總量生產函數的恒等式性質
——兼論全要素生產率的實際含義

謝富勝 張天嘯 張俊夫

一、引言

全要素生產率(Total Factor Productivity，簡稱TFP)表示資本和勞動力等有形投入之外，其他所有影響產出的要素貢獻，全要素生產率常常被視為代表技術進步或效率改進的變量，學術界對于全要素生產率代表的具體含義雖存在不同觀點，但均認為全要素生產率是影響生產的重要因素。然而，絕大多數全要素生產率的估算都不能完全離開總量生產函數，對總量生產函數的質疑與批評一直存在，因此測算的全要素生產率的實際含義始終存疑。在“兩個劍橋之爭”中，斯拉法、瓊·羅賓遜等都圍繞異質性資本對總量生產函數進行批評，其中資本衡量的循環論證、資本反轉等問題俱已嚴重動搖了總量生產函數的根基。對生產函數最關鍵的批判來自謝克提出的收入恒等式問題，即總量生產函數來源于收入等于利潤加工資的恒等式變形，不能表示實際的生產過程。(1)Shaikh,A.“Laws of Production and Laws of Algebra:The Humbug Production Function”.Review of Economics and Statistics,1974,56(1):115-120.這一批評指出基于總量生產函數的全要素生產率與技術沒有直接關聯。費利普和馬克比在謝克研究的基礎上，通過經驗數據的檢驗，進一步證明了基于總量生產函數得到的全要素生產率只是工資率和利潤率的函數，并不能表示生產因素。(2)Felipe,J.,and J.S.L.McCombie.“Methodological Problems with Neoclassical Analyses of the East Asian Miracle”.Cambridge Journal of Economics,2003,54(5):695-721.

然而，這一批評卻未能得到學界承認。經濟學者受工具主義方法論的影響，新古典總量生產函數仍因其在經驗研究中的廣泛應用而得到擁護。(3)Ferguson,C.E.,and R.F.Allen.“Factor Prices,Commodity Prices,and Switches of Technique”.Economic Inquiry,1970,8(2):95-109；Wan,H.Y.Economic Growth.New York:Harcourt Brace Jovanovich,1971.薩繆爾森與西蒙等雖然都認識到總量生產函數與恒等式之間的關聯，卻均未提及謝克的批評，他們只是止步于懷疑而未能揭示總量生產函數的本質。(4)Samuelson,P.A.“Paul Douglas’s Measurement of Production Functions and Marginal Productivities”.Journal of Political Economy,1979,87(5):923-939；Simon,H.A.“On Parsimonious Explanations of Production Relations”.Scandinavian Journal of Economics,1979,81(4):459-474.索洛雖然討論過收入恒等式問題(5)Solow,R.M.“Second Thoughts on Growth Theory”.In Steinherr,A.,and D.Weiserbs (eds.).Employment and Growth:Issues for the 1980s. Dordrecht:Martinus Nijhoff,1987.，卻未能把握收入恒等式問題的要點。即使謝克、費利普、馬克比等人已經進行了大量相關研究，但總量生產函數和全要素生產率仍被廣泛使用。

一些經驗事實也挑戰了全要素生產率的解釋力。比如在針對“亞洲四小龍”的研究中，相關文獻就指出，“亞洲四小龍”在高速經濟增長時期的全要素生產率的增長率并未顯著高于發展中國家，其中新加坡在20世紀60年代中期之后甚至經歷了全要素生產率的零增長。(6)Young,A.“A Tale of two Cities:Factor Accumulation and Technical Change in Hong Kong and Singapore”.NBER Macroeconomics Annual, 1992,7:13-63.這不僅有悖常識，也與“亞洲四小龍”的實際發展情況不符，一些基于微觀的企業數據的研究就表明“亞洲四小龍”在高速增長時期存在著可觀的技術創新與吸收過程(7)Felipe,J.“Total Factor Productivity Growth in East Asia:A Critical Survey”.Journal of Development Studies,1999,35:1-41.，得出違背事實的結果源于全要素生產率的計算問題。如果能明確總量生產函數的恒等式性質，類似新加坡全要素生產率增長率為零的情況就可得到更為合理的解釋。如費利普和馬克比所述，由總量生產函數得到的全要素生產率只是利潤率、工資率與利潤份額的函數，因此新加坡全要素生產率的零增長率可能只反映了收入分配方面的某種特定情況，取決于總量生產函數的參數設定，并不能說明其沒有技術進步。(8)Felipe,J.,and J.S.L.McCombie.“Methodological Problems with Neoclassical Analyses of the East Asian Miracle”.Cambridge Journal of Economics,2003,54(5):695-721.

