測量誤差的誤解與解除

李小兵

[摘 要]相對于舊人教版教材，現行教材對測量的要求難度有所降低，所給定的測量對象的數據很容易得出，學生對測量中存在測量誤差的問題不易有所感知與理解，因此很難接受“即使仔細測量也無法得到確切數值”的觀點，這與教師對教材降低測量難度的認識與處理不當有關。教師可以針對測量誤差設計專項的拓展活動，幫助學生正確體會和理解測量誤差，形成正確認識。

[關鍵詞]測量難度;測量誤差;誤解

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）29-0005-02

測量是一種基本而重要的科學研究方法，學生在數學學習中經常會用到它。由于被測量的數值形式不能以有限位數表示，加上測量技術和認知能力的限制，測量結果難免會有誤差。如果學生對測量誤差的理解有誤，就很難正確理解通過測量所得到的結果，由此對測量這種方法的價值產生懷疑。

一、誤解測量誤差在數學學習中有哪些表現？

測量往往會存在誤差，小學階段中最突出的表現是三角形內角和的測量與計算。四年級學生在研究三角形的內角和時，通常會選擇用測量的方法來求內角和。學生所測量的三角形有兩種來源，一種是教師給定的，另一種是學生自己任意畫的。如果教師給定的三角形的每個內角的度數都是整十的，測量結果都是180°，教學能夠順利進行;如果教師給定的三角形的每個內角的度數是任意的，或者三角形是學生自己畫的，那么不同學生測量的結果就會不一致。出現測量結果不同的情況時，即使教師解釋是因為測量存在誤差，仍有學生堅持三角形內角和是179°，并反復強調自己的測量是非常準確的。此時，他的潛臺詞就是：只要用正確的方法認真仔細地測量，就能避免誤差，得到準確的結果。顯然，他對測量誤差的理解其實是一種誤解，但如果教師解釋不當，會使學生認為得到180°的結果是沒有測量誤差的。

二、降低測量難度是如何導致對測量誤差的誤解的？

造成學生誤解測量誤差的原因有很多，其中一個重要的原因是教師對教材降低測量難度的認識與處理有誤。在現行的北師大版、人教版和蘇教版等教材中，提供給學生測量的角的度數都是5的倍數，目的在于減少學生在測量后判斷角的度數時的干擾因素，幫助學生順利地初步掌握測量角度的方法和技能，了解測量的作用，其背后的含義是：學生只需初步掌握測量的方法和技能、了解測量的作用，就可以在將來借助更為先進的工具來完成更為精確的測量，因此無須在小學階段投入過多的時間和精力來學習測量。教材的設計思路兼顧了效率和效能，既科學又合理，但是教師如果只關注到測量難度的降低，而忽視了引導學生全面理解測量，就會導致學生對測量誤差產生誤解。

事實上，在實際教學角的測量時，“誤差”這個概念基本沒有出現。絕大多數的情況下，學生總是能夠正確地測量角的度數，只在極少數情況下因為讀錯量角器內外圈的數據而出錯?；谶@樣的經驗，當他們后來接觸到誤差這一現象時，會認為出錯就是誤差，只要不出錯，就不會有誤差，原因是學生認為只要使用的測量方法正確，就總能得到準確的測量結果。

此外，只測量度數為5的倍數的角，還帶來另一個結果：學生形成“湊整”的思維定式。學生在實際測量角度時，只需要大概地測量一下就能確定結果了，即使角的邊線與量角器的刻度線并未完全重合，也不會影響學生做出判斷，因為學生只要觀察角的邊線接近哪一條整五或整十的刻度線，直接“湊整”為整五或整十的度數即可，結果肯定正確，基本上沒有反思“真的是這個結果嗎？”的意識。筆者曾開展的關于角的測量的調查：從本區小學中抽取了四所學校共409名四年級學生，在保證測量對象盡可能優化的情況下（角的邊線長度超出量角器的刻度線，邊線的粗細為0.5磅，角的開口向右，其中一條邊線處于水平位置，另一條邊線向上），準確測量出41°角的學生占9.3%，而把41°角當成40°角的學生占83.9%，與38.1%的學生準確測量出63°角相比較可以發現，兩者之間的差異不是測量技能造成的，而是學生的“湊整”思維定式造成的。在這里，“湊整”背后的邏輯不是“近似值”，而是早期的測量經驗導致學生相信測量的準確結果就應該是40°。這就造成了學生對測量誤差的另一個誤解：所測量的角的客觀度數都正好是整度數的，并且很多時候正好是5的倍數。

綜上所述，總是讓學生測量度數為5的倍數的角，會造成學生對測量誤差產生兩種誤解：一是所測量的角的度數正好都是整度數的;二是只要測量方法正確就不會有誤差。

三、如何在降低測量難度的同時避免對測量誤差的誤解？

小學數學的測量教學是從長度開始的，在進行長度測量的教學中就可以滲透測量誤差的概念，這里只論及在角的測量的教學中如何幫助學生正確認識測量誤差。從“三角形內角和”的例子中可以看出，直接告知的效果并不理想，學生在缺乏體驗的情況下很難接受誤差的概念。同樣的，在角的測量教學中直接引入誤差的概念，學生也會因為與經驗不符（測量的結果就是40°，哪來的誤差？）而難以接受。對此，教師可以在基本完成角的測量教學之后，安排一個拓展活動，讓學生在親身體驗的基礎上理解測量誤差。

拓展活動的主題是“我畫的角有多少度”。具體步驟如下：

1.自己任意畫一個角，評一評自己畫得好不好，猜一猜這個角有多少度。設計意圖：“自己畫角”使得角的度數未知，為學生的想象提供了空間;“評一評”可以讓學生體會測量對象是一個影響測量結果的因素;“猜一猜”可以讓學生通過想象感受角度的數值恰巧是整數的可能性極小。這個環節需要進行展示交流，教師借助放大的量角器刻度圖片，通過不斷追問“實際的度數有沒有可能比你猜的多（少）一點？”，讓學生感受角的度數很難用一個準確的數來表示。

2.用量角器仔細量一量自己的角，想一想自己測量的結果和這個角的度數是不是一定完全相同。設計意圖：學生通常會認為只要認真測量，就能得到準確結果。這個環節是讓學生結合第一個環節獲得的體驗，在仔細測量的基礎上進行反思，體會認真測量得到的結果也不能準確表示實際度數，得到的僅僅是一個比較精確的近似值。

3.請組內的同學量一量你畫的角，測量結果先記在秘密紙條上，最后一起公布。設計意圖：這個環節讓學生感受測量者及測量技能對測量結果的影響，體會重復測量對提高測量結果可靠性的重要作用。

4.回顧整個過程，說說你的想法。設計意圖：讓學生進行整體反思，從而對測量及誤差形成較為正確的認知。這個環節要進行分享交流，通過師生、生生之間的互動加深學生的理解。

圖形的度量作為數學學習的核心內容之一，其目標不僅僅是技能的掌握，更為重要的是培養學生的科學精神。教師在使用教材開展相關教學時，應充分關注學生對科學方法的認識與理解，通過精心的教學設計有效達成目標。

（責編 金 鈴）