數形結合視角下對運算律教學的思考

王娟

[摘 要]運算律貫穿于整個小學數學，也將運用于今后的數學學習中。數形結合思想作為一種重要的數學思想，可以有效地幫助學生理解數學知識，促進學生邏輯思維能力的發展。在運算律教學中，教師可通過以形相助、以形相輔、以形助思，促進學生把握運算本質，幫助學生變通思維，提升思維深度。

[關鍵詞]運算律;數形結合;思考

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）29-0025-02

在小學階段，運算律貫穿于整個數學學習。比如，在看圖列式或解決問題中加法交換律和乘法交換律就得到了廣泛應用;進位加法中利用湊十法進行計算也需要加法結合律的支撐，除表內乘法及整十整百數以外的乘法計算也都離不開乘法分配律的幫助。小學階段的運算律學習大致可分為三個階段。第一階段，學生結合具體的生活實例初步感受運算律，同時在解決問題和計算中不自覺地對運算律加以應用。第二階段，也就是四年級，將會系統地學習五個基本的運算律，探索并了解運算律。第三階段，將運算律及其運算法則遷移到小數和分數中進行應用。在北師大版四年級教材中，五個運算律的編排結構基本一致，即“觀察算式—仿寫算式—解釋規律—表述規律—應用規律”。但學生在做題時對乘法結合律和乘法分配律的應用經常出錯，說明學生對運算律的掌握僅僅停留在模仿階段，所以教師需要為學生提供合適的學習素材，比如圖形、實物、有趣的活動情境、適當的學習方法等，讓學生有所觀、有所感、有所悟、有所思，親身經歷知識的形成和發展過程，形成良好的數學思維習慣。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“數學中有一些重要內容、方法、思想是需要學生經歷較長的認識過程，逐步理解和掌握的，如分數、函數、概率、數形結合、邏輯推理、模型思想等。”這就明確了數形結合思想對于數學學習的重要作用。小學階段是數形結合思想形成的啟蒙和發展階段，因此，筆者思考：能不能利用數形結合的方法幫助學生理解運算律的本質，進而合理有效地運用運算律呢？

一、以形相助，把握運算本質

以加法交換律和乘法交換律為例，教材把它們放在一起呈現，例如出示幾組算式：

先讓學生觀察算式，仿寫算式，發現問題，然后舉出事例，說明解釋，確認發現。然而，能寫出100個這樣的算式，是不是就可以得出結論？筆者認為還是要結合加法的運算本質來說。著名數學家華羅庚曾說：“數源于數。”加法實際是數數的高級形式。在一年級的學習中，學生經常會遇到這樣的題目：如下圖，一共有多少根小棒？

加法的本質就是把多個數量合起來，因此有學生從左邊開始數起，列式為4+2=6，有學生從右邊開始數起，列式為2+4=6。不管從哪邊開始數，都是把這兩堆小棒合在一起，小棒的總數不變。如果小棒的堆數比較多，還可以進行結合，這就出現了加法的結合律。教材要求學生發現問題、得出猜想后再列舉生活中的事例驗證猜想，這是本末倒置的。仿寫的算式都符合規律，就代表所有的式子都符合規律了嗎？筆者認為，教材可以調整編排順序，把一年級的看圖寫算式放在前面，讓生活事例緊跟其后。算式只是表面現象，是表現形式，其本質上還是如何數數。教材在加法結合律的編寫中也是同樣的問題，在這里就不多加贅述。

總之，以“形”助“數”，可促進學生有效把握數的本質，加深數與形之間的聯系與溝通。

二、以形相輔，幫助思維變通

如果說加法是相同對象的運算，那么乘法就是不同對象之間的運算。雖然現在淡化了乘法意義的教學，比如3個6寫成兩個乘法算式：3×6，6×3;6個3也可以寫成3×6，6×3。雖然兩個式子的計算結果一樣，但表示的意義卻不一樣。因此，筆者認為僅僅觀察算式，仿寫算式就得出結論是不恰當的，還是要借助圖形或者實物來理解。教材出示了數椅子的情景圖：

在這里，乘法又回到了“數”，不管橫著看還是豎著看，椅子的總數不變，只是每個人數數的習慣不一樣。在解決問題時，教師可以引導學生先從數的方面去分析，進行抽象思維，再從形的方面去研究，進行形象思維。用“數”來表示“形”，以把握“形之屬性”，實現數形結合，可有效發展學生的邏輯思維。

三、以形助思，提升思維深度

乘法分配律歷來是教學中的重點和難點。前面學習的運算律僅僅是同一種運算，而乘法分配律就涉及了加法和乘法兩種運算。

乘法分配律的字母表達式（a+b）×c=a×c+b×c很抽象，也很難理解，需要借助圖形和大量的生活例子幫助學生理解，促進學生自然構建知識體系，只有這樣才能避免學生只會機械模仿，面對變式無從下手。教材創設了“貼了多少塊瓷磚？”這一情境，出示了兩組算式“3×10+5×10=（3+5）×10;4×8+6×8=（4+6）×8”，提出問題：觀察算式，你有什么發現？

筆者認為，這一情境可以分兩步呈現給學生，而且要結合乘法的意義來說明。先呈現給學生正面的墻面：

學生可以很直觀地看出瓷磚有藍色和白色兩種顏色，列算式的方法有很多種：

方法一：3×6+5×6=48，白色瓷磚每行有6塊，共3行，所以3×6表示3個6;藍色瓷磚每行有6塊，共5行，所以5×6表示5個6;3個6加上5個6就是8個6。

方法二：（3+5）×6=48，表示白色瓷磚有3行，藍色瓷磚有5行，一共有8行瓷磚。

方法三：8×6=48，瓷磚一共有8行，每行有6塊，所以就有8個6。

看來這三種方法都表明瓷磚的總數可以用8個6表示。引發學生思考：能不能寫出這樣的等式：（3+5）×6=3×6+5×6=8×6=48？在學生有所感悟的基礎上再出示側面的墻壁。

側面墻壁的瓷磚數量和正面墻壁的瓷磚數量的計算方法一樣。

方法一：3×4+5×4=32，白色瓷磚每行有4塊，共3行，所以3×4表示3個4;藍色瓷磚每行有4塊，共5行，所以5×4表示5個4;3個4加上5個4就是8個4。

方法二：（3+5）×4=32，白色瓷磚有3行，藍色瓷磚有5行，一共有8行瓷磚。

方法三：8×4=32，瓷磚一共有8行，每行有4塊，所以就有8個4。

引導學生思考：是不是也可以寫出等式（3+5）×6=3×6+5×6=48呢？單靠這兩組算式還不足以得出乘法分配律的公式，還需要大量生活事例的支撐才能抽象出乘法分配律的公式。但是通過這些式子，學生可以感受到，當出現相同乘數時都可以利用乘法的意義，最后歸結于求出幾個幾的運算。然后在學生有所感的前提下再要求他們應用“學校要給28個人的合唱隊買服裝，請算算買服裝要花多少錢？”，繼續思考能否寫出一組等式。

在大量素材的積累下，學生深刻理解了乘法分配律。可見，利用數形結合可以幫助學生化抽象為直觀，進而建立解決問題的數學模型，為學生的再創造和應用做好準備。

數形結合有助于發展學生的邏輯思維，培養學生的發散性思維，激發學生的創造性思維。正所謂“數形結合百般好，割裂分家萬事休”，“數形結合”是數學教學中培養學生數學學習能力的重要方式。

（責編 黃春香）