全要素生產率近年來已成為國內經濟學界研究的熱門專題，總量生產函數的恒等式性質所造成的影響就更加不容忽視。本文在謝克、費利普、馬克比等人相關工作的基礎上，基于收入恒等式構造不同形式總量生產函數的一般方法；對基于收入恒等式測算全要素生產率的多種方法進行分析，說明了全要素生產率的實際含義，我們的分析表明用全要素生產率來代表技術進步或效率改進是不恰當的。使用中國1993—2016年的宏觀經濟數據，我們檢驗了索洛殘差法估算的全要素生產率的實際含義。

二、文獻綜述：總量生產函數與收入恒等式的聯系

(一)柯布-道格拉斯總量生產函數與收入恒等式的關系

柯布和道格拉斯首先估計了之后被稱為“柯布-道格拉斯(C-D)”形式的總量生產函數，得到了較好的擬合結果。(9)Cobb,C.W.,and P.H.Douglas.“A Theory of Production”.American Economic Review (Supplement),1928,18(1):139-165.與經驗數據的良好契合使得C-D生產函數常被認為能夠反映經濟體的實際生產情況，因而在此后的經濟研究中得以大量運用。同時，估計得到的資本彈性非常接近于利潤份額，這也被認為是對邊際生產力理論的有力證據。阿羅更是認為柯布和道格拉斯的《生產理論》一文是《美國經濟評論》此前百年內最出色的二十篇論文之一。(10)Arrow,K.J.,Bernheim,B.D.,Feldstein,M.S.,McFadden,D.L.,Poterba,J.M.,and R.M.Solow.“100 Years of the American Economic Review:The Top 20 Articles”.American Economic Review,2011,101(1):1-8.

C-D形式的總量生產函數在被廣泛運用的同時也受到質疑，一部分學者已經觸及總量生產函數背后的收入恒等式。布朗就曾指出C-D生產函數中的資本與勞動的彈性和利潤與工資的份額只是一枚硬幣的兩面，不能說明邊際生產力理論是正確的。(11)Phelps Brown,E.H.“The Meaning of the Fitted Cobb-Douglas Function”.Quarterly Journal of Economics,1957,71(4):546-560.西蒙和萊維通過同時求得C-D生產函數和收入恒等式的一階泰勒近似式，發現資本與勞動的彈性正好等于利潤與工資的份額。(12)Simon,H.A.,and F.K.Levy.“A Note on the Cobb-Douglas Function”.Review of Economic Studies,1963,30(2):93-94.費希爾認為進行加總的條件非常嚴格，實際經濟過程很難滿足這些條件，因而總量生產函數的存在性及其同邊際生產力理論的聯系均非常可疑(13)Fisher,F.M.“The Existence of Aggregate Production Functions”.Econometrica,1969,37(4):553-577.，費希爾通過模擬實驗進一步強調了C-D總量生產函數存在的問題，他使用明顯違背加總條件的資本和勞動數據以C-D形式的生產函數進行模擬，反而得到了理想的擬合結果。(14)Fisher,F.M.“Aggregate Production Functions and the Explanation of Wages:A Simulation Experiment”.Review of Economics and Statistics,1971,53(4):305-325.但是，這些質疑并不能直接揭示C-D生產函數和收入恒等式的聯系，比如費希爾就把擬合結果歸因于不變的工資份額。(15)Fisher,F.M.“Aggregate Production Functions and the Explanation of Wages:A Simulation Experiment”.Review of Economics and Statistics,1971,53(4):305-325.謝克1974年的文章明確指出只需對國民收入等于工資加利潤的恒等式進行變換，就可得到柯布-道格拉斯形式的總量生產函數(16)Shaikh,A.“Laws of Production and Laws of Algebra:The Humbug Production Function”.Review of Economics and Statistics,1974,56(1):115-120.，C-D總量生產函數同收入恒等式之間的聯系才明確起來。謝克在文章中具體分析過程可以表示如下：

設Y為任意時期的總收入，w和r分別表示工資率和利潤率，K和L分別表示資本投入和勞動投入。收入恒等式為：

Y=wL+rK

(1)

將式(1)兩邊對時間求導，并同時除以Y，可得：

(2)

(3)

將式(2)兩邊同時從t0到t之間求定積分并將對數形式化為一般形式：

Y=BKsL1-s

(4)

