維、發散思維、推理思維的推動下對數學問題展開不同角度的思考、分析、解決和論證，使學生在思維迅速發展的過程中不斷積累知識和解決問題的經驗，幫助學生在思維和知識的相互促進、共同發展的過程中獲得數學素養與能力的全方位發展.