構造輔助圓突破教學難點的實踐策略
——談數學專題課《構造輔助圓》

孫 明

(江蘇省常州市新北區龍虎塘中學 213000)

一、教學背景

對于平面幾何問題,學生常常想到的是構造直線形輔助線來轉化條件,從而利用三角形、四邊形的知識來解決問題.但輔助線的添加就被局限在直線形,而實際上曲線形輔助線在一些特定條件下,更有利于條件的集中.輔助圓是曲線形輔助線的代表,利用圓就會讓圖形的條件更豐富，而學生對此又很少了解.基于學生已有經驗：到定點的距離等于定長的點的集合是圓；直徑所對的圓周角是直角；同弧所對的圓周角相等.感悟動點在運動過程中所形成的軌跡，逐步培養運用數學建模思想，探究解決動點問題的途徑的能力.之前聽過某教師的《構造輔助圓》專題課，教師運用幾何畫板直接呈現輔助圓，少了學生發現輔助圓的過程，可想而知學生的收獲甚少.故本人想借此節課，和學生一起探究，通過多種探究方法的對比，來突破構造輔助圓的難點.

二、教學解析

例1(到定點距離等于定長模型)如圖1所示，在凸四邊形ABCD中，AB=BC=BD,∠ABC=80°，求∠ADC的度數.

設計意圖：新知識的形成都有其固定的知識生長點，找準知識的生長點，才能突出重點、突破難點.本題是根據圓的集合定義，學生能想到A、D、C三點到點B的距離相等，因此都在以B為圓心的圓上，構造圓不困難.

例2如圖3,在矩形紙片ABCD中,AB=2,AD=3,點E是AB的中點,點F是AD邊上的一個動點,將△AEF沿EF所在直線翻折,得到△A′EF.(1)在折疊過程中，點A′所形成的軌跡是怎樣的？

(2)求A′C的長的最小值.

難點突破分析：引導學生由舊入新，組織積極的遷移，促成由已知到未知的推理，認識簡單與復雜問題的聯系，不斷完善認知結構.此題對于尖子學生來說很快找到圖中三段相等的線段EA=EA′=EB,根據例1構造輔助圓.但對于大部分學生來說，折疊問題的情景不理解，在復雜問題中不能簡化背景.因此，我設計了第一小問引導學生再去畫出另一A′點.發現大部分學生畫不對位置，原因是沒有分析出折疊過程中的不變量.所以讓學生再動手去折一折，將得到的A′ 點描出來得到圖4后再一起分析變化與不變的量，得到圖5.A′C的最值顯然是E、A′、C三點共線時，得到圖6.例1與例2要突出“共同點”，進而突破重、難點.

例3(定長對直角模型)如圖7，△ABC中，∠ACB=90°，AC=10，BC=12，P是△ABC內部的一個動點，且滿足∠APC=90°，連接BP，線段BP長的最小值為____．

難點突破分析：此題找不到到定點的距離等于定長的模型了，先讓學生用直角尺依據定長為AC畫出不同的點P(圖8)后讓學生交流點P的運動軌跡是什么.發現點P在以定長AC為直徑的圓上，構造圓(圖9)后求最短距離與例2一樣分析.例3與例2有知識的不同點也有知識的相同點，要讓學生歸納總結.

例4(定長對銳角模型)如圖10，四邊形ABCD中，∠BAC=∠BDC=50°，∠DBC=30°，求∠BAD的度數.

難點突破分析：根據∠BAC=∠BDC這一條件發現有一定長是BC，∠BAC=∠BDC=50°說明BC不是直徑，與例3有類似的地方也有不同的地方.說明BC是同一條不是直徑的弦，根據同弧所對的圓周角相等的定理，構造△ABC的外接圓(圖11)解決問題.

三、教學反思

每節課我們都要圍繞一個知識點進行教學，并進行有效的挖掘與延伸，針對學生的實際情況，對知識中難以理解接受的知識進行有效的突破.衡量數學教學是否有效的基本標準之一，就是看教師在教學中能否突出重點，根據學生實際，突破難點.這節課的難點突破的方法是通過引導學生去動手折一折、畫一畫、想一想；同伴交流等形式去操作.本節課對于程度較好的學生，能夠掌握構造輔助圓的基本方法，中等的學生能夠在幾何題中想到利用輔助圓，基礎薄弱學生也能夠想得起輔助圓，輔助線的構造可以是直線形，也可以是曲線形.