雙級正弦活齒傳動系統效率計算與實驗研究

楊紀楠

許立忠燕山大學機械工程學院,秦皇島,066004

0 引言

活齒傳動具有結構緊湊、傳動效率高、傳動范圍廣和承載能力大等優點，可用于機器人關節、航空航天、精密儀器、油井勘探等技術領域。20世紀八十年代以來，美國學者相繼提出了無齒輪減速器、消減和添加差動齒輪減速系統[1-2]；日本學者研究了單擺線活齒傳動的運動原理，強度設計，曲率、壓力角的計算和傳動效率[3-6]。21世紀以來，學者們對活齒傳動的研究更加深入。LI等[7]進行了正弦活齒傳動的失效分析。TERADA等[8-9]提出了兩段式擺線鋼球減速器，完成了驅動輪廓的計算，并將其成功應用到機器人關節中。LIANG等[10]對擺線活齒傳動的齒廓特性和強度計算進行了研究。SAPSALEV等[11]開發出了循環無齒電機驅動減速器，并對其進行了優化和改進。NAM等[12]設計了活齒薄板式減速器，并將其應用于機器人領域。NISHIBE等[13]研究了偏心活齒驅動系統，并將其用于驅動機器人手臂。XU等[14-15]設計了電磁諧波活齒傳動系統，該系統大大減小了機電驅動系統的整體尺寸，隨后XU等[16]又提出了雙級正弦活齒傳動系統。

在上述提到的活齒傳動中，雙級正弦活齒傳動在傳動比相同的情況下具有最小的徑向尺寸，特別適用于石油鉆機和機器人手臂等技術領域。然而，隨著傳動尺寸的減小，軸承等處的摩擦損耗占比提高，顯著影響了傳動系統的工作效率。因此，本文對該種傳動系統的工作效率進行研究，分析不同結構參數對傳動效率的影響規律。

1 工作原理

雙級正弦活齒傳動系統主要由5個基本元件組成 (圖1)：①帶有外正弦滾道的輸入軸，其滾道周期數用Z1表示(圖中Z1=1) ；②帶有活齒槽和外正弦滾道的一級導架，其滾道周期數用Z2表示(圖中Z2=1) ；③帶有兩排內正弦滾道的殼體，其滾道周期數分別用Z3和Z4表示(圖中Z3=5，Z4=5 )；④二級導架(輸出端)；⑤活齒(12個滾珠，每級導架6個)。

圖1 雙級正弦活齒傳動模型Fig.1 Two-step sine movable tooth drive

當中心輸入軸轉動時，第一排活齒在外正弦滾道的推動作用下運動，同時受到殼體內正弦滾道的約束而繞中心輸入軸與殼體的公共軸線做等速圓周運動。同時活齒推動一級導架輸出運動與動力；第二排活齒在一級導架外正弦滾道的推動作用下運動，受到殼體內正弦滾道的約束而繞一級導架與殼體的公共軸線做等速圓周運動，將輸出的動力輸入到第二級傳動上，最終通過二級導架輸出整個傳動機構的運動與動力。應用UG10.0運動仿真模塊對設計的雙級正弦活齒傳動系統進行運動仿真，該傳動系統能夠按要求正常運轉，驗證了該種傳動原理的正確性。圖1所示雙級正弦活齒傳動系統的主要參數見表1。

表1 雙級正弦活齒傳動系統參數

2 效率公式

在不計活齒嚙合副之間的摩擦力與活齒重力情況下，建立空間活齒的局部坐標系σ(Oxyz)，活齒球心為坐標原點，x軸、y軸和z軸分別代表活齒嚙合傳動的徑向、周向和軸向，則各構件對活齒的接觸力都通過活齒的球心并沿活齒齒面的法線方向。圖2所示為作用在活齒上的各接觸力的位置關系。

(a)活齒受力(b)輸入軸對活齒的接觸力

(c)導架對活齒的接觸力(d)殼體對活齒的接觸力圖2 活齒受力關系圖Fig.2 Forces on movable tooth

根據圖2中各接觸力的空間位置關系，對活齒列力平衡方程如下：

(1)

