前置獨立研究：數學學習的新視角

龐舒勤

[摘 要]為了發揮學生的主觀能動性，幫助他們真正為自己而學，踐行“教材只是一個例子”，實現“用教材教”而非“教教材”，使教與學不受限于文本的章回，學生的發展不受制于成人的視野，教師要領著學生回到離數學被發現、被發明最近的歷史點，使學生以一種相對原始的方式“裸”學，以一種相對完整的方式“研”學，更為重要的是在此過程中幫助學生形成一定的數學精神和數學思想方法。

[關鍵詞]前置獨立研究;意義建構;深度學習

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）29-0001-05

弗賴登塔爾曾表示：“沒有一種數學觀念像當初被發現那樣得以表述。一旦問題獲得解決，一種技巧得到了發展和使用，就會轉向解的程序側面……火熱的發現變為冰冷的美麗。”

囿于各種因由，數學相關教學內容在書本上只能以“冰冷的美麗”存在。因為便捷、權威、慣性等因素，教師很多時候習慣于直接按照教材和教參設計教學，忽略被文本所掩蓋的鮮活和生命。久而久之，教學內容徘徊在既定范圍，教與學的過程受困于編寫者的設計軌跡，學生的學習更似“復制粘貼”，功利、直白、固化、單一，一如張奠宙教授所言——鮮活的思想被淹沒在形式演繹的海洋里。

如何發揮學生的主觀能動性，幫助他們真正為自己而學？如何踐行“教材只是一個例子”，實現“用教材教”而非“教教材”？教與學如何不受限于文本的章回，學生的發展如何不受制于成人的視野？對此，教師有義務和責任領著學生回到離數學被發現、被發明最近的歷史點，拋開一切看似已有的先知，使學生以一種相對原始的方式“裸”學，以一種相對完整的方式“研”學，幫助學生真正以“主人”的姿態“直接”面對甚至“親手”造就學習對象，并在此過程中逐步形成一定的數學精神和數學思想方法。也就是說，學生的數學學習以及教師的數學教學都應該是有使命的。

一、什么是“前置獨立研究”

（一）對“獨立”的理解

在百度上搜索“研究性學習” ，相關詞條有一千四百多萬個;搜索“前置研究”，相關詞條有三百二十多個;搜索“前置獨立研究”，沒有給定答案。

對于“前置獨立研究”中的“獨立”，有三個層面的理解與思考：

其一，學生“零起點”。相當一部分學生有這樣的學習日常：被知道、被規劃、被學習。學生身邊充斥著各類“教師”和各式各樣的“課堂”，學生被催著、促著，在課外一定程度甚至相當程度“提前學習”相應學科課程甚至學科拓展課程。學校存在的必要性在哪里？

其二，教學“按慣性”。教師手邊有較為全面的教輔——教材、教參、設計詳案，網絡可以搜索到多版本教學案例設計甚至示范課視頻。大多數教師直接參考和參照已經習以為常，久而久之形成慣性和依賴。無論是日常課還是公開課、賽課，教師習慣撰寫詳案，設計“套路”，雖然也在轉換視角，提出“自主學習” “個性發展” ，但基本還是在既定的“劇本”下按部就班。學科教學的價值在哪里？教師角色的意義在哪里？

其三，學習過程“非獨立”。在教師的設計里，在家長的催促下，在成人的過度干預中，學生幾乎沒有個體化的創造性學習機會，學習經歷往往只是“表演性體驗”。這樣的學習真實嗎？有深度嗎？有價值嗎？

（二）對“前置獨立研究”的理解

于小學數學而言，前置獨立研究，是指將學習任務“前置”于課前，以“研究”的視角定位小學數學學習。利用“學前研究任務”，幫助學生拋開“先知”，展開最原始的觀察、思考和發現，以一種“思維再造”的方式，經歷知識的完整建構過程，從根源處出發，形成真正而完整的數學理解;引導學生關注對數學概念、理論、方法以及形態的產生與發展規律的探尋，著力重塑關乎數學認知的本初思考，加深學生對數學本質、數學規律性的認識。

前置獨立研究，試圖將學生重塑為初始階段就發現數學的“數學家”，將數學學習過程轉化為一段段“創生之旅”，關注學生在學習過程中的新鮮感、期待值、好奇心以及積極的學習情緒，促進學生形成一定的數學精神和數學思想方法。

