超低信噪比調頻連續波引信信號小周期態Duffing振子檢測

朱志強，侯健，閆曉鵬，*，栗蘋，郝新紅

（1.北京理工大學 機電動態控制重點實驗室，北京100081； 2.北京京航計算通訊研究所，北京100074）

在對調頻連續波（FWCW）引信進行欺騙式干擾時，檢測并獲取其參數對于干擾波形的設計具有重要的參考意義［1］。然而，由于電子對抗的非合作性，到達干擾機的調頻引信信號往往十分微弱，且淹沒在真實戰場環境下的強噪聲中，難以被信號偵察系統檢測。因此，研究低信噪比（SNR）下的調頻連續波信號檢測具有重要的現實意義。

有關調頻連續波引信信號檢測問題，傳統的檢測方法是基于線性、確定性系統的。文獻［2］利用回波信號幅值的變化規律和范圍特征進行信號檢測，該時域方法雖然簡單，但提取的信號特征穩定性不高。經典頻域方法，如快速傅里葉變換（FFT）等，由于無法表述信號的時頻局域性質，其抗噪性能較差且對調頻信號的特征檢測能力不足［3-4］。從線性時頻域的角度，文獻［1，5-6］分別基于改進后的希爾伯特-黃變換（HHT）、Cohen類模糊函數和Wigner-Ville結合Hough變換，利用時頻分析方法實現了對單分量和多分量線性調頻信號的特征參數識別。文獻［7］提出了基于極大chirplet變換的調頻連續波信號檢測方法，可以用于處理對稱三角線性調頻連續波信號；但其處理過程較為繁瑣、限制條件較多，難以實現工程應用。此外，采用上述檢測方法，可達到的最低檢測信噪比門限均不足-10 dB［1-8］。可見，在低信噪比下檢測調頻連續波信號時，傳統的線性檢測方法在信噪比門限或者實時性方面無法滿足要求。

隨著非線性科學的發展，混沌理論，尤其是Duffing振子系統，在微弱信號處理方面表現出獨特的優越性［9-10］。現有的Duffing振子檢測算法的主要思路為設置強參考信號，利用混沌系統處于臨界狀態時對微弱周期信號的極端敏感性及對噪聲的免疫特性，實現對微弱周期信號在超低信噪比下的實時檢測［11-12］。由于系統臨界閾值受參考信號頻率以及噪聲強度的影響較大，且單個Duffing振子的測頻范圍有限，因此傳統Duffing振子對大帶寬且頻率快速變化的調頻信號檢測能力嚴重不足。

針對上述問題，本文構建了基于小周期態Duffing振子的微弱信號檢測系統模型，并將其應用于低信噪比下的調頻連續波引信信號檢測方法中。該方法克服了Duffing振子強參考系統的固有缺陷，能夠實現低信噪比下大帶寬和頻率快速變化的連續波調頻信號的檢測，同時降低了計算成本和時間消耗，為調頻連續波引信信號的偵察及參數估計提供了技術支撐。

1 調頻連續波引信信號基本特征

以三角波調頻引信為例，進行調頻連續波引信信號特性分析。其發射信號為

式中：A為發射信號幅度；fc為信號載頻；ΔF為信號單邊調制帶寬；T為調制信號周期，其倒數表示調制信號頻率fm；β=4ΔF/T=4ΔFfm為調制斜率；n為調制周期數。

通常，調頻引信發射信號載頻fc在GHz量級，難以被直接采樣和處理。因此偵察設備會對接收到的調頻引信信號進行下變頻，將其頻譜搬移至幾十兆赫茲。下變頻后信號與式（1）形式基本一致，區別在于幅值A、載波fc數值的變化。因此，仍然用式（1）描述偵察設備截獲的調頻引信信號。

設經下變頻三角波調頻信號參數為：載頻fc=50 MHz，單邊調制帶寬ΔF=10 MHz，調制信號頻率fm=100 k Hz。其時頻特性如圖1所示。

可見，三角波調頻信號具有頻帶較寬、信號頻率變化較快且頻率變化有正負兩個不同斜率的特性。這些特性使得非合作條件下的調頻引信信號檢測方法不僅要具有在噪聲下對準周期信號的高度敏感性，同時還要能保證在大帶寬和快頻率變化率下的檢測精度。