式(4)與C-D生產函數形式Y=AKαL1-α非常相似。在柯布和道格拉斯的研究中，C-D生產函數中的資本和勞動的彈性系數α和1-α與利潤、工資份額s和1-s非常接近。由于實際的經濟事實很難滿足加總條件，α和s數值上的相似并不是對邊際生產力理論的證明。更有可能的是這兩者在實際上是同一個變量，即α=s。經驗研究中彈性系數與份額數值上的相似恰恰說明總量生產函數是源自收入恒等式的變形。謝克通過數值模擬對C-D總量生產函數的恒等式性質做了驗證：他構建了一個產出勞動比Y/L和資本勞動比K/L的特殊數據集，其散點圖正好是一個大寫形式的“HUMBUG”(騙子)，利潤份額使用索洛1957年文章中使用的數據，產出減掉通過利潤份額計算得到的索洛余值后，剩余部分以C-D生產函數形式得到的擬合結果非常良好。謝克之后還引入了一個“完全擬合”程序，盡管這個程序完全曲解了潛在的生產關系和技術變革類型，卻可將任何表現不佳的擬合生產函數轉化為一個擬合結果非常好的函數。(17)Shaikh,A.“Nonlinear Dynamics and Pseudo-Production Functions”.Metroeconomica,2005,31(3),447-466.這一方面是對C-D生產函數的諷刺，另一方面也說明C-D總量生產函數的擬合效果和相關數據的數值特點無關，進一步證明C-D總量生產函數只是由一個無關生產的收入恒等式變換得到的。

從收入恒等式出發，可以發現由C-D總量生產函數得到的全要素生產率的實際含義。對式(3)兩邊從t0到t取定積分并將對數形式化為一般形式，可得

B=B0rsw1-s

(5)

將式(5)代入式(4)，由于s=α，可知A=B，繼而可得B0=Y/rsw1-sKsL1-s。利用rK/Y=s與wL/Y=1-s，可得B0=s-s(1-s)s-1，最終可得到全要素生產率為

A=s-s(1-s)s-1rsw1-s

(6)

可見，全要素生產率實為利潤與工資份額、利潤率與工資率的函數，其直接反映的是要素價格和收入分配的結構，顯然不能用來說明技術進步。之所以如此，根源仍在于從收入恒等式變換而來的C-D總量生產函數并不代表任何實際的生產過程。

(二)其他形式總量生產函數與收入恒等式的關系

除常用的C-D總量生產函數外，其他諸如CES與AK總量生產函數也可以通過收入恒等式構造得出，不同的總量生產函數不過是契合收入恒等式的不同方法。

1．CES總量生產函數、超越對數總量生產函數與收入恒等式的關系

該式與對收入恒等式進行變換后的形式非常相近。說明這是比C-D生產函數適應性更好的CES生產函數，但并不代表真實生產的法則，只是找到了更能契合收入恒等式的方法。CES生產函數的假設比C-D生產函數更為放松，利潤和工資份額都可以發生變化。費利普和馬克比也就這一點做出說明。(19)Felipe,J.,and J.S.L.McCombie.The Aggregate Production Function and the Measurement of Technical Change:Not even Wrong.Cheltenham:Edward Elgar,2013.

超越對數生產函數比CES生產函數更容易估計，更為常用。一般多以對數形式表示：lnY=lnA+μlnK+νlnL+γ(lnK)(lnL)+ω(lnK)2+ε(lnL)2。費利普和馬克比說明了只要超越對數函數符合邊際生產力條件，就仍然完全來源于收入恒等式。事實上超越對數生產函數本身也是CES生產函數在ρ=0處的泰勒近似，如果CES不能擺脫恒等式，超越對數同樣也不能。

2．AK總量生產函數與收入恒等式的關系

不僅上述外生增長模型具有這樣的問題，以AK模型為代表的內生增長模型也可以通過收入恒等式得出。費利普和馬克比分析了如何通過收入恒等式構造AK總量生產函數。(20)Felipe,J.,and J.S.L.McCombie.The Aggregate Production Function and the Measurement of Technical Change:Not even Wrong.Cheltenham:Edward Elgar,2013.

三、通過收入恒等式構造總量生產函數的一般方法

已有的研究揭示了幾種總量生產函數與收入恒等式之間的聯系，但仍缺乏一般性分析。我們在上述研究的基礎上，通過一次齊次函數的歐拉公式將收入恒等式和總量生產函數聯系起來，給出了通過收入恒等式構造總量生產函數的一般方法。相當于從本質上說明了總量生產函數為何會具有恒等式性質，以及全要素生產率的實際含義。

為了在總量生產函數的經驗研究中得到良好的擬合結果，需要從收入恒等式出發，變換出一個形式上只與K和L有關的函數。構造總量生產函數關鍵在于利用一次齊次函數歐拉方程與收入恒等式形式上的相似性。如果總量生產函數Y=F(K,L)為一次齊次函數，由一次齊次函數的歐拉公式有：

Y=FKK+FLL

(7)

(8)

