基于自適應(yīng)遺傳算法的MEMS加速度計快速標(biāo)定方法

高爽，張若愚

（北京航空航天大學(xué) 儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，北京100083）

作為慣性測量系統(tǒng)的核心元件，微慣性測量單元（MIMU）是微機(jī)電系統(tǒng)（MEMS）的一個重要分支，具有體積小、成本低、質(zhì)量輕、功耗低和耐沖擊性等優(yōu)點(diǎn)，在普通民用和戰(zhàn)略軍用導(dǎo)航等領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景［1］。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，由于MEMS器件誤差及系統(tǒng)誤差受慣性測量單元的結(jié)構(gòu)設(shè)計、外部環(huán)境等因素影響較大，MEMS慣性器件的精度成為制約MIMU導(dǎo)航性能的主要技術(shù)瓶頸之一。因此，MIMU的標(biāo)定補(bǔ)償成為低精度慣性導(dǎo)航領(lǐng)域的一大研究熱點(diǎn)［2］。

分立式標(biāo)定方法操作復(fù)雜，步驟繁瑣，標(biāo)定精度主要由轉(zhuǎn)臺精度決定。由于MIMU標(biāo)定精度要求低、大批量生產(chǎn)等特點(diǎn)，需尋求簡單易行的快速標(biāo)定方法。為克服傳統(tǒng)標(biāo)定方法的弊端，L?tters等［3］首次提出基于模觀測的加速度計標(biāo)定方法，將標(biāo)定問題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題。在模觀測標(biāo)定中，研究關(guān)鍵在于非線性方程組的求解，其中，最常用的方法是迭代算法。Frosio等［4］采用牛頓迭代法求解非線性方程組，實(shí)現(xiàn)MEMS加速度計的外場自動標(biāo)定，標(biāo)定精度比傳統(tǒng)標(biāo)定方法提升一個數(shù)量級；Won和Golnaraghi［5］應(yīng)用非線性最小二乘法進(jìn)行迭代計算，在獲得待標(biāo)定參數(shù)的前提下降低了運(yùn)算時間；Fong等［6］將下山單純形算法應(yīng)用于最小化目標(biāo)函數(shù)，為加速度計的免轉(zhuǎn)臺標(biāo)定提供了理論基礎(chǔ)。然而，迭代算法存在的問題是求解過程復(fù)雜，初始值選取的優(yōu)劣直接影響其收斂性和迭代結(jié)果。針對迭代算法存在的不足，基于迭代思想的智能算法以其在優(yōu)化求解中的適用性、魯棒性等突出優(yōu)勢，為標(biāo)定優(yōu)化問題提供了一種新思路。戴邵武等［7］采用粒子群優(yōu)化（PSO）算法對加速度計進(jìn)行快速標(biāo)定，但未進(jìn)行標(biāo)定方法的現(xiàn)場試驗(yàn)驗(yàn)證；楊管金子等［8］利用遺傳算法（GA）完成加速度計的免轉(zhuǎn)臺標(biāo)定，但未實(shí)現(xiàn)對安裝誤差參數(shù)的標(biāo)定。

針對以上問題，在不依賴轉(zhuǎn)臺的前提下，本文提出了一種基于自適應(yīng)遺傳算法的MEMS加速度計快速標(biāo)定方法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法能快速準(zhǔn)確標(biāo)定出全部誤差參數(shù)，縮短標(biāo)定時間，提高標(biāo)定精度，且標(biāo)定后能達(dá)到與傳統(tǒng)標(biāo)定方法相同量級的姿態(tài)精度。

1 加速度計標(biāo)定模型

1.1 加速度計輸出模型

在實(shí)際應(yīng)用中，由于工作原理、制造工藝及使用環(huán)境等因素的影響，MIMU測量的輸出信息通常會含有誤差，測量輸出應(yīng)根據(jù)輸入加速度信息和誤差項(xiàng)建立數(shù)學(xué)模型。MIMU中加速度計的輸出誤差模型為