2 小周期態Duffing振子檢測系統

2.1 可停振動系統

設隨機微分方程為

式中：X、F為二維矢量隨機過程；q∈R為微分方程的階數；eξ（t）為系統輸入的隨機擾動；e為隨機擾動幅度；η0為微分方程平凡解（即F（η0，t）=0）。

如果滿足以下2個條件：

2）當式（2）描述的系統輸入為周期及準周期信號時，系統有周期或者是準周期解。

則稱式（2）所對應的系統為可停振動系統［13］。其中條件1）表示系統在受到微小隨機擾動時，以概率1漸進穩定，其對應的狀態稱為可停振動狀態。由定義可知，可停振動系統的可停振動狀態變化對噪聲不敏感，對周期及準周期信號敏感，這為檢測未知頻率的微弱調頻信號提供了一條新的思路。

2.2 Duffing振子基本特性分析

經典的Holmes型Duffing振子方程為

式中：k為阻尼比；-x（t）+x3（t）為非線性恢復力；γcos（ωt）為幅值為γ，角頻率為ω的強參考信號。隨著γ的增加，Duffing振子系統依次經歷小周期運動、倍周期運動、混沌運動、大尺度周期運動。

設k=0.5，當γ的值大于臨界閾值γc（約為0.826）時，Duffing振子系統將從混沌臨界運動狀態進入到大尺度周期運動狀態。這一轉變對參數γ極其敏感，微小的周期擾動就可能改變系統的動力學行為。因此，設置強參考信號使系統處于臨界狀態時，當系統中存在微小的周期擾動時，相軌跡會呈現出周期性的在混沌態和大尺度周期態間的轉換，如圖2所示。利用這種轉換的周期性實現微弱周期信號檢測和頻率信息估計的方法稱為Duffing振子強參考信號檢測法。

Duffing振子強參考信號檢測系統可以實現低信噪比下的周期信號檢測。然而，將其應用于大帶寬和頻率變化較快的調頻引信信號檢測時，存在以下固有缺陷：

1）當強參考信號與待測信號頻率非常接近時，系統存在檢測盲區，在該區域內系統始終處于大尺度周期態或混沌狀態，這意味著無法通過相軌跡的轉換來進行信號檢測［14］。

2）系統的臨界閾值對強參考信號頻率以及環境噪聲強度敏感，因此需要根據它們的變化來設置合適的臨界閾值，這會使檢測系統復雜化［15］。

3）單個Duffing振子的頻率檢測范圍較窄，若要實現大帶寬頻率檢測，需設置Duffing振子陣列，導致較高的計算成本和時間消耗。

4）系統相軌跡由混沌態向大尺度周期態轉換過程中存在過渡段，對于陣列中的每個振子，都需要較長的時間來確定Duffing振子系統當前的狀態轉換情況，否則可能導致誤判［16］。

2.3 小周期態Duffing振子檢測系統模型

為避免上述缺陷，本文提出一種新的混沌檢測方法來實現超低信噪比下的調頻引信信號檢測。該方法在Duffing振子強參考信號檢測系統的基礎上，把強參考信號置零，將待測微弱信號直接送入Duffing振子系統作為策動力，利用Duffing振子處于小周期態時的相軌跡特征實現微弱信號檢測。此時，為了使系統能對待測信號足夠敏感，仍在系統內部保留參考角頻率ω，其狀態方程為式中；I（t）為待測系統輸入信號，在進行調頻引信信號檢測時，其形式通常為A cos（ω0t+˙ωt2）+eξ（t）（ω0為初始角頻率，˙ω為角頻率變化率，eξ（t）為噪聲）；（x+1）是為了保證相軌跡以（0，0）為焦點，盡可能均勻地分布在4個象限，以便后續計算。另外，為確保系統工作在小尺度周期態，待測信號幅值A不能超過0.36［17-18］。

基于Hamilton系統理論，當k＞0且I（t）為高斯噪聲時，Duffing振子系統（4）滿足式（2）的條件1）；當k＞0且系統中輸入微弱的周期信號時，Duffing振子系統（4）是耗散系統［19］。所以，當k＞0時，Duffing振子系統（4）是可停振動系統。