其中輸入軸的外正弦滾道對活齒的接觸力為F1i，接觸角為αn1i；導架的活齒槽對活齒的接觸力為F2i；殼體內正弦滾道對活齒的接觸力為F3i，接觸角為αn3i；各嚙合副間瞬時接觸線的方向角為uji(j=1，3)。

將活齒與輸入軸之間的接觸力F1i分解為徑向力F1ix和徑向法截面方向的力F1iyz，假定輸入軸瞬時不發生運動，給活齒施加一個順時針方向的力矩T1(輸入力矩)。在該輸入力矩作用下，各個活齒與輸入軸滾道接觸處都會受到力的作用，從而產生彈性變形，使活齒中心轉過一個微角度Δφ，則各活齒中心相應地發生一個相同的微周向位移Δs。由變形協調條件知，Δs在F1iyz方向上的分量與F1iyz成正比，即F1iyz∝Δscosu1i，故有下式成立[16]：

(2)

F1iyz=F1isinαn1u1max=arctan(R1/(AZ1))

式中，R1為輸入軸外正弦滾道空間徑向半徑；A為空間正弦滾道的幅值。

對輸入軸列力矩平衡方程如下：

(3)

式中，T1為輸入力矩，即電機輸出力矩Tem；n1為第一級傳動系統的活齒個數。

聯立式(2)和式(3)得

(4)

利用平均法求和式得到

(5)

則由式(4)和式(5)可得

(6)

(7)

根據正弦活齒傳動中的空間幾何關系，有

(r′-r)(cosαn1i-cosαn3i)=R1-R3

(8)

式中，r、r′分別為活齒半徑和正弦滾道半徑；R3為殼體內正弦滾道空間徑向半徑。

聯立式(1)、式(7)、式(8)得

(9)

化簡整理得到

(10)

由正弦活齒傳動原理可知，動力由主動軸輸入，活齒在固定的殼體內正弦滾道和轉動的外正弦滾道的共同約束下與導架嚙合，將運動和動力從導架輸出。通過對活齒的受力分析可知，導架對單個活齒的作用力為F2i。由牛頓第三定律可知，單個活齒對導架的作用力大小也為F2i。設有n1個活齒參與嚙合的傳動，對導架列力矩平衡方程，得到系統的輸出力矩為

(11)

對于第二級傳動而言，活齒受力方程組與式(9)相同，僅僅是輸入力矩發生了變化。將第一級傳動系統的輸出力矩Tn1作為第二級傳動系統的輸入力矩，就能得到第二級傳動系統的受力方程。設第二級傳動的活齒數為n2，一級導架和殼體對活齒的接觸角分別為αn2i和αn4i，各作用力含義與前文類似，僅加上標“(2)”作為區分，因此得到第二級傳動的活齒受力方程為

(12)

ujmax=arctan(Rj/(AZj))j=2,4

式中，R2為一級導架外正弦滾道空間徑向半徑；R4為殼體內正弦滾道空間徑向半徑。

對式(12)整理化簡，可得二級導架對活齒作用力的解析式：

(13)

則雙級正弦活齒傳動的總輸出力矩

(14)

傳動效率的表達式為

(15)

式中，T1為輸入轉矩；T2為輸出轉矩；i為傳動比。

將式(11)中的Tn1作為第一級傳動的輸出力矩，Tem為輸入力矩，代入式(15)得到第一級活齒傳動效率公式

(16)

對于第二級傳動來講，將式(14)中的Tn2作為第二級傳動的輸出力矩，Tn1為輸入力矩，代入式(15)得到二級活齒傳動效率公式：

(17)

3 效率計算與實驗

應用以上方程，將表1中參數代入式(16)、式(17)中，得到雙級正弦活齒傳動系統的傳動效率如圖3所示。由圖3可知：

(1)在雙級正弦活齒傳動系統中，傳動效率呈周期性變化，這是因為系統輸出力矩隨著輸入軸轉角周期性變化，變化周期為活齒受力周期。對于第一級活齒傳動，其變化周期為6π/5，由于第一級傳動比為6，故第二級變化周期相對于第一級擴大了6倍，其周期為36π/5。