式中：［NxNyNz］T為加速度計的測量輸出；［fxfyfz］T為 加 速 度 計 的 實(shí) 際 輸 入；［BxByBz］T為加速度計的常值零偏；Sii（i=x，y，z）為加速度計的標(biāo)度因數(shù)；Eij=Sii·Mij（i，j=x，y，z），Mij為加速度計的安裝誤差。

根據(jù)式（1）加速度計的輸入輸出關(guān)系，將加速度計的零偏、標(biāo)度因數(shù)和安裝誤差進(jìn)行補(bǔ)償后，可得載體的實(shí)際加速度。補(bǔ)償后的加速度計輸出模型為

1.2 模觀測標(biāo)定原理

在靜止?fàn)顟B(tài)下，加速度計的測量輸出滿足：

對式（3）兩側(cè)分別取模值：

在靜止?fàn)顟B(tài)下，加速度計測量輸出的模總是等于當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊哪＃c加速度計的姿態(tài)無關(guān)［9］。因此，以加速度計測量輸出的模為觀測量，可實(shí)現(xiàn)對加速度計誤差參數(shù)的標(biāo)定。

根據(jù)模觀測原理，將補(bǔ)償后的加速度計輸出模型代入式（4）后取平方得

式中：Ka、Na、Ba分別與式（1）中元素相對應(yīng)，Ka為標(biāo)度因數(shù)和安裝誤差矩陣，Na為測量輸出矩陣，Ba為零偏矩陣。

式（5）為單位置下加速度計的非線性輸出方程。為求解標(biāo)定參數(shù)，需對多位置下的測量輸出進(jìn)行觀測，即聯(lián)立非線性方程組。然而，由于器件固有的噪聲和外界環(huán)境干擾等因素，加速度計實(shí)際輸出的模與重力加速度之間存在誤差，非線性方程組可改寫為誤差函數(shù)的形式：

式中：θ=［KaBa］為待標(biāo)定參數(shù)；N為測試位置數(shù)。

通過構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，以標(biāo)定參數(shù)為狀態(tài)量，可將非線性方程組的求解問題轉(zhuǎn)化為非線性函數(shù)的優(yōu)化問題，通過最小化目標(biāo)函數(shù)實(shí)現(xiàn)對誤差參數(shù)的標(biāo)定。

2 基于自適應(yīng)遺傳算法的標(biāo)定參數(shù)求解

遺傳算法是一種借鑒生物界自然選擇和遺傳機(jī)制發(fā)展起來的隨機(jī)搜索優(yōu)化算法，基于適者生存的原則，通過模擬自然進(jìn)化在種群內(nèi)的優(yōu)勝劣汰實(shí)現(xiàn)對最優(yōu)解的搜索［10］。遺傳算法以群體搜索和個體間的信息交換為準(zhǔn)則，采用概率法隨機(jī)尋優(yōu)，以其并行性、魯棒性及自適應(yīng)性等突出優(yōu)勢被廣泛應(yīng)用于系統(tǒng)辨識、故障診斷、自動控制等領(lǐng)域中復(fù)雜優(yōu)化問題的求解［11-13］。

基于遺傳算法的全局搜索能力，本文將遺傳算法應(yīng)用于MEMS加速度計的快速標(biāo)定，建立目標(biāo)函數(shù)與遺傳算法適應(yīng)度函數(shù)的關(guān)系，在全局范圍內(nèi)搜索標(biāo)定參數(shù)的最優(yōu)解。隨機(jī)產(chǎn)生初始種群開始最優(yōu)解迭代搜索，對種群中的個體進(jìn)行適應(yīng)度計算，以最大適應(yīng)度為標(biāo)準(zhǔn)，更新最優(yōu)適應(yīng)度和最優(yōu)染色體，通過選擇、交叉和變異等遺傳操作生成下一代種群，進(jìn)行當(dāng)前種群的個體適應(yīng)度計算。如此循環(huán)迭代，直至滿足優(yōu)化終止條件，獲得最優(yōu)個體。算法流程如圖1所示。