前置獨立研究觀照下的“教”秉持“獨立”的教材觀、教師觀和教學觀，“學”提倡自然而深入，且學習過程不失生命和靈魂。

（三）“前置獨立研究”的實施

1.結構及原則

前置獨立研究，關注知識本源、學習起點以及教學源頭，尊重學習源流以及認知漸進嬗變的過程：課時教學“主問題”為舵，課堂知識一體化;單元教學“知識點”結網，單元知識統整化;條線教學“相關內容”成鏈，領域知識序列化。

課標為綱。課程標準是國家對學生接受一定教育階段之后的結果所做的具體描述，是國家教育質量在特定階段應達到的具體指標。它是教材、教學和評價的出發點和歸宿，是“前置獨立研究”實施的綱本。

教材為例。教材具有相當的先知性、示范性、引領力和借鑒力，前置獨立研究中以多版本教材作為教師設計教學的重要參考資源，但更重要的是，基于“前置獨立研究”的課堂，更注重生本學習資源的發掘，注重開發與現行教材并行的以學生再創造的素材編撰的“生本教材”。

2.打開方式

個人建構。課前，學習目標被設計成“前置獨立研究任務”，以特殊數學作業的身份介入學生的學習世界，由每一個學生經歷獨立的“學前期”個人建構。

群體交互。課堂中，用對話的方式，教與學以交換思想為目標展開，以學“喚”教，以教“促”學。

學生層面：2個人——在學習小組內充分表達自己對主題的探究方法、過程、策略，提出觀點或猜想 ;3小組（小型學習共同體）——逐一納入每一個學生的獨到見解，異中求同，同中尋異;1班級（大型學習共同體）——揉合各組見解，關注不同觀點，認同、質疑、補充或是進一步思考，逐步明晰學習目標建構的核心關鍵。

教師層面：適時進行教學“干預”。鼓勵表達：關注“兩頭”抓“中段”，盡力關注每一類學生的學習需求、學習進展以及群體學習中可能出現的新的思維生長點和方向。尊重個體差異：盡可能第一時間對每一類觀點的思維本質做出判斷并快速給予反應，洞悉差異背后的價值點。時機點處及時介入學習，令學生思考深入，適時促發更深層次的學習機會，生成新的研究主題，時刻準備展開新一輪“前置獨立研究” 。

個體重建。通過“個人建構”和“群體交互”兩個階段，學生基于自己的學習起點，融入對某一學習目標深入研究的能量蓄積到了一定的程度，學習自然往縱深發展，新一輪的質疑、猜想、再創造呼之欲出，每一位學生的原有知識結構發生改變，新一輪學習循環開始。

3.實施要素

兒童先行。展開“前置獨立研究”時，常常將課堂的學習目標和對象設計成諸如“你覺得物體的表面積指的是什么？請設計作品佐證你的觀點。”“物體的體積和容積到底有什么不一樣？請設計實驗說一說你是怎么想的。”這樣有張力的研究問題或任務，先于成人“教給”之前，讓兒童與學習對象直接面對。這樣，就區別于形式上的重復操練、時間上的局促、空間形式上的單一，尊重并呵護每位學生的直接理解，確保每一位學生的獨立思考和主體體驗，最大限度地保證學生不受他人思想的影響，以主觀表達性作業確保每一位學生學習的主體地位。

思維可視化。“前置獨立研究”允許學生在為了說清楚自己的觀點或想法時，可用畫一畫、做一做、寫一寫等方式，充分尊重不同個體獨特的思維方式和思考策略。因為“可視化”，教師更加清楚每一個學生對于研究對象的認知度，可以為教學的展開提供更加豐富的素材，能保證教與學往更有價值的方向展開。

前置與獨立。“前置獨立研究”強調“前置”“獨立”，完成研究性作業時，要求學生不翻看書本、不參考標準答案，鼓勵形式不拘、大膽求索、想象創新。學生帶著各自獨特經驗直接與客觀世界對話，自然會出現不同程度的認知落差，而不平衡將能更好地助推學生心智發展。這樣“自傳式”的學習經歷是學生能更好地發現自我的重要保證。

