借助幾何畫板提升學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)

王海伴 郭克璽

摘? 要 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出六項(xiàng)核心素養(yǎng)，為高中數(shù)學(xué)教學(xué)制定了課程總目標(biāo)。在高考二輪復(fù)習(xí)中突破傳統(tǒng)教學(xué)，從信息技術(shù)的視角，對(duì)高中數(shù)學(xué)拋物線的一個(gè)性質(zhì)進(jìn)行驗(yàn)證、探究、應(yīng)用、拓展推廣，有效培養(yǎng)學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);直觀想象;幾何畫板;主題教學(xué);數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn);拋物線;課程改革;深度學(xué)習(xí)

中圖分類號(hào)：G633.6? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

文章編號(hào)：1671-489X（2019）09-0093-03

1 前言

直觀想象重點(diǎn)是通過直觀感知客觀事物的形態(tài)與變化，認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系、變化規(guī)律，通過建立形與數(shù)的聯(lián)系來分析數(shù)學(xué)問題，尋求問題解決的思路。直觀想象是發(fā)現(xiàn)問題的基礎(chǔ)，也是邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象的思維基礎(chǔ)。當(dāng)下高中數(shù)學(xué)教學(xué)最大的難點(diǎn)在于知識(shí)內(nèi)容抽象難懂，需要學(xué)生由原來的感性認(rèn)識(shí)逐漸上升到理性認(rèn)識(shí)，這就要求教師將比較抽象的學(xué)術(shù)形態(tài)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為學(xué)生容易直觀感知的教育形態(tài)內(nèi)容。幾何畫板作為最出色的教學(xué)軟件之一，無疑可以在這一點(diǎn)上起到很大的幫助作用。

幾何畫板可以為教師提供豐富而便捷的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐平臺(tái)，方便教師開發(fā)自己需要的各種素材，能夠動(dòng)態(tài)展示對(duì)象的位置關(guān)系、變化規(guī)律，也能快速驗(yàn)證數(shù)學(xué)猜想，有利于促進(jìn)學(xué)生通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)問題與提出問題，有利于提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，也為有效落實(shí)其他高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)提供了基礎(chǔ)保障。本文從拋物線的一個(gè)性質(zhì)出發(fā)，借助幾何畫板驗(yàn)證、探究、應(yīng)用、拓展，在提升學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng)方面做了一些嘗試。

2 提出問題

已知直線l經(jīng)過，與拋物線x2=2py（p>0）交于A，B兩點(diǎn)，求證：這兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為某一定值。

在高三第二輪專題復(fù)習(xí)中，證明完這一性質(zhì)，為了加深學(xué)生對(duì)這一性質(zhì)的理解，增強(qiáng)學(xué)生直觀印象，筆者通過幾何畫板動(dòng)態(tài)演示了這一性質(zhì)。課后有學(xué)生通過幾何畫板發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線不在拋物線的焦點(diǎn)，而在拋物線對(duì)稱軸的任何位置，直線與拋物線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積仍為定值，并興奮地拿著自己的發(fā)現(xiàn)來請(qǐng)教。看著學(xué)生的這股熱情，筆者便專門為這一性質(zhì)準(zhǔn)備了一個(gè)主題教學(xué)。

3 教學(xué)過程簡(jiǎn)述

著名教育家波利亞說過：“發(fā)現(xiàn)問題比解決問題更重要。”新一輪課程改革，在原有“雙基”的基礎(chǔ)上提出“四基”“四能”，這也就意味著在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力提出明確要求，這也是當(dāng)下高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)中亟待解決的問題。

問題探究

已知直線l經(jīng)過N（0，m），與拋物線x2=2py（p>0）交于A，B兩點(diǎn)，求證：這兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為常數(shù)。

如圖1所示，前面提到的那位學(xué)生通過幾何畫板演示自己的發(fā)現(xiàn)，利用幾何畫板的度量功能，可以清楚地觀察到：當(dāng)直線l圍繞定點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)A，B橫坐標(biāo)之積xAxB仍為定值。學(xué)生很驚訝！當(dāng)然，發(fā)現(xiàn)問題的這位學(xué)生很是自豪。

可以看到幾何畫板功能的合理利用是觸發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的關(guān)鍵原因之一。適當(dāng)深度應(yīng)用信息技術(shù)可視化教學(xué)，在提升學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的同時(shí)，也為下面的邏輯推理奠定了基礎(chǔ)。接下來，師生一起類比前面的證明過程，對(duì)這一結(jié)論進(jìn)行證明，過程如下。

設(shè)直線l為y=kx+m，l交拋物線x2=2py（p>0）于A（x1，

y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)。由可得x2-2pkx-2pm=0，所以x1x2=-2pm。