2.1 初始種群與編碼

以標(biāo)定參數(shù)作為種群中的個體，根據(jù)加速度計輸出模型反推出最優(yōu)解的取值范圍，形成初始搜索區(qū)間。為避免連續(xù)函數(shù)離散化的映射誤差，減少編碼解碼的復(fù)雜運(yùn)算，本文采用實(shí)數(shù)編碼代替?zhèn)鹘y(tǒng)的二進(jìn)制編碼方法，在搜索區(qū)間內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生實(shí)數(shù)串?dāng)?shù)據(jù)生成初始種群，以該數(shù)據(jù)作為初始種群開始迭代［14］。

2.2 適應(yīng)度計算

適應(yīng)度函數(shù)又稱為評價函數(shù)，是根據(jù)目標(biāo)函數(shù)確定的判別種群中個體優(yōu)劣性的評價標(biāo)準(zhǔn)［15］。式（6）是加速度計測量輸出模值與當(dāng)?shù)刂亓铀俣饶Ｖ档恼`差函數(shù)，通過適當(dāng)變換可得遺傳算法的適應(yīng)度函數(shù)為

式中：E（ij）（θ）為第i代種群中第j個個體對應(yīng)的誤差函數(shù)值。適應(yīng)度函數(shù)F（ij）（θ）為該誤差函數(shù)的倒數(shù)。最大適應(yīng)度對應(yīng)的個體作為當(dāng)前種群的最優(yōu)個體被保存下來，進(jìn)入下一代種群繼續(xù)尋優(yōu)。

2.3 選擇、交叉與變異

選擇、交叉與變異等遺傳操作能夠有效增加種群多樣性，避免算法陷入局部最優(yōu)，提升全局搜索能力。選擇操作根據(jù)個體的適應(yīng)度從上一代種群中擇優(yōu)選擇個體復(fù)制到下一代種群，通過選擇過程，種群中的最優(yōu)個體不斷更新，體現(xiàn)了優(yōu)勝劣汰的進(jìn)化原則。本文采用均勻排序的選擇方法，對種群中的個體適應(yīng)度大小進(jìn)行排序，分配各個個體被選擇的概率，使適應(yīng)度高的個體具有更高的存活概率。

交叉操作是遺傳算法中的核心運(yùn)算，通過模擬遺傳學(xué)的雜交原理，將種群中的2個個體隨機(jī)搭配，以交叉概率交換部分染色體形成新的個體，體現(xiàn)出信息交換的思想。變異操作將種群的每個個體以變異概率任意改變基因值，維持種群的多樣性，抑制算法過早收斂。在傳統(tǒng)遺傳算法中，通常采用固定的交叉概率（Pc=0.4～0.99）和變異概率（Pm=0.000 1～0.1），在復(fù)雜優(yōu)化問題中存在收斂速度慢及早熟現(xiàn)象等問題。本文采用自適應(yīng)交叉和變異概率代替固定概率［16-17］，根據(jù)個體適應(yīng)度自動調(diào)整Pc和Pm以實(shí)現(xiàn)最優(yōu)參數(shù)的選擇，保證算法較強(qiáng)的全局搜索能力和收斂性能。

式中：fmax為當(dāng)前種群的最大適應(yīng)度值；favg為當(dāng)前種群的平均適應(yīng)度值；f′為交叉?zhèn)€體中較大的適應(yīng)度值；f為變異個體的適應(yīng)度值；常值參數(shù)取為k1=k3=1，k2=k4=0.5。

3 最優(yōu)標(biāo)定編排設(shè)計

由模觀測原理可知，加速度計標(biāo)定需通過觀測多位置下的測量輸出實(shí)現(xiàn)，測試位置的選擇通常根據(jù)標(biāo)定參數(shù)的數(shù)量和特點(diǎn)來確定。針對多位置標(biāo)定方法，不同的路徑編排導(dǎo)致加速度計的輸入激勵不同，合理的標(biāo)定路徑要求充分激勵所有誤差參數(shù)，且需要保證標(biāo)定結(jié)果的唯一性。將標(biāo)定參數(shù)作為狀態(tài)變量，分析不同位置下加速度計測量輸出對狀態(tài)變量的可觀測度，確定出最優(yōu)的靜態(tài)位置編排，保證標(biāo)定路徑的合理性［18］。

