逆向思維的常見類型及培養策略

☉廣東省信宜中學 蔡玉姬

根據心理學對思維的研究結果，人們的思維不是單向的，一個特定的思維過程一般來說都會有一個相應的反向思維過程，我們在解決問題的過程中會逐漸形成一種習慣性思維，在遇到新問題時也會傾向于選擇這種對于自己來說更加熟悉和自然的思考方法，然而在有些情況下這會在無形之中限制我們思維的靈活性，使我們難以應對不熟悉的問題，因此教師在日常的數學教學中應加強對學生逆向思維能力的培養.

一、前言

人們在認識事物發展的時候會不自主地帶上一些方向性，比如，我們會傾向于把符合自己認知習慣的事物發展方向認為是正向的，而把與其對立的方向認為是逆向的，這是人們思維主觀性與客觀性相結合的結果.

我們在解決問題的時候會受這種思維的影響，傾向于從自己習慣的角度去尋找問題的解決方法，雖然有些時候這能幫助我們省去一些思考的時間，提高解決問題的效率，但是如果我們拘泥于用自己習慣的思維來考慮問題，有時反而會限制我們的思路，很多情況下難以得到問題的答案或者解決方案會不盡人意，這個時候逆向思維往往就能發揮很大的作用.

例如，筆者曾經看見過這么一道有趣的例題：某富商在臨終之前將自己剩下的19 頭羊分配給自己的3 個兒子，希望長子能夠分得一半，次子可以獲得四分之一，最小的孩子分得五分之一，并且不能殺死羊而分羊肉，富商死后，幾位兒子討論了很多天也沒有結果，你能嘗試幫助他們解決這個問題嗎？這個問題如果按照正向思維來考慮的話很難解決，因為羊的總數不是2、4、5 中任意一個數字的整數倍，問題會不可避免地涉及分數，但如果我們嘗試打破思維定勢，從反方向思考這個問題，就會發現新天地：假設我們可以從別處借來一只羊，使羊的總數達到20，那么很自然地，我們可以很輕易地得出大兒子可得10 只，二兒子可得5 只，而最小的兒子可得4 只，最后再將借來的羊還回去就可以了，這樣的分配方法滿足富商給出的條件.

另外，逆向思維還能幫助我們發現一些有價值的規律.比如，法拉第的電磁感應定律就是逆向思維的產物，早在十九世紀初，物理學家奧斯特就發現了電流的磁效應，即電流可以在其周圍激發出磁場，英國物理學家法拉第受到辨證思想的啟發，開始逆向思考，既然電流可以產生磁場，那么磁場會不會也對電流產生影響呢？在不懈的努力研究下，法拉第發現了切割磁感線可以產生電流的現象，即著名的電磁感應效應.再比如，德布羅意通過逆向思考發現了物質波，古今中外的許多科學家都是在逆向思考的過程中發現了一些驚人的規律.

二、逆向思維的心理學原理和獨特教育價值

根據心理學對思維的研究結果，人們的思維不是單向的，一個特定的思維過程一般來說都會有一個相應的反向思維過程，通俗地說，它就是我們生活中的反著想一下.之前提到，我們在解決問題的過程中會逐漸形成一種習慣性思維，在遇到新問題的時候也會傾向于選擇這種對于自己來說更加熟悉和自然的思考方法，然而在有些情況下這會在無形之中限制我們的靈活性，使我們難以應對不熟悉的問題.

上述情況對應到學生身上就體現為思維路徑單一，不能靈活應用定理規則解決變題等問題，這實際上是學生綜合數學能力缺失的一種表現.解決這一問題的關鍵在于培養學生的逆向思維能力.逆向思維與習慣性思維的不同之處在于，它更強調思維的發散性與創新性，一般的表現形式有以下幾種：對常用數學定理和定義、公式等的逆向運用，很經典的一個例子就是逆用勾股定理判斷一個三角形是否為直角三角形；對于難以正面證明的問題進行逆向的推理和計算，反證法的思想本質上就是這樣一種逆向思維.培養學生的逆向思維能力也是實現中學數學教學目標的重要手段，教師應在日常教學中對其予以高度重視.

三、兩種常見的逆向思維類型

逆向思維是一個很大的概念范疇，細分下來有三種，即反轉型、轉換型和缺點型逆向思維法，在中學數學教學中教師應該著力培養學生前兩種逆向思維能力，下面筆者將對應到中學數學教學中對這兩種逆向思維類型做簡單解釋.