由于A是關于K和L的函數，所以這一條件很容易滿足，但此時A就是一個內生變量，而不是主流學界所認為的一個外生的全要素生產率。在進行回歸時，內生變量A的作用是讓每一組投入產出數據均能符合收入恒等式，而非一個能夠衡量生產的參數。正是這一性質，總量生產函數往往會得到良好的擬合結果，新古典經濟學家認為這是總量生產函數符合實際情況的依據，甚至將包含內生變量A的AfK=r和AfL=w誤認為邊際生產力條件，但卻忽視了其背后更重要的邏輯關系。

綜上，只要f(K,L)滿足一次齊次性質，函數Y=Af(K,L)就已完成構造總量生產函數的一般方法。而對AfK=r和AfL=w進一步變化，可以得到收入恒等式變換下總量生產函數中人為構造部分f(K,L)的參數實質，如下：

sf(K,L)=fKK

(9)

(1-s)f(K,L)=fLL

(10)

由式(9)、(10)可見，源自收入恒等式的總量生產函數其外生參數都將與要素的收入份額發生聯系。比如對于C-D總量生產函數Y=AKαL1-α，直接由α=s。對于其他形式的f(K,L)，可以通過式(9)與式(10)得到這些參數與s、K、L的關系。例如，把CES總量生產函數中的[δK-ρ+(1-δ)L-ρ]-1/ρ替代f(K,L)代入式(9)和式(10)，可以得到δ=sKρ/[sKρ+(1-s)Lρ]與1-δ=(1-s)Lρ/[sKρ+(1-s)Lρ]?？梢钥吹剑攆(K,L)包含兩種以上的參數時，這些參數的外生給定也會使得利潤和工資份額s、1-s隨著K、L的變化而變化。因此，總量生產函數的參數其實都是人為設定的，任何參數都可以通過收入恒等式獲得。

在不改變函數形式的前提下，將K、L替換為K和L的函數甚至其他變量，都不會改變基于收入恒等式構造總量生產函數的實質。例如，引入人力資本的總量生產函數，也不能突破構造總量生產函數的范式。盡管費利普和馬克比已經說明引入人力資本幾乎不影響產量和TFP增長率(22)Felipe,J.,and J.S.L.McCombie.The Aggregate Production Function and the Measurement of Technical Change:Not even Wrong.Cheltenham:Edward Elgar,2013.，但是即便有所影響，人力資本模型中聯合人力資本H與勞動L構造效率勞動L*=HL的方法，也無非是以L*代替總量生產函數中的L，沒有對總量生產函數造成實質性的改變。加入資本增益型技術進步和勞動增益型技術進步的總量生產函數Y=Af(AKK,ALL)也不例外，無需對式(9)和式(10)做調整，就能以此構造總量生產函數。

綜上，既然f(K,L)可以通過以上方式構造出來，那么從式(8)也可以清楚地看到全要素生產率A根本無關生產，而只取決于f(K,L)的設定及其和收入的比值。進一步，AfK=r與AfL=w是通過收入恒等式構造總量生產函數的關鍵條件，同時也會使得f(K,L)規模報酬不變。由rK/Y=s與wL/Y=1-s，可得K=sY/r、L=(1-s)Y/w。將其代入Y=Af(K，L)，得到Y=Af[sY/r,(1-s)Y/w]，由于函數f(K,L)為規模報酬不變，等式右邊可將Y提出，最終可得到全要素生產率為：

(11)

相比于式(6)，式(11)是一個全要素生產率的一般表達式。這意味著不管什么形式的總量生產函數，由此得到的全要素生產率都只是一個關于利潤和工資份額、利潤率、工資率的分配函數。至此，可以明確所有和總量生產函數有關的全要素生產率都是可疑的。由于當前測算全要素生產率的方法種類龐雜，并且在估計過程中仍有需要探究的細節，故下文我們將進一步具體分析。

四、收入恒等式視角下的全要素生產率測算方法探究

測算全要素生產率的很多方法并非簡單地基于總量生產函數，這在表面上削弱了收入恒等式問題的威脅。例如馬哈德文在其討論全要素生產率的文章中就已提到收入恒等式問題，但他認為通過多種不同方法測算全要素生產率總能得到一定的規律，沒必要執著于全要素生產率的實際含義(23)Mahadevan,R.“To Measure or not to Measure TFP Growth?”.Oxford Development Studies,2003,31:365-378.，這類觀點認為總有一種測算全要素生產率的方法可以避免總量生產函數所遭遇的問題。然而，只要仍使用貨幣形式的產出數據，無論以何種方式將投入和產出聯系起來，都很難撇清全要素生產率和收入恒等式的關系。參照馬哈德文關于全要素生產率測算方法的歸類，我們將針對參數方法與非參數方法進行討論。

(一)參數方法

參數方法要求明確函數形式，在測算的過程中總量生產函數是不可或缺的。總量生產函數的恒等式性質使得參數方法所計算的全要素生產率并不符合其測度生產與技術的目的。此處我們重點討論索洛殘差法和收入恒等式的聯系。