根據可停振動系統的定義，可以使用式（4）中Duffing系統作為檢測模型。因為輸入信號微弱且不存在強參考信號，系統處于小周期態，所以將此系統稱為小周期態Duffing振子檢測系統。其相比Duffing振子強參考信號系統的主要優勢在于：

1）取消了強參考信號，無需進行臨界閾值的復雜設置，也不存在檢測盲區。

2）單個Duffing振子的頻率檢測范圍大幅擴展，同時能適應頻率的快速變化。

3）系統結構及算法簡單，既無需判別系統的狀態轉換，也無需設置振子陣列，大幅降低計算成本和時間消耗。

因此，小周期態Duffing振子很好地克服了傳統Duffing振子檢測系統的固有缺陷，且在測頻范圍和算法復雜度等性能上具有明顯優勢。

小周期態Duffing振子系統在不同策動信號下的相軌跡圖如圖3所示。圖3（a）表示在只由高斯白噪聲策動時，系統處于可停振動狀態，其相軌跡無規律；圖3（b）表示當由微弱調頻信號驅動時，系統處于小周期狀態；圖3（c）表示在信噪比降低到-35 dB時，系統相軌跡雖然變得粗糙，但仍處于小周期態的理想軌跡附近。以上現象驗證了本文提出的小周期態Duffing振子系統對微弱調頻信號敏感，對隨機擾動不敏感的特性。因此，利用圖3所示的相軌跡特征，可以在沒有強參考信號和不設置臨界閾值的情況下，實現微弱調頻信號的檢測。

圖3 不同輸入信號策動下小周期態Duffing振子系統的相軌跡圖Fig.3 Phase trajectories of small-scale periodic state Duffing oscillator system driven by different input signals

3 小周期態Duffing振子微弱信號檢測方法

3.1 微弱信號檢測方法

從圖3可以明顯觀察到，當系統處于可停振動狀態時，相軌跡無規律；當系統處于小周期態時，相軌跡的規律性明顯。而且，從統計上來看，系統處于小周期態時相軌跡在分布域內的運動周期與待測信號周期相同。受此特點的啟發，本文提出一種新的微弱調頻信號混沌檢測方法。

設φ為Duffing振子系統輸出的相點（x，y）對應的相空間角，其正弦和余弦函數為

式中：x和y分別表示Duffing振子的位移和速度。相空間角的正、余弦曲線可以用來描述相軌跡的周期特性。

設置系統初值（x，y）=（0，0），將不同信噪比的線性調頻信號0.04cos2π（5×107t+4×1012t2）輸入小周期態Duffing振子檢測系統。圖4分別給出了不含噪聲和信噪比為-35 d B時的被測信號時域波形與相空間角正、余弦曲線的對應關系。在沒有噪聲時，信號為準周期信號，同時相空間角的正余弦波形與被測信號的瞬時頻率相同（第1個周期除外），如圖4（a）所示；在信噪比達到-35 dB時，如圖4（b）所示，由于強噪聲的影響，已經無法從被測信號時域波形中分辨出信號的特征信息，但正、余弦波形仍然比較清晰并且與圖4（a）中周期一致。因此，可以從Duffing振子輸出信號的相空間正、余弦曲線中得到其時間-頻率特性，進而得到待測線性調頻信號的時間-頻率特性。

圖4 待測信號時域波形和相空間角正余弦波形Fig.4 Time domain waveform of to-be-detected signal and sine cosine waveform in phase spale

在調頻連續波引信常用的調制方式中，三角波調制與鋸齒波調制本身就是分段的線性調頻信號；正弦波調制雖然并非線性調頻信號，但由于使用小周期態Duffing振子進行頻率檢測時，只需要對很短時間內的幾個峰值進行檢測，在此時間內正弦波調頻信號可視為線性調頻信號甚至標準正弦波信號。因而，可以使用小周期態Duffing振子實現對連續波調頻引信信號在超低信噪比下的檢測。

