基于理想點法與組合賦權的圍巖質量評價模型

曾韜睿，王林峰，翁其能

(重慶交通大學 山區公路水運交通地質減災重慶市高校市級重點實驗室, 重慶 400047)

近年來，我國地下空間建設發展迅速，隧道工程向“多、長、大、深”的方向發展，隧道內部地質環境差異較大，使得圍巖失穩破壞的程度和形式也各不相同[1]。目前，我國有將近8 600條隧道已經建成或者正在建設，總長度約4 370 km，位列世界第一。隧道的類別也多種多樣，如高應力隧道、富水隧道、礦山隧道等。合理的圍巖質量評價對于隧道的設計和施工有著重要的作用,是選取隧道開挖方式和支護手段的重要依據。如果圍巖質量評價不準確，那么將會導致施工成本的增加或者出現災難性的事故，對人民的生命財產安全造成嚴重的損害。因此，建立圍巖質量評價模型對于隧道工程建設有著重要的意義。

針對此問題，國內外已有大量學者進行了預測研究，采用了許多種不同的方法的系統評價模型，具有代表性的有模糊數學[2]、距離判別法[3-4]、可拓學理論[5]、Bayes判別分析法[6]、神經網絡法[7]、灰色理論方法[8]等，取得了有效的進展。但是，由于圍巖質量評價屬于非線性復雜系統，目前的評價方法仍然有一定的局限性[9-11]，具體表現在:① 評價指標的選取無通用的規則可以遵循，導致常用固定的評價指標進行分析，沒有考慮圍巖質量評價指標的不確定性；② 圍巖評價指標的相對重要程度的界定以及指標權重的計算分配沒有很好地解決；③ 現有的評價方式大多是采用固定的評分方式，沒有考慮到圍巖質量評價的模糊性和隨機性，難以可靠地對圍巖質量進行評價。

針對上述圍巖質量評價方式的問題，本文選取巖石單軸抗壓強度、巖石質量指標、巖體完整性系數、地下水發育狀態、巖體聲波速度、結構面走向與洞軸線夾角作為圍巖穩定性評價的指標，全面地考慮了圍巖的影響因素，提出了基于理想點法、層次分析法和熵權法的綜合分析方法，根據最小信息熵原理運用拉格朗日乘子法對主客觀權重進行組合賦權，從而達到對圍巖指標權重計算的全面性，最后根據工程實例數據，驗證了所建立模型的可行性和實用性。

1 理想點法評價原理

理想點法[12-16]是一種借助于評價對象與理想化目標的接近程度來衡量優劣的多指標評價方法。理想點法的中心思想是要確定合適的評價指標體系，通過組合賦權理論確定各個評價指標的組合權重，然后定義一種空間距離模，即m維歐式空間中的一個點，在這種模的定義下，使得其距離正理想點評價函數的距離小，距離逆理想點評價函數的距離大，最后根據各個評價指標的理想點貼近度大小來評判其所屬優劣的類別。

1.1 構建評價指標矩陣

對于一個含有n個評價指標的分類對象，可以把這n個評價指標看成是關于評價決策對象的n個目標函數，即可構造目標向量函數:

F(x)=[f1(x),f2(x),…,fn(x)]

(1)

其對應的權重分別為W1,W2,…,Wn，這個分類對象A在目標向量函數fi(x)下取值為xi。則其目標矩陣為

G=[X1W1,X2W2,…,XnWn]

(2)

1.2 理想點的設置

在評價指標體系中，按照工程經驗將評價指標劃分為收益型指標和損傷型指標，指標值越大對評價對象越有利的指標為收益型指標，指標值越大對評價對象越不利的指標為損傷型指標。當指標服從單調變化時，理想點和反理想點可以定義為:

指標為收益型指標時，則有:

(3)

指標為損傷型指標時，則有:

(4)

1.3 確定理想點評價函數

理想點評價函數為指標到各理想點之間的距離，一個指標離理想點越近，說明評價對象最接近理想點，在n維空間中的定義為:

||f(x)-f*(+)||→min,||f(x)-f*(-)||→max

(5)

本文采用理想點評價函數常用的歐式距離來定義指標到理想點的距離。

(6)

(7)

1.4 計算理想點貼近度

計算理想點貼近度的公式為:

(8)

貼近度Ti屬于區間[0,1]，Ti越大，代表離正理想點越近，離反理想點越遠。

2 基于層次分析法和熵權法的組合權重計算方法

2.1 圍巖穩定性指標

選取6個因素作為圍巖穩定性評價的指標，分別為巖石單軸抗壓強度Rc、巖石質量指標RQD、巖體完整性系數Kv、地下水發育狀態A、巖體聲波速度v、結構面走向與洞軸線夾角θ。根據相關文獻資料[17-18]的分級標準，用單因素法將圍巖質量分為5個等級，各指標的分級標準如表1所示。

表1 圍巖單因素指標分類標準

2.2 組合權重計算方法

2.2.1層次分析法

層次分析法[19](analytic hierarchy process)是由20世紀70年代美國著名運籌學家Saaty提出，通過將復雜的問題分解成層級結構，并且利用判斷矩陣來分析各個因素的重要性，在各類工程、信息、管理問題中廣泛應用,是獲取權重的重要方法之一。層次分析法的核心思想是根據專家自身的經驗對指標的判斷矩陣進行打分，從而獲得屬性權重，因此該方法是一種比較常見的主觀賦權方法。

對于圍巖質量評價問題，各個評價指標之間是相互制約、相互關聯的，因此需要用層次分析法進行建模分析。具體步驟[20]如下:

1) 建立層次結構:本文采用巖石單軸抗壓強度Rc、巖石質量指標RQD、巖體完整性系數Kv、地下水發育狀態A、巖體聲波速度v、結構面走向與洞軸線夾角θ等6個因素為預測指標，由此構建圍巖質量評價層次結構，如圖1所示。

2) 構造準則層判斷矩陣，計算準則層權重。根據層次分析法的方法，由專家自身經驗對準則層進行兩兩比較，按照1～9標度法對其進行打分，判斷其兩兩指標間的相對重要性，賦值方法如表2所示，分析構造矩陣S如表3所示。

圖1 圍巖質量評價層次結構

賦值重要性差異1BI和BJ一樣重要3BI比BJ重要一點5BI比BJ重要7BI比BJ重要很多9BI比BJ極端重要2,4,6,8不能確定重要性差異時賦值說明當BJ與BI比較時,其賦值是BI與BJ標量的倒數

表3 構造分析

3) 計算判斷矩陣S的最大特征根λmax及其對應的特征向量并歸一化。本文求解最大特征根的方法采用文獻[20]建議的方根法進行求解。

(9)

(10)

(11)

由式(11)可得到第i層相關元素相對于該層的權重。判斷矩陣S的最大特征根為:

(12)

4) 檢驗一致性，確定層次排序權向量。為了避免專家的主觀偏向性，保證權重分配的合理，應對判斷矩陣進行一致性驗證。一致性比率CR:

(13)

式中：RI為S的隨機一致性指標，數據如表4所示，CI為S的一致性指標，計算公式為:

(14)

當CR<0.1、階數n>2時，即認為判斷矩陣S的不一致程度在容許范圍之內，具有滿足一致性的要求，可用標準化后的特征向量作為權向量，否則就要對判斷矩陣S進行重新調整。

表4 指標RI數值

2.2.2熵權法

熵權法[21]是一種客觀賦權的方法，賦權過程中借助于指標的變異過程，根據指標的信息熵計算得出熵權，再通過熵權對指標權重加權進行修正，可得出權重。熵權法能夠依據客觀資料，幾乎不受主觀因素的影響，可以很大程度地避免人為因素的干擾，因此本文采用此方法求圍巖質量評價指標的客觀權重。

1) 首先根據評價指標建立原始數據矩陣:

(15)

2) 對原始數據矩陣進行歸一化處理，對于越大越好型指標轉換公式為:

(16)

對于越小越好型指標，轉換公式為:

(17)

3) 經過標準化轉換后的矩陣為:

4) 確定指標熵值，對于有n個指標及m個評價對象，可利用下式計算第j個指標的熵值:

(18)

(19)

(20)

5) 根據求出的熵權值，可以得到評價指標的客觀權重:

(21)