由于加速度計在靜態(tài)位置下的測量輸出不隨時間變化而改變，則離散化時不變系統(tǒng)模型為

式中：X為狀態(tài)變量；Y為觀測輸出；A和H 分別為系統(tǒng)狀態(tài)矩陣和觀測矩陣。

線性時不變系統(tǒng)的可觀測性判別矩陣為

若滿足rank（Q）=n，則系統(tǒng)完全可觀測，否則系統(tǒng)存在不可觀測量。

針對加速度計的靜態(tài)誤差模型，由于模觀測標(biāo)定方法無轉(zhuǎn)臺坐標(biāo)系基準(zhǔn)，安裝誤差矩陣只包含3項(xiàng)誤差參數(shù)，本文以Mxy、Mxz、Myz作為待標(biāo)定的安裝誤差。選取9項(xiàng)標(biāo)定參數(shù)為狀態(tài)變量：

系統(tǒng)的狀態(tài)變量為不隨時間變化的確定值，其狀態(tài)矩陣為

系統(tǒng)的觀測輸出能夠反映不同位置下的輸入激勵，維數(shù)與標(biāo)定方案的位置數(shù)目有關(guān)，其觀測矩陣為

式中：I11，I21，…，IN1為3維單位陣；G12，G22，…，GN2為對應(yīng)位置下重力加速度的輸入激勵矩陣。

根據(jù)奇異值分解理論，對系統(tǒng)可觀測性判別矩陣Q進(jìn)行奇異值分解：

為了分析矩陣Q奇異值和狀態(tài)變量之間的關(guān)系，設(shè)正定對稱矩陣M=QTQ，其特征值和特征向量分別為λi和wi，則特征值和特征向量之間的關(guān)系為

由式（15）可知，矩陣M 的特征值越大，其特征向量對應(yīng)狀態(tài)變量的可觀測度越高，通過多位置下的系統(tǒng)可觀測度分析，可得最大奇異值對應(yīng)的位置對狀態(tài)變量具有最高的可觀測度，由此確定出最優(yōu)位置編排。根據(jù)標(biāo)定參數(shù)的數(shù)量和特點(diǎn)設(shè)計靜態(tài)位置編排方案，如圖2所示，多位置下可觀測性判別矩陣的秩和奇異值如表1所示。

圖2 靜態(tài)多位置標(biāo)定編排方案Fig.2 Static multi-position calibration scheme

位置 秩 奇異值3 8 29.861 29.713 29.562 29.405 29.405 29.405 4.220 2.969 1.715×10-7 4 9 41.585 41.585 41.585 29.716 29.562 29.405 6 5.168 4.198 5 9 41.585 41.585 41.585 41.585 41.585 29.564 6.708 6.708 5.968 6 9 41.805 41.585 41.585 41.585 41.585 41.585 7.348 4 7.348 4 5.968 3 7 9 51.106 46.513 41.693 41.585 41.585 41.585 7.937 2 7.819 6 6.006 3 8 9 55.280 46.533 46.513 46.493 46.493 41.657 8.374 9 8.263 3 6.033 1 9 9 59.063 55.107 50.992 46.596 46.493 46.493 8.649 9 8.394 6 6.451 9 10 9 64.408 57.427 50.991 48.495 48.261 46.572 9.154 2 9.122 3 8.204 8 11 9 68.476 58.829 55.023 50.931 50.931 47.303 9.882 8 9.8328 9.463 6 12 9 72.041 65.751 58.810 51.012 50.931 50.931 10.392 10.392 9.881 7 13 9 72.041 67.576 58.813 58.810 52.764 50.951 10.816 10.765 10.605 14 9 72.041 68.973 62.385 62.377 55.011 55.011 11.178 11.149 11.132 15 9 72.041 68.973 65.779 62.394 62.394 62.377 11.458 11.456 11.439