基于上述分析，基于小周期態Duffing振子的微弱調頻引信信號檢測方法的具體步驟為

1）設Duffing振子系統初值（0，0），阻尼比k=0.5。

2）在預估的待測信號頻率范圍內選擇一個適中值作為參考信號頻率f，以保證被測信號與參考信號頻率差不會過大。

3）將含噪待測信號輸入小周期態Duffing振子檢測系統，求解式（4），并計算Duffing振子輸出相軌跡的余弦函數cosφ。

圖5 頻率差較大時小周期態Duffing振子系統輸出的時域波形Fig.5 Time domain waveform of outputs of small-scale periodic state Duffing oscillator system when frequency difference is large

4）利用峰值法找到cosφ所有峰值，測量相鄰峰值的時間差，將其倒數視為cosφ的瞬時頻率。

5）根據相軌跡余弦cosφ和調頻信號同頻的原理得到調頻信號的瞬時頻率。

3.2 性能分析

首先以線性調頻引信信號為例，分析此方法的頻率檢測范圍［fL，fH］（將頻率檢測范圍［fL，fH］定義為一個頻率區間，微弱信號檢測系統對初始頻率在此區間內的線性調頻信號的相對檢測誤差不大于1%）。設置參考頻率f=50 MHz，固定信噪比和頻率變化率，設輸入的調頻信號為

式中：f0為待測信號的初始頻率；b為頻率變化率。

設置信噪比為-20 dB，將頻率變化率b=0 Hz/s（標準正弦波信號）和b=1012Hz/s的微弱線性調頻信號輸入到小周期態檢測模型和強參考信號檢測模型中，得到單個Duffing振子的頻率檢測范圍［fL，fH］如表1所示。

對于強參考信號的Duffing振子系統檢測方法來說，只有當被測信號與參考信號的相對頻率差小于0.04時，圖2中的周期性狀態轉換才能穩定出現，因此單振子的頻率檢測范圍較小。而小周期態Duffing振子檢測方法則大大擴展了Duffing振子的頻率檢測區間，僅用單個Duffing振子就能有效地檢測出淹沒在強噪聲下的未知周期信號或寬帶調頻信號。

隨后固定f0=50 MHz，與參考頻率相同，在不同信噪比下對不同頻率變化率的線性調頻信號分別進行20次頻率檢測仿真，得到的平均檢測精度如圖6所示。從圖6可以看出，雖然在信噪比過低和頻率變化速度超出系統檢測能力范圍時存在個別異常點，總體來說頻率檢測精度η隨頻率變化率的增大和信噪比的降低而減小；當頻率變化率b在0～5×1012Hz/s的范圍內時，信噪比不低于-25 dB時，初始頻率的檢測精度可以達到99%以上；當信噪比降低至-30～-45 dB時，只要b的取值仍在5×1012Hz/s以下，依然可以保證較高的頻率檢測精度。

［f L，f H］b/（Hz·s-1） f/MHz SNR/dB/MHz小周期態強參考信號檢測模型0 50 -20 ［0.17，254］ ［47.7，52.1］檢測模型1012 50 -20 ［0.21，212］ ［48.2，51.4］

圖6 線性調頻信號的頻率平均檢測精度與信噪比和頻率變化率的關系Fig.6 Relationship among average frequency detection accuracy，SNR and frequency slope of chirp signals

4 實驗驗證

為了驗證基于小周期態Duffing振子的微弱信號檢測方法在調頻引信信號檢測上的效果，本文使用3種不同調制方式的引信仿真模型及某型號調頻引信的輻射信號對此方法進行驗證。

首先以三角波調頻引信模型為例，設置仿真工作參數如下：三角波調制頻率fm=100 kHz，單邊調制帶寬ΔF=10 MHz，載波頻率fc=50 MHz，信號幅值A=0.004，噪聲強度為0.0008（-20 dB）。

圖7給出了-20 dB信噪比條件下此信號時域波形及采樣率為1 GHz、點數為20 000點時的頻譜圖。由于噪聲的影響，已經無法獲取三角波調頻信號的時域波形和頻率特性。如果進一步增大采樣率到10 GHz時（200 000點），雖然能夠獲得較高的處理增益，可以檢測到信號的存在，但是大點數FFT存在運算量大、頻譜資源浪費的問題，無法滿足實時性檢測的需求。