2.2.3組合賦權

層次分析法計算的權重具有一定的主觀性，為了全面反映評價指標的全面性，使評價結果更加真實，又添加了熵權法作為客觀評價的方法。本文采用主觀權重和客觀權重相結合的方式，來獲取圍巖質量評價指標的組合權重。由各個評價指標的主觀權重W和客觀權重V求解組合權重λ，要求λi在空間中的分布與wi和vi都要盡量接近，根據最小信息熵[22]的原理可得:

(22)

根據拉格朗日乘子法求解上述優化問題，可得:

(23)

3 工程案例

為了驗證構建的理想點法-組合權重的圍巖質量評價模型的合理性和有效性，以布倫口-公格爾水電站地下洞室4個標段[10]為例來對模型進行驗證。根據地下洞室的相關勘查報告，可得4個典型標段的6個圍巖質量標準的參考值，如表5所示。

表5 標段圍巖指標參數值

3.1 組合權重的確定

1) 層次分析法求權重

確定圍巖各評價因素對評價指標進行處理，構造判斷矩陣。采用1～9及其倒數作為標度來構造評價指標間相對重要性的判斷矩陣S:

采用方根法對上述判斷矩陣求解，對應的特征向量歸一化，得到評價指標的權重集W={0.393,0.274,0.142,0.068,0.054,0.046}，計算得出最大特征根λmax=6.432，經過一致性檢驗得出CR=0.034<0.1,所以得出權重集為所求的各評價因素的權重。

2) 熵權法求權重

對原始數據采用歸一化處理，根據式(16)(17)來消除圍巖不同指標之間量綱的差異,得到標準化的矩陣為:

由式(18)～(20)可以算出各個指標的熵值：

E=[0.977 6, 0.984 1, 0.989 2,

0.979 1, 0.976 9, 0.965 4]

根據式(21)，可以計算出各個評價指標的客觀權重:

V=[0.172,0.122,0.101,0.162,0.177,0.266]

3) 組合權重的計算

根據已求出的主觀和客觀權重，由拉格朗日乘子法求解得出主客觀權重的組合權重:

λ=[0.279,0.209,0.137,0.121,0.108,0.128]

3.2 圍巖正逆理想點

確定圍巖質量評價體系的正逆理想點矩陣，根據理想點法的概念，在每個目標決策中，巖石單軸抗壓強度、巖石質量指標、巖體完整性系數、巖體聲波速度、結構面走向與洞軸線夾角屬于正指標，指標越大圍巖穩定性越好，正理想點取最大值，逆理想點取最小值；地下水發育狀態為逆指標，指標越大圍巖穩定性越差，正理想點取最小值，逆理想點取最大值。則圍巖的正逆理想點矩陣為:

3.3 圍巖評價結果

根據建立的理想點法-組合賦權模型進行計算分析，可求出待評價圍巖指標在各個等級下的理想點貼近度。貼近度越接近1，表示評價目標越接近最優水平；貼近度越大，能夠得出樣本與該等級的圍巖分類越貼近。因此,得出圍巖質量結構評價如表6所示。

表6 圍巖質量評價結果

圍巖質量評論結果表明：本文所建立的理想點法-組合賦權模型判斷的圍巖等級與設計施工的圍巖等級相同，與其他方法相比，該方法的評價結果精度高，操作簡便，能為工程實踐提供經驗和幫助。

4 結論

本文綜合考慮圍巖質量評價指標的模糊性和不確定性，提出了基于理想點法-組合權重的圍巖質量評價模型。

1) 將巖石單軸抗壓強度Rc、巖石質量指標RQD、巖體完整性系數Kv、地下水發育狀態A、巖體聲波速度v、結構面走向與洞軸線夾角θ引入圍巖的分級預測中，能夠很好地反映圍巖的狀態，其評價結果能為工程實踐提供經驗。

2) 采用層級分析法和熵權法組合的主客觀權重計算方法，運用拉格朗日乘子法對其進行組合賦權，達到對圍巖評價指標權重計算的全面性，提高了模型的模糊性和可靠性。

3) 以布倫口-公格爾水電站地下洞室4個標段圍巖為例，根據圍巖現場指標值和計算出的組合權重和，運用理想點法計算出理想點貼近度與工程實測數據吻合，驗證了基于理想點法與組合賦權的圍巖質量評價模型的可靠性，能夠為將來的工程實踐提供經驗和幫助。