提升高中生數學運算素養的教學策略*

☉福建省德化第一中學 徐建新

在2017 年教育部頒發的《關于全面深化課程改革，落實立德樹人根本任務的意見》中，各個學科都明確提出了具有學科特點的核心素養.《普通高中數學課程標準》（2017 年版）明確了六大數學核心素養，并對九個主題提出了具體的核心素養要求，其共同特點是都要求發展學生的邏輯推理和數學運算素養.其中，數學運算是指在明確運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養，主要表現為：理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、形成程序化思維.

筆者覺得，運算素養是在運算能力基礎上提出的更高要求，應該包括運算能力、運算意識、運算品質、運算態度等.

從教學實踐看，高中生數學運算存在以下幾個常見問題：概念與法則理解不準確；公式、定理記錯；思路不清，答題方向不明確；方法選擇不恰當，運算煩瑣；表達條理不清，上下行抄錯等.針對上述問題，一方面，要注重培養學生運算時細致、耐心、韌勁、完美等優秀的數學品質；另一方面，即本文要闡述的在教學中提升高中生數學運算素養的策略問題.

一、“概念辨析”有利于“掌握運算法則”

核心概念要貫穿高中數學教學的始終.在概念教學中，通過符號變式、圖形變式、語言變式等探究活動，辨析概念中的關鍵字眼，學生從不同角度對概念的內涵與外延獲得更深刻的理解與認識.下面以“函數概念教學”為例.

判斷下列對應關系是否是集合A 到B 上的函數.

（1）A={圓}，B={x|x＞0}，對應關系f：對A 中的圓求周長與B 中的元素對應；

（2）A=R，B=R，對應關系f：對A 中的元素取倒數與集合B 中的元素對應；

（3）A={0，1}，B={0，-1，1}，對應關系f：對A 中的元素開平方與B 中的元素對應；

（4）A={0，-1，1}，B={0，1}，對應關系f：x→y=x2，x∈A，y∈B；

（5）A={0，1}，B={0，1，2}，對應關系f：x→y=x2，x∈A，y∈B.

分析：函數是特殊的映射，（1）集合A 不是數集，明確了函數的特殊所在.以上問題是針對“函數”的前提“A，B 是非空的數集”，以及定義中強調的“三性”：任意性、存在性、唯一性而設計的.

二、“公式推導”有利于“理解運算公式”

高中數學公式具有基礎性、簡潔性、科學性、重要性等特點.通過對公式的推導與證明，了解公式的產生、發展過程，以及公式使用的條件、適用范圍等，有利于加深對運算公式的理解.以“基本不等式”為例.

圖1

圖2

圖3

圖4

如圖2，作兩條首尾轉接的線段MP，PN，其長度分別是a，b，則

如圖3，Q，P，R 三點畫線，則PM·PN=PQ·PR=a·b；

三、“一題多解”有利于“選擇運算方法”

“一題多解”是指用多角度看一道題，全面利用所學知識解決問題，既開拓學生視野、拓寬解題思路，又培養學生發散思維、提高靈活應用知識解決問題的能力.在探究“一題多解”的過程中，要關注考綱和學生學情，關注解法的選擇.學生根據題意選擇更加合理簡潔的運算方法，體現了運算的靈活性和普適性.

四、“一題多變”有利于“理解運算對象”

“一題多變”，即“變式教學”，是數學教師較常用的教學方法之一.通過對已知條件、設問方式、求解目標等進行適當變式，有利于學生充分挖掘問題中已知與未知關系，理解運算對象的變化對運算方法與過程的影響.

五、“一般問題特殊化”有利于“運算的簡潔性”

一般性問題往往涉及多個變量，不容易找到解決問題的突破口.“一般問題特殊化”就是取變量的特殊值、特殊位置、特殊結構等.比如，字母問題數字化、抽象函數具體化等.

其依據是：若命題在一般情況下正確，則在特殊情況下也正確；反之，若在特殊情況下該命題不正確，則在一般情況下也不正確的原理.它避開了復雜的邏輯推理、數學運算，使得求解過程更簡潔，這個方法在選擇題、填空題中應用廣泛，也可以先探求結論，再證明結論的普遍性.

例1（2017 年新課標卷Ⅰ理11）設x、y、z 為正數，且2x=3y=5z，則（ ）.

A.2x＜3y＜5z B.5z＜2x＜3y

C.3y＜5z＜2x D.3y＜2x＜5z

分析：取x=1，則3y=3log32=log38＜2，5z=5log52=log532＞2.所以3y＜2x＜5z，故選D.

六、“特殊問題一般化”有利于“形成程序化思維”

“一般問題特殊化”應用廣泛，特別是不需要運算過程、只需要求得結論的選擇題和填空題.但對“特殊問題一般化”的方法不夠重視.“特殊問題一般化”就是將問題放置于更加一般的情景中，得到普適性的結論與方法，再運用于特殊問題.一方面，提高對數學問題的本質認識；另一方面，一般化后的數學問題往往含多個字母，對提升數學運算素養大有益處.下面以雙曲線的中點弦為例進行說明.

例2（人教A 選修2-1.P80.9）經過點M（2，1）作直線l 與雙曲線交于A，B 兩點，且M 為AB 的中點，求直線l 的方程.

分析：該問題的常用解法有三種，其中用“點差法”求斜率后寫出方程最常用，其前提是所求直線的斜率是存在的.因此，需要將問題一般化，判斷中點弦存在的條件.

一般化：經過點M（x0，y0）作直線l 與雙曲線=1（a>0，b>0）交于A，B 兩點，且M 為AB 的中點，求直線l 的方程.

這個求解過程是全字母運算，運算目標要明確，運算方向要清晰，運算過程要細心，心理活動要堅定，運算結果要合理（對稱性）.

七、“反思完善”有利于“運算的嚴謹性”

反思對于數學學習至關重要，對數學解題更是如此，不但要反思解題過程是否正確、完整，對存在的漏洞要進行修正補充，還要反思算理依據是否明確，在改變條件時，才不至于出錯.以一道常見的函數極值問題為例.

例3已知函數f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1 處有極值為10，則a=______，b=______.

學生錯解：

錯因分析：當，時，f′（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2≥0，函數f（x）在R 上單調遞增，無極值點.正確答案只有

反思：若x=x0是函數f（x）的極值點，則f′（x0）=0；但f′（x0）=0 時，x0不一定是f（x）的極值點.