對話與干預。關注“兒童先行” “思維可視化” “前置與獨立”的課堂，學生成為基于“學習目標”、從他概念世界出發、“有思想”的自變量，課堂成了促成個體認知解構、再構甚至重構的場域。教師成了因變量，以“干預者”的身份進行“援助式”地“教”，不斷促進意義建構，促進學生對“學習目標” 的“自組織”，引導學生和客觀世界對話（基于學科），與他人對話，與自我對話，最終由學生自己完成基于學習目標的自主建構。

二、為什么要進行“前置獨立研究”

（一）基于對“數學是什么”的思考

R·柯朗在《數學是什么》一書中提出“上帝創造了自然數，其余的是人的工作”。其實，數學之存在于我們遠沒有想象的冰冷、遙遠而神秘，當年高斯對于等差數列的直覺發現，讓人們深深感受到數字之間的內在聯系是可以通過人的智慧去發明和創造的。數學是人類思想的產物，是人們常識的系統化，諸多數學概念、規則、定律均來源并發展于生活。

（二）兒童是天生的“數學家（非指數學奇才）”

“生物發生律”提出個體發育史是系統發展史的重演，這一自然的生物學線索是否可以運用在人類對于數學學習的剖析上？弗賴登塔爾反復強調，學習數學唯一正確的方法就是讓學生進行再創造，如果讓他們經歷發現或創造學習對象的過程，重演數學發展的歷程，角色轉換成為當初的“數學家”，不失為一種數學學習的打開方式。

（三）學習中應該看見“每一個學生”

《國家中長期教育改革和發展規劃綱要（2010-2020年）》指出“關心每個學生，促進每個學生主動地、生動活潑地發展，尊重教育規律和學生身心發展規律，為每個學生提供適合的教育”。教育的全面性以及差異發展作為非常重要的理念已被廣泛關注，教師應該關注學生的不同特點和個性差異，發展每一個學生的優勢潛能。

學校存在的一層重要使命是幫助學生打開自己的經驗世界，與他人、世界聯結，從而成長自我、成就他人，同時關注差異。能看見“每一個學生”，是學校、教師和教學存在的首要命題。

三、怎樣培養學生“前置獨立研究”的精神和能力

小學數學學習應該有意義，小學數學教學應當有使命。也許，教師此刻要做的首先是著力還原那種發現數學之初的火熱。

（一）獨“創”思路，讓意義建構深入

在想象力空前豐富的孩童時期，每一個學生都是帶著自己的經驗來到課堂的，理解能力、思維方式、生活印跡各異的他們并非“白紙” ，對同一學習對象的個性化理解，在心中呈現的印象、影像當然也不盡相同。如100個學生眼中有100種“湊十法”的樣子。

【案例1】“湊十法”原來就是我想的樣子

對于“9加幾”的內容，教材以“9+4”這道算式展開，通過讓學生操作學具（把盒子外面的一個蘋果移進盒子里，湊滿1盒）形成“湊10”的思路，進一步感知加法是表示把兩個量合并起來的運算。課前，教師引導學生展開前置學習：45個學生中有40人給出了正確且多樣的計算“9+4”的方法，其中36人配以有效圖示（如圖1、圖2、圖3）。 ?

圖1用直觀的圖示表達了“9+4”這一加法模型的實際意義，借助“合并起來”的模型意義可以知道得數是13，但也注意到可以把9先湊成10;圖2則以畫圈的方式先湊10，再把10和旁邊的 3個“合并起來”，靜態地表達了“湊10”的過程;圖3則以箭頭表示移動，動態地表達了“湊10”的過程。

無論學生以何種方式加以表征，都是借助自己構造的對象，詳細描述了“9+4”是表示把兩個量合并起來，可以數出得數，也可以“湊10”計算。學生在獨立嘗試、同伴互動進而形成深度理解的過程中建構了獨特而真實的加法意義。

（二）獨“立”釋義，使概念理解深透

古希臘人相信數學是宇宙的基礎，認為一切事物從無到有，都是依據秩序及純粹的數學，數學被運用在一切事物的創造中。兒童有異于大人的稟賦，天性使然之下，很多數學概念的詮釋和創意，也許就蟄伏在他們小小的身體內。

【案例2】 素數 “DIY”