索洛殘差法首先估算總量生產函數后得到要素產出彈性，再用產出增長率減去各要素以其產出彈性加權后的增長率，得到全要素生產率的增長率。具體如下：

(12)

其中，α和β為資本產出彈性和勞動產出彈性，一般通過回歸方程估計得到。通?；貧w方程假定規模報酬不變，即β=1-α，并使用Y/L和K/L進行回歸?？紤]到全要素生產率A的變化，回歸方程中往往加入時間趨勢項。以C-D總量生產函數為例，估計方程為：

ln(Yt/Lt)=a+φt+αln(Kt/Lt)+εt

(13)

當估計得到α=s，β=1-s時，此時全要素生產率的增長率實際為：

(14)

這樣，以索洛殘差法測算的全要素生產率增長率為利潤率增長率與工資率增長率的加權和。一些研究假設市場完全競爭把要素份額作為要素產出彈性直接計算索洛余值，近乎直接使用式(14)得到源于恒等式的分配函數。之所以得到α=s，關鍵在于對數回歸方程中的索洛殘差是否等于式(14)中工資率與利潤率的對數加權和。(24)Felipe,J.,and C.Holz.“Why do Aggregate Production Functions Work? Fisher’s Simulations,Shaikh’s Identity,and Some New Results”.International Review of Applied Economics,2001,15(3):261-285.當估計得到α≠s時，根據式(12)計算的全要素生產率增長率又代表什么呢？坦普爾認為，這種情況下總量生產函數并不是收入恒等式的變形，甚至回歸方程中用于近似索洛殘差項如果選取得當，可以反映真實的生產情況。(25)Temple,J.R.W.“Aggregate Production Functions,Growth Economics,and the Part-time Tyranny of the Identity:A Reply to Felipe and McCombie”.International Review of Applied Economics,2010,24(6):685-692.然而，無論在回歸方程中如何預設索洛殘差，方程中都不存在任何實際生產的信息。鑒于這一點，我們認為，這種情況也沒有完全脫離收入恒等式。實際上，該情況源于以α與(1-α)為比例重新分割收入而得到的新的恒等式。假設有w′=(1-α)Y/L、r′=αY/K，將α與(1-α)代入式(12)，計算得到全要素生產率A′，根據收入恒等式變換的原理，可以得到A′的增長率如下：

(15)

(二)非參數方法

非參數方法測算TFP確實可以避免預先設定總量生產函數，但仍很難擺脫恒等式性質的影響。當產出為貨幣數據，產出和要素之間最直接的關聯就是要素價格，并由此建立收入恒等式，只要全要素生產率的概念指向有形要素之外的生產貢獻，就會和要素價格產生聯系，因此全要素生產率必然是一個關于要素價格的分配關系的函數。

(16)

其中，m=1,…,M、n=1,…,N。在具體的TFP計算中，令t時期i單元的產出為Yit，投入要素為資本Kit、勞動Lit，代入式(16)后用單純形法進行計算。可知，最優解時θi不為0，因此，包括θi最優基變量共有三個，設另外兩個最優基變量為zτt和zυt，對應單元的產出、資本與勞動分別為Yτt、Kτt、Lτt和Yυt、Kυt、Lυt，DEA問題則轉變為如下方程組的求解：

(17)

現在以收入恒等式的視角進行考察：我們仍以s、1-s、r、w代表利潤份額、工資份額、利潤率、工資率，下角標第一個字母代表單元，第二個代表時間。設t時期單元τ和單元υ的利潤份額、工資份額、利潤率和工資率分別為sτt、1-sτt、rτt、wτt和sυt、1-sυt、rυt、wυt。由收入恒等式可知有Kit=sitYit/rit、Lit=(1-sit)Yit/wit、Kτt=sτtYτt/rτt、Lτt=(1-sτt)Yτt/wτt、Kυt=sυtYυt/rυt、Lυt=(1-sυt)Yυt/wυt，將其代入式(17)，產出Yit、Yτt、Yυt最終會被消掉，可得

(18)