所謂反轉型逆向思維就是從數學定理的因果關系的反方向開展推理探究的一種思考方式，它能幫助學生解決一些正向思考較為復雜的問題，最典型的例子就是我們常用的反證法.舉例說明，要證明任意一個三角形至少有一個角是不小于60°的，如果想用正向思維解決就需要分情況討論，然而這樣的問題更適合用反證法來解決，逆向思考問題條件“至少有一個角不小于60°”，我們可以將其轉化為“三個角都小于60°”，接著再利用三角形內角之和為180°這一基本定理證明上述三角形根本不存在即可，反轉型逆向思維的針對性較強，需要學生能夠精確把握問題的條件和問題的目標.

轉換型逆向思維就是在解決問題時如果某常用方法受到限制，則嘗試轉換思考角度或解決手段以順利解決問題的思想方法，我們耳熟能詳的故事“司馬光砸缸”就是一個經典的例子，司馬光不能按照常規的方法把朋友從水缸中救出來，就轉換思路打破了水缸.以一道經典的數學概率題為例，假設有四名士兵正在進行射擊訓練，現如果他們同時向一目標模型射擊，只要有一人擊中了目標，即判定為目標被擊落，四人射中目標的概率分別為0.8，0.85，0.9，0.95，試求該目標被成功擊落的概率.要想高效率地解決這道題，學生需要能夠靈活轉換問題視角，比如思考問題的對立情況，即目標沒有被任意一名士兵擊中，對從正面思考難以解決的問題進行等價轉化往往能夠帶來意想不到的簡化效果.

四、三種基本的逆向思維培養策略

1.立足基本數學概念，幫助學生逐漸適應利用逆向思維解決問題

學生對于數學概念的掌握程度會直接影響他們對后續公式和定理的理解，因此教師應該從數學概念入手，逐漸讓學生適應利用逆向思維解決問題.

教學實例1現有一個偶函數f（x）=（m-1）x2-mx+2，嘗試說明f（0.75）和f（a2-a+1）的大小關系.

設計意圖：學生在學習偶函數的相關概念時是從如何判斷偶函數開始的，本例題將偶函數作為條件直接給出，希望學生能巧妙轉換思路，應用函數的定義來解決問題.

解答：由f（x）=（m-1）x2-mx+2，得f（-x）=（m-1）x2+mx+2，又因為f（x）是偶函數，所以f（x）=f（-x），解得m=0，即f（x）=-x2+2.又易知a2-a+1≥0.75＞0，所以我們只需要關注f（x）在［0，+∞）部分的單調性即可，觀察函數圖像易知其開口向下，所以f（x）在［0，+∞）上單調遞減.因此f（0.75）≥f（a2-a+1）.

教學實例2已知函數y=（a2-3a+3）ax是一個指數函數，那么下列關于參數a 的說法正確的是（ ）.

A.a=1 或2 B.a=1 C.a=2 D.a=3

設計意圖：讓學生嘗試逆向思考和應用指數函數的定義.

解答：易知a2-3a+3=1，又因為a＞0 并且a≠1，所以a=2.

2.引導學生逆向應用運算律和題目提供的條件

教學實例3試對下列表達式進行化簡

設計意圖：學生熟知的三角函數倍角公式是2sinαcosα可轉化為sin2α，這個例題的意圖在于引導學生關注倍角公式的反向應用.

又根據參數的取值范圍可知cosα＞sinα，所以最終的化簡結果應是cosα-sinα.

教學實例4如果f（x）在其定義域（0，+∞）上是單調遞增的，并且f（2）=1，且函數f（x）滿足條件f（xy）=f（x）+f（y），則試求當函數滿足f（x）+f（x-3）≤2 時x 的取值范圍.

設計意圖：本例題需要學生逆向應用題干給出的條件.

解答：由條件f（xy）=f（x）+f（y）可知f（x）+f（x-3）=f（x2-3x），又觀察題干條件可知f（2）+f（2）=2，而f（2）+f（2）=f（4），所以f（x2-3x）≤f（4）.又因為函數在其定義域上的單調性為增，所以可得下列關系式：

3.抓住題目條件中的逆向性

教學實例5如果在直角坐標系中存在一點A（1，2），它在函數的圖像上，且它也在其反函數的圖像上，試求參數a，b 的值.

解答：根據反函數的定義可知，函數與其反函數的圖像關于直線y=x對稱，若點A在某函數圖像上，則其關于直線y=x 的對稱點也在對應的反函數的圖像上，本題給出的條件中，點A同時在函數與對應反函數的圖像上，因此點A 與其對稱點A′都在函數的圖像上，代入兩個點的橫縱坐標并聯立方程組可得a=-3，b=7.