圖8分別給出了-20 dB的信噪比條件下，采用Duffing振子強參考信號陣列檢測方法［20］及本文方法檢測得到的三角波調頻引信信號的時頻特性曲線。根據圖8（a），在-20 dB信噪比下，Duffing振子強參考信號陣列檢測法得到的時頻特性曲線中存在多處頻率真實值與測量值相差較大的異常點；根據圖8（b），本文方法可以很好地對三角波調頻信號進行時頻分析，得到的時頻特性曲線與真實時頻特性曲線幾乎重合。因此，本文方法對于三角波調頻引信信號的檢測效果優于Duffing振子強參考信號陣列檢測方法。同時，根據時頻特性曲線對調頻信號特征的表征能力，基于圖8（b）獲得的時頻特性曲線，可以直接實現調頻引信信號的特征參數（如載頻、調制頻率、最大頻偏以及調制類型等）估計。

圖8 -20 dB信噪比下三角波調頻信號時頻特性Fig.8 Time-frequency characteristics of triangular wave frequency-modulated signal while SNR is-20 dB

SNR/dB 強參考信號陣列檢測方法測量誤差/%小周期態檢測方法測量誤差/%-10 0.286 5 0.280 1-20 1.243 0 0.288 0-30 3.145 5 0.307 4-35 9.010 4 0.464 4

表2為采用Duffing振子強參考信號陣列檢測方法和本文方法時，不同信噪比條件下對三角波調頻引信信號的頻率檢測誤差。隨著信噪比的降低，兩種方法的頻率檢測誤差都不斷增大，但是當信噪比不小于-35 dB時，本文方法均可以得到高于99%的檢測精度，遠高于Duffing振子強參考信號陣列推測方法。

為了進一步驗證本文方法對不同調制類型的調頻連續波信號檢測的有效性，在相同的載波頻率和調頻帶寬的基礎上，分別對三角波、鋸齒波和正弦波調制3種不同類型的調頻連續波信號進行檢測。

圖9為-35 dB信噪比條件下3種調頻連續波引信信號的時頻特性圖，可以看出盡管圖像中由于強噪聲的影響出現了許多瑕疵點和測量不準確的點，但是頻率的平均測量誤差均小于1%，證明該方法能實現超低信噪比下對三種調頻引信信號的高精度檢測。

采集某調頻引信真實輻射信號，并加入噪聲后，對本文方法進行進一步的半實物仿真驗證。此引信的載波頻率約為915 MHz，調制頻率和最大調制頻偏分別約為960 kHz和8 MHz。如圖10可知，在-20 dB的信噪比下，利用小周期態Duffing振子可以得到較好的引信檢測效果。

為了進行檢測能力的量化評估，將該引信信號下變頻至50 MHz，以未人為加入噪聲時引信信號的頻率檢測結果作為真實引信頻率，計算不同信噪比下的相對檢測誤差如表3所示。

由于直接對引信輻射信號進行射頻采樣，采集到的信號存在失真，同時在采集、下變頻和濾波過程中也會引入噪聲，因而真實引信信號的信噪比檢測閾值高于仿真結果。即使如此，本文方法在-30 d B的超低信噪比條件下，對真實調頻引信信號依然具有較高的檢測精度。至此，小周期態Duffing振子微弱調頻引信信號檢測方法的超低信噪比和高精度檢測性能得到了充分驗證。

SNR/dB 測量誤差/%-10 0.2824-20 0.494 5-30 0.652 8-35 1.1136

5 結 論

本文在分析調頻連續波引信輻射信號特征的基礎上，基于可停振動系統理論，提出了一種小周期態Duffing振子混沌檢測方法，實現了對微弱調頻引信信號的檢測。理論分析與實驗結果表明，該方法不僅能夠克服Duffing振子強參考信號系統的固有缺陷，而且提高了實時性，并擴展了單個Duffing振子的測頻范圍，具有對調頻引信信號的超低信噪比和高精度檢測能力，對強噪聲環境下非合作輻射源信號偵察具有重要參考意義。