師：當(dāng)拋物線以x軸為對(duì)稱軸，會(huì)有類似的情況嗎？

生（異口同聲）：有。

師：說說你們的結(jié)論。

生1：已知直線l經(jīng)過N（m，0），與拋物線y2=2px（p>0）交于A，B兩點(diǎn)，應(yīng)該有這兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之積也為某一定值。

數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)、提出，建立在直觀感知、空間想象的基礎(chǔ)上，幾何畫板將原本冰冷、抽象、難理解的死圖，轉(zhuǎn)化為火熱、形象、易觀察的活圖，從而激活了學(xué)生本有的好奇心，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，激活了課堂。學(xué)生利用幾何畫板一方面直觀感知圖形中點(diǎn)、線的變化情況，另一方面仔細(xì)觀察A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)值的變化情況，然后操作確認(rèn)，從而有效提升了直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，也為落實(shí)其他數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)提供了保證。

實(shí)踐應(yīng)用

師：上述這一性質(zhì)能否幫助我們解決問題？請(qǐng)看下列實(shí)例。

【實(shí)例1】已知定點(diǎn)P（x0，y0）在拋物線x2=2py（p>0）上，過定點(diǎn)P作兩直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，當(dāng)直線PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求證：為某一定值。

師：同學(xué)們想怎樣研究這一問題？

生2：先采用幾何畫板來驗(yàn)證這一結(jié)論的正確性。

如圖2所示，教師與學(xué)生一起快速畫圖，拖動(dòng)點(diǎn)A，學(xué)生直觀感受直線PA隨著點(diǎn)A的變化而變化，直線PB相應(yīng)地也在發(fā)生變化，但幾何畫板度量的值為定值-2。學(xué)生蠢蠢欲動(dòng)，很想探個(gè)究竟;教師因勢(shì)利導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生證明。

證明：設(shè)直線PA與PB分別交拋物線對(duì)稱軸于M（0，m）、N（0，n），因?yàn)橹本€PA與PB的傾斜角互補(bǔ)，所以直線PA與PB關(guān)于y=y0對(duì)稱，則m+n=2y0。由上述結(jié)論可知，x0x1=

-2pm，x0x2=-2pn，則，，這樣，得到。

師：大家還能提出類似問題嗎？我們繼續(xù)來看。

【實(shí)例2】已知點(diǎn)P（2，1），過點(diǎn)P作兩直線交拋物線x2=

4y于A（x1，y1），B（x2，y2），當(dāng)直線PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求證：kAB為某一定值。

與前面一樣，師生共同先采用幾何畫板來驗(yàn)證這一結(jié)論的正確性，師生一起快速畫圖，拖動(dòng)點(diǎn)A，直線PA隨著點(diǎn)A變化，直觀感受直線PB相應(yīng)地也在發(fā)生變化，幾何畫板度量直線AB的斜率kAB恒為定值-1。學(xué)生再次被眼前這一現(xiàn)象吸引，對(duì)問題的解決表現(xiàn)出極大的興趣與熱情。學(xué)生通過直觀感受直線位置關(guān)系的變化，實(shí)驗(yàn)操作確認(rèn)數(shù)量關(guān)系的變與不變，有效提升直觀想象核心素養(yǎng)，同時(shí)為進(jìn)行邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算做好準(zhǔn)備。（證明過程略。）

師：實(shí)例2能否進(jìn)一步推廣？請(qǐng)大家試一試。

生3：我感覺如果定點(diǎn)P變?yōu)樵搾佄锞€上任意一定點(diǎn)，可能也應(yīng)該具有kAB為某一常數(shù)。

師：請(qǐng)同學(xué)們舉例說明。

生4：我嘗試表述：已知點(diǎn)P（x0，y0），點(diǎn)P在拋物線x2=2py（p>0）上，過定點(diǎn)P作兩直線交拋物線于A（x1，y1），

B（x2，y2）兩點(diǎn)，直線PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，kAB依然為某一常數(shù)。

引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立證明上述一般性結(jié)論。

此時(shí)，教師隨手通過幾何畫板做出拋物線在點(diǎn)P處的切線，利用度量工具計(jì)算拋物線在點(diǎn)P處的切線斜率。在拋物線上移動(dòng)點(diǎn)B，學(xué)生直觀感知直線PA與PB的變化情況，但是注意到直線AB的斜率kAB與拋物線在點(diǎn)P處的切線斜率永遠(yuǎn)互為相反數(shù)。這樣就又一次激發(fā)了學(xué)生探究問題的熱情。

師：怎樣求曲線在某一點(diǎn)處的切線方程？

生：利用導(dǎo)數(shù)。

教：還有其他方法嗎？

生：聯(lián)立方程，利用Δ來判斷。

學(xué)生計(jì)算獲得斜率為。在渴望、歡快、愉悅的氛圍中提升了學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)。