可見，通過DEA計算出的距離函數的倒數θi只與要素收入份額、利潤率和工資率有關。因此由基于距離函數的曼氏生產力指數得到的TFP增長率，也只與要素收入份額、利潤率、工資率有關，實質上仍然是一個與分配關系有關的函數。系統中某個單元的工資利潤分配發生變化，該單元的TFP就有可能受到影響。DEA方法之所以無法擺脫恒等式性質的影響，仍然在于貨幣統計的產出中很難觸及生產與技術的實質。非參數方法中也有不使用貨幣產出數據的方法，比如迪氏指數法(Divisia index)中的湯氏指數( T?rnqvist index)也常被用于測算全要素生產率。這類方法雖然可以提供一種產品加總指數來代替貨幣統計的產出，卻并不像參數方法那樣可以用擬合效果作為參考，因而仍然需要一個評價標準。如果按照新古典經濟學以最優化來簡化問題的邏輯，這些指數一旦和最優化聯系起來，并且在難以兼顧要素價格變化的情況下，就容易和收入恒等式發生聯系。比如迪韋特就證明了湯氏物量指數等同于滿足約束下最優化條件且規模報酬不變的超越對數函數。(27)Diewert,E.W.“Exact and Superlative Index Numbers”.Journal of Econometrics,1976,4:115-146.而實際上由收入恒等式變換來的超越對數總量生產函數完全符合它的函數要求。湯氏物量指數因為近似于最優化超越對數生產函數得到不錯的評價，但這恰恰是它失去生產含義的原因。測算全要素生產率，不論參數方法還是非參數方法，均不能擺脫總量生產函數的恒等式性質。

五、經驗研究：全要素生產率的實際含義

本文的第三部分已經討論了全要素生產率的測算方法與收入恒等式之間的關系，雖然這些方法與收入恒等式的聯系都可以在理論上充分說明，但是參數方法的估計結果仍需要經驗研究的支持。限于篇幅，我們這里只檢驗索洛殘差法計算的TFP增長率與收入恒等式的聯系。我們的經驗研究與前人研究的最大區別在于揭示了實際估計中得到的全要素生產率與利潤率、工資率和要素收入份額之間的關系，揭示了全要素生產率的實際含義。尤其是當估計得到的彈性值不等于要素收入份額值的情況下，不同于謝克等人的模擬數據研究，我們用國內宏觀經濟實際數據來檢驗全要素生產率是否具有生產含義。

(一)數據來源與處理

為了計算我國的全要素生產率，我們需要實際產出、資本存量、勞動投入的數據，這些數據均可從我國官方統計資料中獲得，選取的時間跨度為1993—2016年。選擇這一時間段的原因是省際收入的可靠數據僅從1993年起始。

(1)實際產出Y與勞動投入L。實際產出用GDP表示，GDP數據來自2017年《中國統計年鑒》，利用1978年按當年價格核算的GDP和以1978年不變價計算的GDP指數，可以計算出以1978年不變價格計算的GDP；勞動投入用就業人口表示，數據也來自2017年《中國統計年鑒》。

(2)資本存量K。資本存量我們采用永續存盤法進行計算，即Kt=(It/Pt)+(1-δ)Kt-1，其中It是以當年價格計算的第t年投資額，Pt是第t年價格水平，δ為折舊率。為了與GDP數據保持一致，資本存量也需換算為以1978年價格計算的數據。我們采用張軍和章元以1990年不變價估計的結果(28)張軍、章元：《對中國資本存量K的再估計》，載《經濟研究》，2003(7)。，再使用固定資產價格指數，換算得到1978年不變價計算的K0為13 243.78億元。我們采用固定資本形成總額作為投資額It的指標。在《中國國內生產總值核算歷史資料(1952—2004年)》中可以找到以1978年價格計算的1993—2004年的固定資本形成總額指數，結合該資料中記錄的1978年按當年價格計價的固定資本形成總額，可以得到以1978年價格計算的1993—2004年固定資本形成總額數據。在2017年《中國統計年鑒》中可以找到以1990年價格計算的2004—2016年的固定資產投資價格指數，根據《中國國內生產總值核算歷史資料(1952—2004年)》的數據換算出以1978年價格計算的2004—2016年的固定資產投資價格指數，結合《中國統計年鑒》中以當年價格計算的固定資本形成總額，計算得到以1978年價格計算的2004—2016年的固定資產價格指數。關于折舊率δ，我們選擇較為常見的5%，最終計算得到1993—2016年的國內資本存量數據。

