基于“直覺表征”“改造”學生經驗

朱孟迪

[摘 要]學生在學習之前已經積累了很多有關平行與垂直的感性經驗，教師在教學中要利用好這些“直覺經驗”，將其改造成學生的“數學經驗”。教學“平行與垂直”時，按照“先體驗、再實踐、后概念”的教學順序，引導學生展開思考與實踐。

[關鍵詞]平行垂直;改造經驗;實踐思考

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）29-0063-02

“平行與垂直”是人教版教材四年上冊“平行四邊形和梯形”單元起始課。教材基于“圖形分類”的方式編排：在白紙上任意畫兩條直線——對兩條直線的位置關系分類——認識平行與垂直。這種方式有一弊端，學生所畫的平行線不能突顯其本質，換句話說，平行線很難畫，稍一偏差就是相交（教材已取消平行線的作圖要求）。因此，教師可通過改造“學習材料”——借助方格紙讓學生“直覺表征”，逐步剝離學生“錯誤的”“偏差的”“非本質的”經驗，幫助學生形成正確的認知。

一、發(fā)揮經驗，改造經驗

師：這是一張白紙，把它看作一個平面，請你展開想象，這個平面可以變得——無限大，我們就要在這個平面內研究直線與直線的位置關系。

1.畫出心目中的“平行”與“垂直”

師：想一想，平行是怎樣的？垂直呢？想好了嗎？請在方格紙上分別畫出你心目中的平行與垂直。（學生操作，教師收集作品）

2.交流“平行”——基于經驗，改造經驗

學生作品：

師：作品一符合你心目中的平行標準嗎？?

生1：平平的線就是平行。

生2：這兩條直線的中間都是1格，像這樣，中間都是1格1格的，即使無限延長后也不會碰在一起。

師：像這樣無限延長后也不會碰在一起的兩條直線就是平行，對嗎？既然這樣，作品二呢？

生3：因為中間都是3格，所以無限延長后它們仍然不會碰在一起。

師：你們都說無限延長，如圖2這樣延長，它們還是不是平行，為什么？

生4：直線可以無限延長，長一點短一點都沒有關系。

生5：只要不碰在一起就可以。

師（轉動方向，圖略）：你認為這樣還是平行嗎？

生6：還是平行，因為它們還是不會碰在一起。

師：對，即使改變方向，只要不碰在一起，你們還認為是平行的。

師：作品四中只畫了一條直線，這是平行嗎？顯然不是。如果給它加一條直線變成平行，該怎么畫？

師：看來，你們心目中的平行是指兩條直線的位置關系。

二、豐富表象，形成平行概念

1.在辨析中豐富表象

生1：①號是平行的，因為無限延長也不會碰頭。

生2：②號不是平行的，兩條直線相交了。

師：我們把②號這樣的位置關系稱為兩條直線相交，相交的點稱它為交點。對于①號的兩條直線，我們可以稱它為不相交。

師：③號、④號的兩直線也沒有相交，它們應該算平行嗎？

生3：③號的兩條直線向左延長后會相交。④號是兩條曲線，不是直線。

2.建構平行的概念

師：“在同一平面內不相交的兩條直線叫作平行線，也可以說這兩條直線互相平行。”想一想，為什么要在“平行”前面加上“互相”兩字？

生4：只有一條是不夠的，平行是兩條直線的一種位置關系。

師：如果一條直線記作直線a，另一條直線記作直線b，于是可以說“直線a是直線b的平行線，直線b是直線a的平行線，它們互相平行。”為了表示方便，數學上還給平行用了上符號——“a[?]b，讀作a平行于b。”你看，這個符號多像平行哪。請在草稿紙上表示出自己作品中的平行，并讀給同桌聽吧！

三、基于經驗，形成垂直概念

1.在比較中引入“垂直”

師：讓我們把目光聚焦到這些相交的情況。你感覺哪兩條直線最特殊？為什么？

生1：⑤號（圖3），因為4個角都相等，都是直角。

師：要知道是不是直角，得借助三角尺來驗證。

2.形成垂直的概念

師：在數學上，如果兩條直線相交成直角，就說這兩條直線互相垂直。其中一條直線叫作另一條直線的垂線。如果給這條直線取名為直線a，另一條直線取名為直線b，你怎么理解這兩條直線的位置關系呢？