(2)對于第一級活齒傳動，當φ=0和φ=6π/5時，瞬時效率取得最小值，最小值為66.87%，當φ=3π/5時，瞬時效率取得最大值，最大值為92.41%，其平均值為79.59%。因輸出力矩是在6個活齒共同作用下產生的，故第一級傳動效率呈現正弦性周期波動。

圖3 雙級正弦活齒傳動系統傳動效率Fig.3 Efficiency of the two-step sine movabledrive system

(3)對于第二級活齒傳動，當φ=18π/5時，瞬時效率取得最小值，最小值為46.29%，當φ=33π/5時，瞬時效率取得最大值，最大值為82.05%，其平均值為62.65%，波動比為30.9%。第一級傳動的輸出力矩Tn1作為第二級傳動的輸入力矩，相對于初始力矩Tem增大的同時，呈現正弦周期性變化，因此第二級活齒傳動效率不再是標準的正弦曲線。

從表1中可以發現，雙級正弦活齒傳動的主要設計參數有正弦滾道幅值A，活齒中心圓周方向旋轉半徑R和傳動比i，其中傳動比與內外正弦滾道周期數有關。本文通過改變A、R和i在兩級間的分配研究參數變化對傳動效率的影響。傳動效率η隨A、R和i分配的變化曲線如圖4～圖6所示。由圖4～圖6可知：

圖4 η隨A的變化曲線Fig.4 Changes of efficiency along with A

圖5 η隨R的變化曲線Fig.5 Changes of efficiency along with R

圖6 η隨i1×i2的變化曲線Fig.6 Changes of efficiency along with i1×i2

(1)隨著正弦滾道幅值A的增大，傳動效率的最大值和平均值增大，但增加幅度不大，產生瞬時效率最值的位置不變。當A為0.5，1.5和2.5 mm時，其傳動效率的平均值分別為60.56%，62.65%和64.74%，但其波動比不變，仍為30.9%。

(2)隨著活齒中心旋轉半徑R的增大，傳動效率的最大值和平均值增大，且增大幅度明顯，產生瞬時效率極值的位置不變。當R為8.5，10.5和12.5 mm時，其傳動效率的平均值分別為57.07%，62.65%和69.19%，波動比略有增大。當R=12.5 mm時，其傳動效率最大值和平均值分別為91.39%和69.19%，波動比為32%，變化幅度不大。

(3)當總傳動比一定時，傳動效率可以隨著兩級傳動比的不同分配得到提高。當第一級傳動比大于第二級傳動比時，傳動效率得到提高且波動比減小，輸出更平穩。當傳動比分配分別為9×4和4×9時，其傳動效率的平均值分別為72.27%和35.7%，波動比分別為30.9%和55.1%，可以看出，傳動比分配為9×4時的傳動效率近似為傳動比分配為4×9時的兩倍，且波動比減小了近一半。

通過以上分析可知，為了得到效率更高的傳動系統，在滿足設計要求的情況下，應適當提高正弦滾道幅值A、活齒中心旋轉半徑R和合理的傳動比分配，在總傳動比一定的情況下，第一級傳動比越大，傳動效率越高，波動越小，輸出更穩定。

為了驗證以上分析，設計了雙級正弦活齒傳動實驗樣機(參數見表1)。樣機采用德國DMU 60 monoBLOCK五軸立式加工中心對內外正弦滾道進行加工制造。因輸入軸和一級導架外正弦滾道周期數僅為1，故在加工時難度較低，在保證對刀精度的情況下，按照設計好的滾道加工程序進行加工。圖7所示為主動軸外正弦滾道加工實況，為保證樣機在運轉過程中更加連續，對加工完之后的滾道邊緣進行0.3 mm的圓角處理，以保證活齒在滾道面運轉過程中更加光滑連續。一級導架外正弦滾道的設計參數與主動軸外正弦滾道設計參數相同，故外正弦滾道加工過程與主動軸相同。圖8所示為雙級正弦活齒傳動系統的主要零件。圖9為雙級正弦活齒傳動系統裝配完成圖。