由表1可知，當(dāng)N≥4時，矩陣滿秩，系統(tǒng)完全可觀測；當(dāng)N≥7時，各項(xiàng)奇異值明顯增大，這是由于與加速度計敏感軸成45°的位置使得系統(tǒng)可觀測度增強(qiáng)；當(dāng)N≥12時，最大奇異值不再增大，且其他各項(xiàng)奇異值的增幅較小。綜合分析標(biāo)定精度和標(biāo)定復(fù)雜度等因素，本文選取12位置的靜態(tài)多位置標(biāo)定方案。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

本文以Xsens公司慣性導(dǎo)航系統(tǒng)MTi-1系列為測試對象，其結(jié)構(gòu)如圖3所示。根據(jù)第3節(jié)所述標(biāo)定路徑，在大理石平臺上對MTi-1進(jìn)行位置翻轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)，每個位置靜止1 min，采集傳感器數(shù)據(jù)，再翻轉(zhuǎn)至下一位置。

完成數(shù)據(jù)采集后，采用本文方法對加速度計的標(biāo)定參數(shù)進(jìn)行最優(yōu)化求解，遺傳算法的適應(yīng)度函數(shù)變化曲線及加速度計誤差參數(shù)標(biāo)定結(jié)果如圖4和圖5所示。

由圖4可知，最優(yōu)適應(yīng)度能夠準(zhǔn)確跟蹤平均適應(yīng)度的變化。進(jìn)化初期保持較小的適應(yīng)度，以提高種群的全局搜索能力；進(jìn)化后期適應(yīng)度增大，快速收斂至全局最優(yōu)解。由圖5可知，通過自適應(yīng)遺傳算法的迭代搜索，標(biāo)定參數(shù)全部實(shí)現(xiàn)收斂。由此可見，自適應(yīng)遺傳算法能夠較好地應(yīng)用于MEMS加速度計的標(biāo)定問題。

為了驗(yàn)證本文方法的優(yōu)越性，以傳統(tǒng)多位置法的標(biāo)定結(jié)果作為標(biāo)定真值，將本文方法與牛頓迭代法進(jìn)行對比，2種方法的標(biāo)定結(jié)果如表2和表3所示。

圖3 MTi-1系列慣性測量組合Fig.3 MTi-1 series inertial measurement unit

圖4 適應(yīng)度函數(shù)變化曲線Fig.4 Curves of fitness function variation

由表2可知，在牛頓迭代法的標(biāo)定結(jié)果中，三軸零偏的相對誤差分別為-0.146%、-0.554%、1.451%，三軸標(biāo)度因數(shù)相對誤差分別為0.000 204%、0.010 4%、0.414%，未能有效標(biāo)定安裝誤差；在本文方法的標(biāo)定結(jié)果中，三軸零偏的相對誤差分別為-0.017%、0.019%、-0.051%，三軸標(biāo)度因數(shù)相對誤差分別為 0.007%、0.004%、0.000 3%，三軸安裝誤差的相對誤差分別為10.69%、53.64%、21.37%，標(biāo)定精度比牛頓迭代法提升1～3個數(shù)量級。由表3可知，本文方法的運(yùn)算速度比牛頓迭代法提升61%。

誤差參數(shù) 傳統(tǒng)標(biāo)定方法標(biāo)定結(jié)果牛頓迭代法 本文方法標(biāo)定結(jié)果 相對誤差/% 標(biāo)定結(jié)果 相對誤差/%Bx/（m·s-2）0.116 46 0.116 29 -0.146 0.116 44 -0.017 By/（m·s-2） 0.036 1 0.035 9 -0.554 0.036 107 0.019 Bz/（m·s-2） 0.136 44 0.138 42 1.451 0.136 37 -0.051 Sxx 9.805 18 9.805 2 0.000 204 9.805 9 0.007 Syy 9.787 18 9.7882 0.0104 9.7876 0.004 Szz 9.771 07 9.811 5 0.414 9.771 1 0.000 3 Mxy-0.005 8 0.276 8×-0.006 42 10.69 Mxz 0.005 22 0.4051×0.002 42-53.64 Myx 0.006 07 —— —— —— ——Myz 0.003 93-0.768 9×0.003 09-21.37 Mzx -0.003 6 —— —— —— ——Mzy -0.0062—— —— —— ——