（課前調查發現，不少學生提前學習了素數與合數相當一部分的知識）

師：怎樣的數是素數？合數又指的是什么樣的數？

（不少學生能較為流利地說出素數和合數的分類標準。在生生交互、師生對話中，全班學生很快完成了對素數和合數的認知。然而，教師并沒有讓課堂就此畫上句號）

師：中國有句古話叫“顧名思義”吧！為什么這樣的數叫作質數（素數）？

生1：它們很“單調”。

生2：樸素，像素菜一樣 。

生3：簡單。

生4：它們很有質感。

生5：很有品質。

師：有意思，看來數學家可不是胡亂取名字！如果當初是你發現的，你會如何命名這樣的數？

（學生想出了一系列頗具質感的名字：私數、乏數、獨數、規數、凡數、簡數、雙子普通數、二因數、本數……）

與生俱來的數感以及充滿天性的想象力造就了學生屬于自己的理解，貼切不乏創意，揭開了數學感性卻更為深透的一面。

（三）獨“造”樣態，令模型建構深層

學習真正發生，必須是學習者親身體驗，然后經歷混沌、彷徨、摸索、反思，基于已有數學現實，不斷進行思維的解構、再構，努力從一片混沌中理出頭緒，構造新的模型現實。

【案例3】我的、你的、他（她）的“復式條形統計圖”

教材提出“你能看懂復式條形統計圖表示的信息嗎？”，并要求根據給定的圖填寫信息。課程標準對這部分內容的具體要求是“使學生能夠看懂和利用復式條形統計圖里的數據;能夠在統計圖上畫不同標記的直條表示兩組數量;體會復式統計圖表的特點。”對此，教學時僅僅讓學生停留在看懂、能利用、會作圖，還是需要深入其本質？筆者以為，不要囿于例題，而是設計較為真實的情境，幫助學生經歷完整的統計圖產生、制作、發展的過程，促使學生悟其特點，會其意義，創造并體會各元素的存在樣態及意義，真正認同其存在價值。

“前置獨立研究”反其道而行，直接向學生拋出第92頁的問題情境促其課前獨立研究：設計出“五年級一班、二班同學參加書法、繪畫、剪紙興趣小組人數”統計表，再根據復式統計表，自制一張條形統計圖。

學生的前置研究情況：50人中的41人選擇制作條形統計圖，學生給出理由“本題更多關注興趣小組人數的多少、數據的對比，不太需要體現變化趨勢，故選條形統計圖”;50名學生均能選擇6根條形表示各班各組數據，其中30人選擇6根條形兩兩緊靠（自發作“復式”圖），以示人數為同一興趣小組;學生除了能正確標注標題、日期、數據、刻度、單位等原本已認知的條形統計圖中的大代表性元素，更有23人自發使用了“圖例”這個“復式條形統計圖”中特有的元素（其中的15名學生甚至以較為科學卻又是獨創的圖例表示方式標注在統計圖的右上角，另8人用而未標）。

學生對“復式條形統計圖”顯然有相當的直覺，完成度不一的“大任務單作品”，無一不在說明學生具備發現甚至發明這一學習對象的直覺力量。至十九世紀后期，所有偉大的數學家在表達他們發現的時候，均基于直覺上的樸素概念。

（四）獨“建”課程，促學習意義深度

教與學是在思維的漸變衍生中，不斷從相對封閉到開放，并在此過程中獲取意義，汲取重建的力量。課程建設是深度學習到一定程度的產物，參與課程建設，可以令學習有深度。基于“前置獨立研究”視角的學習，學生常常會自然地介入課程建設。

