H?rmander向量場上變指數空間的嵌入定理

李炳耀，李 霞，李有文

(中北大學 理學院， 太原 030051)

Sobolev嵌入定理在偏微分方程中具有舉足輕重的作用。歐氏空間上 Sobolev 嵌入理論已經很完善,如:當Ω是RN上具有錐性質的區域,m≥1 為整數時,若設 1≤p<∞,如果或者mp>N或者m=N,p=1,則對于p≤q≤∞,有Wm,p(Ω)→Lq(Ω); 若設p>1,如果mpN,1≤q≤∞,則Wm,p(Ω)→→Lq(Ω0)。更多關于Sobolev嵌入的性質參見文獻[1]。

關于向量場上的Relich緊嵌入定理由Lu在文獻[4]給出，受上述結果的啟發,本文主要研究H?rmander向量場上變指數空間的嵌入性質。

則Wk,p(x)(Ω)→Lq(x)(Ω)。

p(x)≤q(x), a.e.x∈Ω,

且

則Wk,p(x)(Ω)→Lq(x)(Ω)。

1 基本知識

1.1 H?rmander向量場

X(1)={X0,X1,…,Xp},X(2)={[X0,X1],…,[Xp-1,Xp]}

則X(k)的分量是長度為k的交換子。設Y1,…,Yq是X(1),…,X(m)分量的一些枚舉， 如果Yi是X(j)的一個元素,則稱Yi具有正規次數d(Yi)=j。 關于向量場及其交換子幾何性質的詳細情況參見文獻[10-11]。

下面定義Ω上的度量ρ。當且僅當存在一個絕對連續映射φ∶[0,1]→Ω且φ(0)=x0,φ(1)=x1,并且幾乎所有的

都具有 |aj(t)|<δd(Yi)， 然后由

B(x,δ)={y∈Ω|ρ(x,y)<δ}

給出Ω上相應的球族。

這類球反映了向量場X0,…,Xp和它們的交換子的非各向同性性質。球B(x0,δ) 在X0,…,Xp指定的方向上基本上具有大小δ,而在長度為2的交換子給出的方向上具有大小δ2,在長度為3的交換子給出的方向上具有大小δ3等。

1.2 H?rmander向量場上變指數空間

(1)

其中：k為給定的正整數；Q為齊型維數；kp

集合

Lp(x)(Ω) 上引進如下范數:

則Lp(x)(Ω) 成為Banach空間。 由文獻[12]知,Lp(x)(Ω)是Nakano空間,它是Musielak-Orlicz空間的一種特殊形式。

對于任何正整數k,集合

可以在Wk,p(x)(Ω) 上引進如下范數:

α是一個向量,α=α1,α2,…,αn,這樣Wk,p(x)(Ω) 也成為Banach空間。

關于變指數空間的其他更多結論,如插值與加權范數不等式,見文獻[13]。文獻[14]給出了歐氏空間中變指標Lebesgue空間的大小空間嵌入,文獻[15]給出了變指數空間中加權Kato-Ponce不等式,文獻[16]給出了無界擬距離空間中變指數空間上的極大算子理論,文獻[17]給出了變指數函數空間中,通過奇異積分算子與分數階積分算子的交換子刻畫Lipschitz函數的過程等。

2 定理的證明

為了論述上的方便,本文只證明k=1的情形，k>1的情形可由數學歸納法得來。

在證明本文結論之前,先給出下述引理：

則W1,p(x)(Ω)→Lq(x)(Ω)。

證明對于任何u∈W1,p(x)(Ω){0},只需證明u∈Lq(x)(Ω)，記

在3種情況下研究引理1。此后,用Ci和C表示與u無關的正常數。

(2)

(3)

顯然,f∈LQ/(Q-1)(Ω),因此

(4)

易知

(5)

由于

故有

(6)

由式(4)～(6)及(3)得

(7)

記

下面分別估算J1、J2、J3。

由Young不等式知

(8)

根據引理1(h3)及

易知

(9)

根據(h1)及

易知

(10)

由式(8)～(10)及式(2)得

(11)

又

其中ε是充分小的正數。因此有

(12)

和

(13)

其中式(13)可由 (h3) 而得。

根據式(10),令t0>1,有

(14)

令

設

則式(13)意味著 0

令

(15)

那么

因為

和

所以有

(16)

為了估算J3,令t0>1,那么有

(17)

令

(18)

根據(h3)得

0

假設Ω1和Ω2如同式(15)中那樣定義,根據式(17)和(18)可得

(19)

由式(7)(11)(16)及(19)得

(20)

整理式(20)并用C表示一個新常數，得

(21)

如果λ≥1,那么易由式(21)得

(22)

不失一般性,假設C0>1,如果λ<1,則式(22)自然成立。因此,需要證明存在C0>1,C0與u無關,使得

(23)

(24)

情形2對任何u∈W1,p(x)(Ω)∩L∞(Ω),證明其滿足式(24)。

令 {ψn}?C∞(RN,R)(n=1,2,…) 滿足

ψn(x)=1, ?|x|≤n;ψn(x)=0,?|x|≥n+2;ψn(x)∈[0,1],|Xψn(x)|≤1,?x∈RN

顯然,

|Xun(x)|≤|ψn(x)Xu(x)|+|u(x)Xψn(x)|≤|Xu(x)|+|u(x)|

根據式(24)得

因為un(x)→u(x) a.e.x∈Ω,根據Fatou’s引理有

(25)

其中C>1,C是與u無關的常數。

情形3對任何u∈W1,p(x)(Ω),證明其滿足式(24)。

對于n=1,2,…,令

則un∈W1,p(x)(Ω)∩L∞(Ω)，注意到

由式(25)知

因為un(x)→u(x) a.e.x∈Ω,根據Fatou’s引理有

因此,u∈Lq(x)(Ω)，即W1,p(x)(Ω)?Lq(x)(Ω)。

定理1的證明令q(x)=p*(x),則q(x) 滿足引理1的條件,因此存在連續嵌入W1,p(x)(Ω)→Lq(x)(Ω)。

對于滿足定理1條件的任何可測函數q(x),令u∈W1,p(x)(Ω),有

因此，u∈Lq(x)(Ω),即W1,p(x)(Ω)?Lq(x)(Ω)。

如果ε充分小,則有

要證明定理3,需要下面的引理。

則Δ中的每個實值函數均為勒貝格可積,且函數族Δ在Ω上等度絕對連續可積。

則存在連續嵌入W1,p(x)(Ω)→Lα(x)(Ω)。

令A?W1,p(x)(Ω) 有界,則A是Lα(x)(Ω) 的一個有界子集。因此,存在正常數L,使得

表示為

Δ={f|f(x)=|u(x)|q(x),u∈A}

令

Φ(t)=tε, ?t≥0

根據引理2知,Δ 在Ω上等度絕對連續可積。因為存在連續嵌入W1,p(x)(Ω)→W1,1(Ω) 和緊嵌入W1,1(Ω)→L1(Ω)，可知A?L1(Ω) 是相對緊的。令{un}?A,則{un}在L1(Ω) 上有收斂子序列。不失一般性,用{un} 表示。易知,un在Ω上依測度收斂于u。由此可以注意到{|un(x)|q(x)}?Δ 在Ω上等度絕對連續可積，因此

顯然,

|un(x)-u(x)|q(x)≤2p+(|un(x)|q(x)+|u(x)|q(x))

即{|un(x)-u(x)|q(x)} 在Ω上等度絕對連續可積，這樣有

因此,在Lq(x)(Ω) 上有un→u，這證明W1,p(x)(Ω) 的任何有界子集A是Lq(x)(Ω)的相對緊集。