方法 運(yùn)算時間/s本文方法164.28牛頓迭代法421.92

在靜態(tài)條件下，將傳統(tǒng)標(biāo)定方法、牛頓迭代法與本文方法分別應(yīng)用于MTi-1慣性導(dǎo)航系統(tǒng)，開展純慣性導(dǎo)航驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)，不同方法下的水平姿態(tài)角誤差曲線及誤差均值如圖6和表4所示。

由圖6和表4可知，本文方法標(biāo)定后的俯仰角誤差約為0.062°，相較于牛頓迭代法減小74%，與傳統(tǒng)標(biāo)定方法精度相當(dāng)；本文方法標(biāo)定后的橫滾角誤差約為-0.051°，精度優(yōu)于牛頓迭代法和傳統(tǒng)標(biāo)定方法。

方法 俯仰角誤差/（°） 橫滾角誤差/（°）0.015 0.109牛頓迭代法 0.24 -0.191本文方法傳統(tǒng)標(biāo)定方法0.062 -0.051

結(jié)合不同方法的標(biāo)定結(jié)果與導(dǎo)航實(shí)驗(yàn)結(jié)果，可以得出本文方法的優(yōu)勢如下：

1）能夠準(zhǔn)確標(biāo)定出MEMS加速度計的全部誤差參數(shù)，與牛頓迭代法相比，標(biāo)定精度提升1～3個數(shù)量級，運(yùn)算速度提升61%，本文方法可有效應(yīng)用于MEMS加速度計的快速標(biāo)定。

2）標(biāo)定后解算的水平姿態(tài)角誤差小于0.1°，能達(dá)到與傳統(tǒng)標(biāo)定方法相同量級的精度，驗(yàn)證了本文方法在實(shí)際導(dǎo)航中的應(yīng)用價值。

5 結(jié) 論

1）本文針對傳統(tǒng)標(biāo)定方法標(biāo)定時間長、標(biāo)定精度依賴轉(zhuǎn)臺精度等問題，提出了一種基于自適應(yīng)遺傳算法的MEMS加速度計快速標(biāo)定方法，實(shí)現(xiàn)對全部誤差參數(shù)的快速準(zhǔn)確標(biāo)定。根據(jù)模觀測原理，將標(biāo)定問題轉(zhuǎn)化為非線性方程組的優(yōu)化求解問題；以系統(tǒng)可觀測性分析為依據(jù)，設(shè)計最優(yōu)標(biāo)定路徑。采用自適應(yīng)交叉和變異概率，提升遺傳算法的全局搜索和收斂性能。

2）實(shí)際測試結(jié)果表明，與牛頓迭代法相比，本文方法具有標(biāo)定精度高、標(biāo)定速度快等優(yōu)點(diǎn)，標(biāo)定后能達(dá)到與傳統(tǒng)標(biāo)定方法相同量級的姿態(tài)精度，驗(yàn)證了本文方法的優(yōu)越性和有效性。

3）本文方法縮短標(biāo)定時間，降低標(biāo)定成本，具有重要的理論研究和工程應(yīng)用價值。同時，由于遺傳算法的參數(shù)選取直接影響標(biāo)定精度及運(yùn)算速度，如何通過適應(yīng)度函數(shù)的動態(tài)變化及對選擇、交叉、變異算子的改進(jìn)以提升遺傳算法的尋優(yōu)精度和收斂速度是未來工作中值得進(jìn)一步研究的問題。