跨越直觀抽象過程直達素養

曹秋樺

[摘 要]培養學生的抽象能力，需要教師通過直觀的方式將抽象的數學知識更加形象地呈現出來，讓學生經歷觀察、比較、綜合、抽象、概括的思維過程，從而達到理解和內化。教師還需跨越直觀，打通直觀與抽象之間的通道，讓學生沿著這條路徑直達思維內核，建立起清晰的模型、知識體系，培養初步邏輯思維能力和數學核心素養。

[關鍵詞]小學數學;核心素養;跨越直觀;抽象思維

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）29-0074-02

數學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，提煉出數學研究對象的思維過程，主要包括：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并用數學符號或數學術語予以表征。數學抽象使得數學成為高度概括、準確表達、有序多級的系統。

在做題時，學生對一些易錯習題的理解不夠透徹，對概念、圖形等的抽象能力比較弱，于是我針對這些易錯題做了分類。

這些問題反映出學生對知識的體驗不深刻，對概念的形成過程不夠熟悉，抽象概括能力比較弱;學生頭腦中沒有形成清晰的知識體系，不能進行有效的知識遷移。因此，培養學生的抽象能力是數學教學中不可忽視的一個問題，也是值得廣大教師在實踐中深入研究和探索的內容。

一、圖釋表達，讓抽象的思維直觀可視化

數學教學的主要目的在于培養學生的數學思維品質，而抽象的數學思維學生通常難以把握，需要教師通過直觀的方式，將抽象的數學知識更加形象地呈現，便于學生理解和內化。

【例1】商中間、末尾有0的除法

師：306÷3的商大約是多少？你是怎樣估算的？

師：結果到底是多少呢？請你們先嘗試算一算。

師：你是怎么算的？為什么可以這樣算？

（1）交流豎式

師：你們怎么計算306÷3？說一說計算過程。

生1：先用3個百除以3得1個百，接著用十位上的0除以3得到1個零，再用個位上的6個一除以3得2個一，最后將1個百加上2個一就等于102。

師：你們在解題的過程中遇到了什么新問題？

生2：被除數中間有0。

師：你們是怎么解決的？商的十位上為什么商0？

生3：因為被除數十位上是0，0÷3=0。

師：是呀，被除數的百位上正好被除盡，其十位上的0除以3得0，0商在十位上，個位落下來繼續除。

（2）簡化算式

師：有的同學這樣寫（如右圖），這種寫法合理嗎？你們還有更簡便的寫法嗎？

（3）借圖釋理

師：我們借助方格圖來看一看306÷3的計算過程。

師：請用筆圈一圈、分一分，表示計算過程。

生4：只需要兩步，先分百位上的3，3個百除以3等于1個百;再分個位上的6，6個一除以3等于2個一。因為十位上是0，0除以3等于0，所以十位上的分的過程可以省略。

師：十位上的這個0能不寫嗎？為什么？

生5：不能。不寫的話就變成兩位數了，跟我們一開始估算的結果——100多（三位數）不符。

師：如果被除數的中間、末尾出現0除以一個數，那么在商的相應位置上要用0占位。（板書：商0占位）

在“數的運算”的教學中，借助小方塊等直觀操作可以幫助學生形成表象，再通過交流進行適度抽象，同時及時地追問和引導，就能幫助學生溝通具體感知和抽象概括之間的聯系，逐步將思維引向深入，實現對算理的意義建構。

二、適度跨越，讓抽象的思維路徑有跡尋

抽象是數學活動中的基本思維方法，也是數學的本質特征之一。數學抽象的對象可以是某種現實原型，但更多的是人們熟知的一些數學概念和結構，它是逐層遞進的。教學需要直觀，但也需跨越直觀，打通直觀與抽象之間的通道，讓學生沿著這樣的路徑直達思維內核。