(3)利潤份額s與工資份額1-s。我們首先獲得勞動收入份額的數據，然后根據w=(1-s)Y/L和r=sY/K就可計算出利潤率與工資率。本文采用省際收入法的數據加總得到1993—2004年勞動收入份額(省際收入的可靠數據僅從1993年起始)，數據來源為《中國國內生產總值核算歷史資料(1952—2004年)》，2005—2007年、2009—2012年以及2014—2016年的勞動收入份額則來自相應年份《中國統計年鑒》收入法統計GDP里的勞動報酬數據。其中，2004年出現了統計口徑的變化：個體經營戶的收入由勞動者報酬改為營業盈余，國有和集體農場的營業盈余劃入勞動者報酬。同時，有學者推測，從2009年開始統計口徑恢復到2004年之前(29)張車偉：《中國勞動報酬份額變動與總體工資水平估算及分析》，載《經濟學動態》，2012(9)。，所以必須對2004—2007年的勞動收入份額進行調整。我們參考肖文和周明海的調整方法(30)肖文、周明海：《勞動收入份額變動的結構因素——收入法GDP和資金流量表的比較分析》，載《當代經濟科學》，2010(3)。,在相應年份的《中國勞動統計年鑒》中找到城鎮私營與個體就業人員的數據，繼而得到非個體就業人數，再用就業人數與非個體就業人數做比并乘上勞動報酬，得到調整后的勞動報酬和勞動收入份額。由于《中國統計年鑒》并未記錄2008年和2013年的收入法GDP的統計數據，我們在調整份額之后，2008年的勞動份額取2007年和2009年數據的均值，2013年的勞動份額取2012年和2014年數據的均值。

(二)檢驗過程與結果

經驗研究的重點分為三步：第一步檢驗以初始生產函數形式進行回歸得到的TFP增長率的實際含義；第二步檢驗在回歸方程中加入時間趨勢后所得到的TFP增長率的實際含義；第三步計算源于實際收入恒等式的TFP增長率。然后總結出TFP增長率計算的實質。

我們采用C-D總量生產函數的形式。為了和收入恒等式充分聯系起來，將估計得到資本產出彈性與資本收入份額進行比對。我們計算的1993—2016年間中國的資本收入份額在0.5附近波動。分別用三次不同的回歸方程進行回歸后的結果如表1：

表1 回歸方程及結果

首先，我們根據C-D生產函數的形式，利用國內產出、資本與勞動數據，直接用Yt/Lt對Kt/Lt進行對數線性回歸，估計得到的資本產出彈性為0.790 3；第二步我們用Yt/Lt對Kt/Lt和年份t進行回歸，估計得到的資本產出彈性為0.421 3，兩者均與0.5左右的資本收入份額有較大差異。但根據前述分析，參數估計的結果只是得到了一種分割收入的方式。分別以0.790 3∶0.209 7和0.421 3∶0.578 7為比例分割總收入，將前一部分視為資本收入，后一部分視為勞動收入，得到新的利潤率、工資率，分別記為r′、w′和r″、w″，通過式(14)計算出增長率加權和，然后利用式(12)計算索羅殘差得到TFP增長率。增長率加權和與TFP增長率趨勢對比如圖1所示：

圖1 TFP增長率與w′、r′和w″、r″增長率加權和變化趨勢對比

第一步回歸得到的資本產出彈性值，并不是因為它符合實際生產情況，而是由于回歸方程的形式相當于假定索洛殘差項不隨時間t變化。換言之，回歸過程其實只是找到一個使w′、r′的對數加權和[slnr′+(1-s)lnw′]不隨時間t變化的利潤份額s，這里的利潤份額s不是真實的利潤份額，而是能夠使w′、r′的對數加權和不隨時間t變化的分割總收入的一種方式。(31)對式(6)取對數可得lnA=lns-s(1-s)(s-1)+slnr+(1-s)lnw，s是需要回歸得到的利潤份額，第一項lns-s(1-s)(s-1)不隨時間變化而改變，只需工資率w和利潤率r的對數加權和slnr+(1-s)lnw保持不變即可。引入時間趨勢項的回歸方程能夠得到的資本產出彈性值，也是通過回歸過程找到了一個使得w″、r″的對數加權和與時間t呈線性關系的分割比例。我們計算了w′、r′和w″、r″對數加權和的時間趨勢，結果如圖2：

圖2 w′、r′和w″、r″對數加權和的時間趨勢對比

從圖2可以看出，w′、r′的對數加權和隨時間變化很小，其結果符合對初始回歸方程的分析，通過回歸方程確實找到了一個使得w′、r′的對數加權和大體不變的分割收入的比例。w″、r″的對數加權和確有接近于線性的時間趨勢，加入時間趨勢項的回歸方式也的確找到了一個使得w″、r″的對數加權和與時間t呈線性關系的分割收入的比例。由此可見，無論是否加入時間趨勢項，通過索洛殘差法得到全要素生產率的方法，只是找到一種分割收入的比例，使其滿足回歸方程，并不能代表真實的生產過程。

前面的兩種回歸只是提供了兩種分割收入的方式，如果想得到符合實際收入恒等式的結果，需要在回歸方程中以工資率利潤率的對數加權和來表示索洛殘差項。謝克等人契合收入恒等式的經驗研究也相當于采用了這種方法。(32)Shaikh,A.“Laws of Production and Laws of Algebra:The Humbug Production Function”.Review of Economics and Statistics,1974,56(1):115-120；Felipe,J.,and C.Holz.“Why do Aggregate Production Functions Work? Fisher’s Simulations,Shaikh’s Identity,and Some New Results”.International Review of Applied Economics,2001,15(3):261-285.我們使用實際的利潤和工資份額、利潤率、工資率，計算出式(6)所表示的分配函數s-s(1-s)s-1rsw1-s，此處記為Bt。在初始的對數回歸中加入lnBt，回歸結果見表1。