圖7 主動軸外正弦滾道加工Fig.7 Manufacture for outer sine ball track

圖8 雙級正弦活齒傳動主要零件Fig.8 Main parts for two-step sine movable tooth drive

圖9 雙級正弦活齒傳動樣機Fig.9 Drive model machine of two-step sin e movable tooth

圖10所示為測量傳動效率的實驗裝置，該實驗裝置主要由雙級正弦活齒傳動樣機、輸入電機、電機控制器、扭矩傳感器、 CHB型測力儀表、 磁粉制動器、磁粉傳感器控制儀表組成。

圖10 測量傳動效率的實驗裝置 Fig.10 Experimental apparatus of testin g transmission efficiency

將雙級正弦活齒傳動樣機在低速下空載跑合后，測量該傳動樣機在輸入轉速分別為180，240，300，360和420 r/min時的實驗數據。應用MATLAB軟件對所測數據進行整合，得到該傳動樣機在不同轉速下的傳動效率隨負載之間的變化曲線，見圖11。由圖11可知：

圖11 樣機傳動效率Fig.11 Efficiency for the model machine

(1)在相同轉速下，樣機的傳動效率η先隨負載轉矩T2的增大而增大，當負載轉矩達到一定數值時，傳動效率開始減小，當負載轉矩繼續增大達到一定數值時，傳動效率基本保持不變。

(2)對于該傳動樣機，當輸入轉速分別為180，240，300，360和420 r/min時，傳動效率最大值均出現在負載轉矩T2=1.2 N·m處。不同轉速下的最大傳動效率如表2所示。最大效率值隨轉速變化曲線見圖12。根據表2和圖12可以看出，當輸入轉速n1=360 r/min時，最大傳動效率η′達到67.66%，在轉速為360 r/min附近，不管轉速是增大還是減小，最大傳動效率均略有減小，可知n1=360 r/min時得到的雙級正弦活齒傳動的效率為最大傳動效率。隨著轉速的增大，效率最大值穩定在65%左右。

表2 最大傳動效率η′

圖12 最大傳動效率隨輸入轉速變化曲線Fig.12 Changes of the maximum efficiency alon g with speed

(3)隨著負載轉矩的增大，傳動效率保持在40%左右不再改變，說明高負載情況下，傳動效率受其負載影響不明顯。

(4)當n=60，120，180，240，300，360和420 r/min時，實驗測得最大傳動效率與理論效率平均值相差分別為2.9%，0.1%，1.3%，2.9%，4.4%，7.9%和6.8%。效率實驗結果與理論計算值接近，驗證了本文理論分析的正確性。其中當轉速較低時，實驗值與理論值偏差很小；當轉速較高時，實驗值與理論值偏差相對較大(達到7.9%和6.8%)。其主要原因在于：①速度增大會導致輸入軸及輸出軸力矩波動性增大，影響力矩傳感器讀數精度，由此而產生一定的測量誤差；②速度增大還會導致傳動系統中附加內部動載荷以及附加外部動載荷的增大，影響傳動系統的瞬時效率。本文所推導的效率公式尚未考慮動載荷對傳動系統工作效率的實際影響。考慮動載荷因素進一步提升雙級正弦活齒傳動效率的計算精度是下一步研究的重點。

4 結論

本文針對雙級正弦活齒傳動系統，推導出了傳動效率計算公式，計算得到了該傳動系統的平均傳動效率為62.65%。分析了不同結構參數對傳動效率的影響，結果表明：為了提高傳動效率，應該增大正弦滾道幅值、增大活齒中心圓周方向旋轉半徑以及合理分配傳動比。按照設計參數研制出了雙級正弦活齒傳動樣機，進行了傳動效率實驗，結果表明：計算效率與實驗效率結果接近。研究結果對于該種傳動系統的設計與制造具有參考價值。