【例2】三角形的認識：認識三角形特征，建構三角形概念

（1）畫一畫，經歷概念的形成過程

師：看了這么多，說了這么多，留在你心目中的三角形是怎樣的呢？請畫下來。

（學生典型作品展示，圖略）

（2）說一說，語言呈現操作體驗

師：你們是怎樣畫出這個三角形的？

生1：先畫一條線段，然后在其中一個端點處接著畫第二條線段，最后連起來。

師：誰也是按這個方法畫的？我們倆能不能合作在黑板上再畫一個？你來說，我來畫。

生2：點出3個點，根據已有經驗，先在兩點之間畫出一條線段，接著換一個點，畫出第二條線段，連接剩下兩點，畫出第三條線段。

師：三角形由3條線段圍成，3條線段應該需要6個點，為什么你只點了3個點就畫成了？

生2：因為圍成三角形的3條線段一條接著一條，每兩條線段共用一個端點。也可以說這3條線段“首尾相接”。

（3）想一想，操作中體會3點不共線

師：那么是不是任意畫3個點都能圍成三角形呢？同桌討論，再拿出方格紙試一試。

師：想象一下，3個點怎樣放不能圍成三角形？

師（總結）：圍成三角形的3個點不能在同一條直線上。

師（發散）：有了這個發現，現在可以放心大膽地找第三個點了。你想把它擺在哪里？想象這個三角形的樣子。大膽一些，第三個點還能擺在哪里？

（4）議一議，歸納概括三角形特征

師：回顧剛才的學習，我們交流了不同的畫三角形的過程，也欣賞和想象了大小不一、形狀各異的三角形，那么這些三角形都有什么相同之處呢？

生3：都是由3條線段圍成的。

生4：都有3個點（頂點）、3個角和3條邊。

師：以上兩位同學總結的就是三角形的特征。

三角形是最常見的一種圖形，也是最基本的多邊形之一。學生已經積累了一些“空間與圖形”方面的知識和經驗，同時也具備一定的空間感與抽象思維能力，他們對周圍事物的感知和理解能力，以及探索圖形之間關系的愿望還在不斷提高。

有關三角形定義的教學，教師是通過讓學生在“畫三角形”的操作活動中進一步感知三角形的屬性，抽象出概念。首先，學生通過從點到線、從線到面的操作與觀察中找出三角形的共同點，然后從畫一畫中發現和明確三角形的特征，最后通過一個疑問“3條線段應該需要6個點，為什么你只點了3個點就畫成了？”，讓學生嘗試概括三角形的含義，著重理解“首尾相接”和“圍成”兩個關鍵詞，建立正確的三角形概念。教師借助直觀經驗，把抽象的概念和具體的圖形聯系起來，引導學生發現三角形的特征，概括出三角形的定義。學生通過概念的內化與外顯過程，逐步抽象出三角形的模型與其高的本質意義，發展了空間觀念。

三、建立模型，讓抽象的思維體系有架構

課程標準指出：“數學教學要讓學生經歷運用數學符號和圖形描述現實世界的過程，建立初步的數感和符號感，發展抽象思維。”抽象有兩個層次，一個是直觀描述，另一個是符號表達。數學是抽象出來的符號體系，建立符號意識可以清晰、準確、簡潔地表達數學思想、概念、方法和邏輯。數學抽象的主要表征形態是數學符號，數學符號是數學抽象思維的外殼。符號意識是數學抽象的衍生素養，數學抽象最終指向的是數學模型的建立和數學思想方法的形成，以及建立數學結構與體系的過程。

【例3】乘法分配律

（1）結合情境引發問題

師：同學們表演節目，男、女生分別按隊形站，男生隊形每行13人，有8行;女生隊形每行11人，有8行。你能提出哪些數學問題？

生1：男、女生一共有多少人？

師：你會列式嗎？

生1：13×8+11×8。①

師：還有別的算法嗎？

生2：（11+13）×8。②

師：為什么這樣算？為什么可以把它們合起來？

生3：因為男、女生都是8行。

（2）數形結合理解算理

師：你能用直觀的圖例表示①和②兩個算式相等嗎？

（3）多樣驗證解釋

（學生計算驗證，得出乘法意義理解：13個8和11個8相加就是24個8相加）

師：如果女生隊形每行增加2人，男生隊形每行增加3人，兩種算法的結果還相等嗎？為什么？

生4：相等。13×8+16×8=（13+16）×8。③

師：再變一下，如果一個長方形長是a米，寬是8米，另一個長方形長是b米，寬是8米，兩個長方形的面積之和是多少？

生5：a×8+b×8=（a+b）×8。④

師：觀察這4個算式，你有什么發現？

（學生通過舉例，歸納得出結論：a×c+b×c=（a+b）×c）

數學課程的一個重要任務就是讓學生建立符號意識，懂得符號的意義，感受和掌握使用符號的能力，會運用符號解決實際問題，發展抽象思維能力。讓學生經歷“具體事物→個性化的符號表示→數學地表示”的符號化過程，才能有效提升數學素養。

培養學生的抽象能力，對他們學好數學、應用數學，培養初步邏輯思維能力和數學核心素養具有重要意義。史寧中教授說：“數學的表達是符號的，但教學應當是物理的;數學的證明是形式的，但教學應當是直觀的;數學的體系是公理的，但教學應當是歸納的。”對于教師來說，不能為抽象而抽象，應結合具體的教學內容為學生選擇恰當的、物理的、實際的情景，通過設計直觀的操作活動幫助學生進行抽象歸納。數學抽象在教學中得以落實不是朝夕之功，需長期的研究和探索。

（責編 李琪琦）