師：現在把這組互相垂直的直線旋轉方向，再轉動，現在它們還是互相垂直的嗎？為什么？

師：在數學上，互相垂直的兩條直線還可以用這樣的符號表征——“直線a與直線b互相垂直，記作a⊥b，讀作a垂直于b。”

3.判斷中理解垂直的本質

師：我畫了一些垂直的情況，你有什么新發(fā)現？

四、拓寬經驗，溝通聯系

師：在同一平面內兩條直線的位置關系會有幾種呢？

師：現在讓我們一起來整理。在同一平面的兩條直線只有兩種情況，一種是不相交，也可以稱它為互相平行;另一種是相交，如果相交成直角，它們就互相垂直;如果相交成鈍角、銳角，就稱它們普通相交。

五、應用經驗，解釋現象

師：你在生活中看見過平行或垂直嗎？這是兩條線段a、b（如圖5），你怎么知道它們是否平行？

師：有沒有互相垂直的？為什么說它們互相垂直？有幾組垂直？你對長方形又有了怎樣的新認識？

師（出示一張不規(guī)則的紙片）：這張紙上有平行嗎？垂直呢？你能創(chuàng)造出一個垂直嗎？是的，這是我們二年級學習直角時折紙的方法。為什么兩次對折后就是直角了呢？

生1：把360°對折一次就是180°，對折兩次就是90°了。

師：如果按這樣的方法在另一個位置上再折一次，你有什么新的發(fā)現？

生2：垂直于同一條直線的兩條直線互相平行。

六、回顧反思，總結經驗

本節(jié)課基于學生的“經驗”改造學生的經驗，以幫助學生形成正確的“認知結構”，主要體現在以下三點：

1.改造“平行”經驗，遵循“先體驗、再實踐、后概念”的原則

（1）先體驗。課始，確定本課的學習范圍——在同一平面內。學生根據自己的經驗嘗試畫出心目中的“平行”，教師通過“改造”學生的“作品”，幫助學生完善對概念本質屬性的理解。“改造”中突出以下幾點：①平行線之間的格數保持不變，突顯平行線之間的距離處處相等的本質;②改造成“一條線長，另一條線短”的視覺效應，突出平行線的本質實則為“直線”，與其長短無關;③改變平行線的方向，借助旋轉變化，突顯“只要兩條直線不相交”的本質。一次次的經驗改造，一次次的思維沖突，打破了非本質因素對概念建構的影響，進而把學生的思維聚焦于本質屬性上。

（2）再實踐。對于教師出示的一組“判斷素材”，學生借助直觀經驗，借助之前的討論辨析，很容易找到“平行”。同時，“平行曲線”的學習素材也豐富了學生對平行概念本質的理解。

（3）后概念。通過“先體驗”與“再實踐”，學生頭腦中已經有了豐富的平行表象，平行的概念呼之欲出，教師只需要順勢利導，呈現概念即可完成教學目標。

2.改造“垂直”經驗，打破學生思維定式

（1）借助判斷，突破難點。一方面，以“垂下來的線”為素材展開教學，讓學生知道數學中的垂直是兩條直線的位置關系，以回應學生“心目中的垂直”。另一方面，學生辨別一般的“垂直”幾乎沒有問題，但對于“丁字型”或“直角型”的垂直的理解往往存在困難。然而，借助直觀演示與爭論，學生就把思維聚焦于“兩條直線”，進而很好地說明了問題，突破了難點。

（2）溝通聯系，形成體系。以“快速判斷”兩條直線的位置關系為載體，一方面讓學生理解垂直是一種特殊的相交，另一方面幫助學生形成兩條直線位置關系的框架結構。

3.改造學習經驗，拓展知識外延

直線是抽象存在的。學習了本節(jié)課的知識，學生對長方形就有了新的認識，如“長方形對邊平行”。而借助尺子度量讓學生直觀看到“這兩條線段之間的距離都相等”，即便無限延長也不會相交。至此，學生成功借助學習經驗來解釋了現實生活。

（責編 金 鈴）