【案例4】對稱！對稱？對稱！再造參數

“對稱”現象只有“軸對稱”嗎？小學階段為什么只研究“軸對稱”？“對稱”中的“非軸對稱”要避開嗎？避得開嗎？需要避開嗎？

在設計“前置獨立研究”任務時，筆者引導學生鎖定“對稱”，展開合并研究：

1.如圖4，哪些圖形是“對稱”圖形？

2.用自己的話描述“它們怎么就對稱了” ？

3.怎么判斷它是不是對稱？

4.三年級已經學過“軸對稱圖形”，怎么今天還要研究“對稱”？“對稱的它們”有什么不一樣？

研究要求：動手操作，大膽表達，盡力說出自己的意思和感受。

（對折、重合、完全吻合、位置對稱、一樣長、一樣大、一樣的角度、一樣的斜度……這樣的詞不斷出現在學生的“研究單”中。）

生1（操作后有感而發）：其實，我們可以去推測對不對稱，不一定每次都要去折！

師：比動手驗證更高級——用數學思維去推想！好方法！

生2：4號比2號“正”，它們雖然都是平行四邊形，但4號是對稱的，我可以找到兩條對稱軸，2號不是對稱的，我找不到對稱軸。

生3 ：那正方形就更正了！它更應該是軸對稱圖形，對稱軸應該更多！

生4：正方形也是平行四邊形，正方形有4條對稱軸，怎么4號只有兩條對稱軸？怎么2號一條對稱軸都找不到？

師：我們把生4的思路倒過來想，普通的平行四邊形是軸對稱圖形嗎？它的四條邊相等成了菱形后是軸對稱圖形嗎？如果菱形的四個角變作直角成了……

生5（脫口而出）：再“正”一些，直到 4個角都相等，就是正方形，有4條對稱軸。

師：如果正方形再……

生（紛紛搶答）：圓！圓！圓有無數條對稱軸！

（教師迅速回溯，結合“前置研究”中不少學生覺得“平行四邊形”也是對稱的，但苦于找不出對稱軸，又無法說服自己的情況，通過追問促使學生思維深度生長。）

師：像2號這樣的普通平行四邊形，有不少同學在前置研究時覺得它還挺對稱的，因為它可以均分出完全相等的兩部分。可是又找不出對稱軸，它真的對稱嗎？如果是，是怎樣一種對稱？如果不是，又為什么能均分出完全相等的兩部分？該如何佐證自己的觀點？還存在別的像“平行四邊形”這樣似是而非、似非而是的圖形嗎？

（研究性學習繼續推進，當學生提出“八卦圖樣”“紫荊花圖樣”也可以看作“對稱”時，研究以一種不可抵擋之勢往深處延展。這個研究命題被學生迫不及待地“領”回家，第二天的交流對話在情理之中又意料之外地往“對稱”這一主題更為立體而上位的方向發展，“旋轉對稱”“中心對稱”……學生的認知不再片面而唯一，學習變得立體起來。）

（這時，教師再次調轉話頭，將學習引往另一個方向。）

師：咱們換一個主題吧，如果用“三角形”來研究“對稱”，你打算設計怎樣的研究思路？

生6：可以是由一般三角形到等腰三角形再到等邊三角形的研究路徑，也可以根據三角形角的情況去試一試，還可以從三角形的不同分割角度去研究。

從學生個體的“前置獨立研究”出發，到師生群體意見交換碰撞，再到學生回到自身完善認知、生成新的學習目標和方向，教師提出的一個個引發思維折轉的核心問題成了驅動軸心，隨著教學現場的不斷豐富、擴展、深入，教學不再是單純的教學，儼然成了一段“生本化課程”的創建之旅。

四、重新思考教與學的意義

當靜下心來思考“教學”到底是什么的時候，必須重新審視“成為教師” “成為小學數學教師“的價值旨歸。教師不是傳道士，教材也只是一個例子，教師更應該做的是喚醒，讓學習成為學生的一種本能的沖動，讓數學觀念像當初被發現那樣得以表述，讓數學學習成為一種信仰般的存在，讓每一位學生為自己而學。

【案例5】你得證明你會

剛上二年級的一學生拿著本子雀躍地跑過來：“老師，我會寫算式‘7÷4=1……3。”我定睛一看：他寫了一道有余數的除法！于是我不由得問道：“你是怎么想的？可以畫圖解釋給老師聽嗎？”

他很認真地點了點頭。下午他就給了我一張小紙片（如圖5）：“老師，這是我早上和您說的。”

【案例6】 研究就是這么執著

有一學生連續兩天不分課上課下，一直研究27乘56和379乘78等兩位數乘兩位數、三位數乘兩位數的計算方法。從他的研究過程來看，他對乘法的意義及乘法計算規則掌握得不錯，同時他還開始建構新的規則。

【案例7】寫數學也能廢寢忘食

一位三年級小女生的數學日記：我迷惑（應該是“迷戀”）上“鋪地錦”以后，在自己的研究本上寫下來，開始自己的繼續研究。奇怪又好笑的是，我寫著寫著，連覺都不想睡，做夢都想！……好玩得不得了！

不唯教師，看見學生，小學數學的教與學也許會以一種更理想的樣子而存在。

（責編 金 鈴）