推廣拓展

師：今天同學(xué)們表現(xiàn)很棒。我們大家都明白，圓、橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱為二次曲線，拋物線具有的這個(gè)性質(zhì)，橢圓是否也具有？

生（興致很高，異口同聲）：利用幾何畫板驗(yàn)證。

已知， A、B是橢圓C：上的任意兩點(diǎn)，kPA+kPB=0，求證：kAB為常數(shù)。

通過幾何畫板建立橢圓的參數(shù)方程，畫出上述橢圓，學(xué)生直觀感受、實(shí)驗(yàn)操作旋轉(zhuǎn)直線PA，可以看到直線PB隨著變化。幾何畫板度量直線PA、直線PB的斜率都在變化，但是直線AB的斜率kAB恒為定值。教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行證明。

師：可以看出點(diǎn)的橫坐標(biāo)恰好為橢圓右焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)，直線AB的斜率恰好為橢圓的離心率，任意橢圓是否都具有上述性質(zhì)？

已知點(diǎn)，A，B是橢圓C：上任意兩點(diǎn)，kPA+kPB=0，求證：kAB為常數(shù)。

幾何畫板進(jìn)一步驗(yàn)證了猜想，并用類似的方法可以證明上述結(jié)論。學(xué)生猜想雙曲線也具有同樣類似的性質(zhì)，仍然通過幾何畫板快速畫圖、直觀感悟、實(shí)驗(yàn)操作、推理證明得出有關(guān)性質(zhì)：已知點(diǎn)，A，B是雙曲線C：上任意兩點(diǎn)，kPA+kPB=0，則kAB為常數(shù)。

整節(jié)課，學(xué)生被形與數(shù)的完美結(jié)合深深吸引，在輕松愉悅的氛圍中觀察、感知、實(shí)驗(yàn)操作、推理驗(yàn)證、拓展推廣，以發(fā)展直觀想象為出發(fā)點(diǎn)，提升了數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)，在渴望結(jié)論的證明中提升了邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算的核心素養(yǎng)。通過合理應(yīng)用幾何畫板，高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)在歡快、活躍的課堂氛圍中落到實(shí)處。

4 結(jié)語

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是育人價(jià)值的集中體現(xiàn)，是學(xué)生通過學(xué)科學(xué)習(xí)而逐步形成的正確價(jià)值觀、必備品格和關(guān)鍵能力[1]。由此可見，高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)的有效落實(shí)必須建立在學(xué)生積極主動(dòng)參與、合作的基礎(chǔ)上。而當(dāng)下的高三數(shù)學(xué)教學(xué)在短平快的節(jié)奏下，對(duì)學(xué)生進(jìn)行大量的習(xí)題訓(xùn)練，效率不高，最關(guān)鍵的原因是學(xué)生參與度不高，感受不到學(xué)習(xí)的快樂、成長(zhǎng)的快樂，很難落實(shí)核心素養(yǎng)培養(yǎng)。而信息技術(shù)的合理利用，讓學(xué)生在直觀、形象的圖形變化中感悟數(shù)與形的結(jié)合、變與定的統(tǒng)一，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，注重學(xué)生的心理感受，為提升學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)提供了基本保障。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，提倡獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展[1]。通過信息技術(shù)與數(shù)學(xué)問題的深度融合，切合學(xué)生的興趣點(diǎn)，打通直觀形式與抽象形式的聯(lián)系，教師通過幾何畫板以增強(qiáng)學(xué)生直觀想象為目的，意外促使學(xué)生直觀感知、由特殊到一般，簡(jiǎn)單推理發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，看似偶然，實(shí)屬必然。可以看出，直觀想象是數(shù)學(xué)問題發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)，反過來，數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)過程提升了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。以幾何畫板為輔助手段，探究數(shù)學(xué)未知問題，應(yīng)用新得出的結(jié)論，拓展推廣數(shù)學(xué)結(jié)論，這一過程也正是深度學(xué)習(xí)方式下落實(shí)直觀想象素養(yǎng)培養(yǎng)的過程。

直觀想象核心素養(yǎng)，作為高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，能否有效提升，在一定程度上直接影響著數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、運(yùn)算能力等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與發(fā)展。換句話說，其他核心素養(yǎng)在一定程度上受限于直觀想象。好奇是學(xué)生的本性，是想象的源泉，提升學(xué)生核心素養(yǎng)，需要保持好學(xué)生天生的好奇心。信息技術(shù)的合理利用，讓學(xué)生在詫異、好奇中感知數(shù)與形的美妙變化，他們自然會(huì)在動(dòng)腦、動(dòng)口、動(dòng)手中提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。合理利用信息技術(shù)平臺(tái)，為學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)提供了可能，為學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題本質(zhì)奠定了基礎(chǔ)，為提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)提供了基本生長(zhǎng)點(diǎn)。

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018：3-4.