這樣估計得到的資本產出彈性0.507 3與實際的資本收入份額比較接近。不同于前面使用估計的參數，此處我們使用實際的勞動收入份額和資本收入份額，根據式(14)計算出實際的工資率與利潤率w、r的增長率加權和。繼而使用估計得到的結果α=0.507 3、β=0.492 7，計算得到TFP增長率?？傻玫綀D3：

圖3 TFP增長率與w、r增長率加權和變化趨勢對比

盡管我們計算w、r的增長率加權和時使用了每年都有所變化的利潤和工資份額，但從圖3可知，w、r的增長率加權和仍然和TFP保持了比較一致的趨勢。所以，在契合收入恒等式的情況下計算的TFP增長率是實際分配關系的函數。與前面一樣，估計得到的參數仍然可以視為分割收入的比例，但這次估計是為了使分割收入而得到的對數加權和符合實際的工資率與利潤率的對數加權和lnBt。因此，估計得到的資本產出彈性恰好等于資本收入份額，并不代表證明了邊際生產力條件，而是因為回歸方程中加入的余項恰好符合工資率與利潤率以利潤和工資份額為權重的對數加權和。

如果lnBt數據呈不變或線性變化趨勢，第一步與第二步回歸方程均有可能得到符合收入恒等式的結果。謝克指出工資率與利潤率的對數加權和可以近似于時間的一次函數，這說明在第二步回歸方程中加入趨勢項就能得到近似收入恒等式的結果。我們可以看到圖1(右)與圖3中TFP增長率的變化趨勢非常相似，在一定程度上也驗證了這一點。

從以上三步回歸方程的結果可以看到，估計出何種資本產出彈性，計算出怎樣的全要素生產率，取決于我們在回歸方程中用什么來代表索洛殘差。這種方法的實質就是循環論證。我們在回歸方程中關于索洛殘差的任何假定實際上都沒有事實根據，但這些假定卻已經決定了全要素生產率的計算結果。不同的測算方法和資本數據都會改變回歸方程的預設，所計算得到的結果也只是符合預設的結果，并沒有哪種方法能涉及實際的生產過程。雖然最終的估計結果未必貼合實際的收入恒等式，但通過收入恒等式的變換可以令我們清楚認識到索洛殘差法的實質就是分割收入。無論我們估計得到的要素產出彈性是否等于要素的收入份額，以索洛殘差法計算的全要素生產率都只是一個分割收入得到的分配關系的函數。

六、結論

我們在謝克、費利普等人所做的收入恒等式問題研究的基礎上，給出了通過收入恒等式構造總量生產函數的一般方法；詳盡地分析了全要素生產率與收入恒等式的關系，闡明了全要素生產率測算的實質；說明了以索洛殘差法測算的全要素生產率是一種由分割收入而得到的分配關系的函數。作為分配關系函數的全要素生產率并非完全不能表示技術進步或效率改進，但前提是必須厘清該指標中表示生產和分配的成分。然而在總量問題仍需依托現有國民經濟核算體系的情況下，由于工資率、利潤率與資本勞動的復雜關系，很難將生產與分配徹底隔離開來?；诳偭可a函數的恒等式性質測算的全要素生產率無法代表實際生產過程中的技術或效率，用其解釋技術進步時一定要更為審慎。根植在經濟學研究中的工具主義方法論可以讓研究者放松假設，但卻不能無視測算方法中所存在的邏輯矛盾。從總量均衡入手分析宏觀問題難免會產生這一問題，因為總量均衡分析僅僅停留在事物的表面，沒有對微觀產業層面進行具體分析，無法探究總量變化的機制。為規避這一問題，在宏觀經濟學的研究中，應避免僅從宏觀統計角度分析問題，盡量尋找其背后的邏輯與機制，比如可以嘗試從微觀企業層面測度技術創新，盡管從微觀入手不如使用宏觀數據簡潔，但更加具體和貼近事實，且不會產生恒等式問題?；驈氖杖敕峙浣嵌瘸霭l，如謝克等人通過工資與利潤份額的變動分析經濟增長及失業、通貨膨脹等問題。(33)Shaikh,A.Capitalism,Competition,Conflict,Crises.Oxford:Oxford University Press,2016.將宏觀統計數據與機制分析相結合，就不會賦予宏觀經濟變量并不具備的因果意義。